Cf. Winler, Revue de Métaphysique et de Morale

dont l'évidence s'impose?On connaît celles-ci : Quidquid de omnibus valet, valet etiam de quihusdam et singulis; — V espèce d'une espèce d\m genre est une espèce de ce genre; — le contenu du contenu est contenu dans le contenant', etc. Quel que soit celui de ces principes auquel on s'arrête, on ne saurait y voir un fondement logique de la rigueur du syllogisme, par la raison bien simple que, pour passer de la formule générale au cas d'un syllogisme, quel qu'il soit, il faudrait encore un syllogisme.

Nous devons donc renoncer à une justification logique du syllogisme. Ce n'est pas de ce côté que nous trouverons la cause de la satisfaction qu'il nous donne, du besoin que nous avons d'y recourir. Aussi bien le problème est essentiellement subjectif, et c'est d'une explication psychologique qu'il faut nous contenter. Le syllogisme est la forme type, la forme élémentaire la plus simple, du mouvement de la pensée qui veut comprendre, c'est-à-dire qui veut savoir le pourquoi, la raison d'une affirmation quelconque. Comprendre, pour nous, n'est-ce pas faire disparaître le nouveau d'une chose qui heurte notre pensée en faisant rentrer cette chose dans le connu, dans ce que déjà l'esprit s'est assimilé? N'est-ce pas par conséquent réduire le fait nouveau à n'être qu'un cas particulier d'un fait ancien plus général? L'esprit est ainsi naturellement conduit, en présence d'une affirmation qu'il veut justifier, à en chercher la raison dans une autra plus générale d'où il redescende ensuite par déduction à celle qui l'intéresse. Si on voulait un principe fondamental du syllogisme, on pourrait nommer ici, à l'exemple de Schopenhauer, le principe de liaison; — à la condition de viser par là non point une formule objective qui serait toujours séparée du syllogisme par un nouveau syllogisme, — mais la racine même de notre faculté de comprendre et de connaître.

De ce point de vue combien peu nous sommes surpris de n'avoir pu expliquer la valeur du syllogisme par aucun des principes qui nous étaient proposés. Et nous ne faisons pas allusion seulement à ceux qui manifestement, exprimant une idée générale objective, ne pouvaient être utilisés qu'en devenant euxmêmes des majeures de syllogismes ; nous visons aussi le principe d'identité et en même temps le principe de contradiction. Après tout en elTet qu'est donc ce principe « A est A »? S'il a un sens, si la pensée sort du repos pour exprimer une idée, quelle qu'elle soit, quand ces mots sont prononcés, c'est que ce verbe est marque un rapport effectif. Mais il faut alors justifier le droit de répéter après lui le sujet lui-même, et il ne saurait y avoir d'autre justification que dans le sens même de ce mot est : ce qui revient finalement à dire que ce fameux principe d'identité, énoncé à propos de A, se déduit de la signification générale de la copule est. Sinon il faudrait, pour le comprendre, anéantir tout mouvement de la pensée, saisir l'esprit dans une inertie complète, dans l'immobilité absolue. Comment un pareil principe d'immobilité eùt-il pu expliquer le mouvement de l'intelligence qui veut connaître?

Peut-être aussi acceptera-t-on plus volontiers maintenant de parler de raisonnements déductifs plus ou moins rigoureux : le syllogisme étant la démarche de la pensée qui s'efl'orce de comprendre, rien ne s'oppose à ce que cette démarche soit plus ou moins aisée, à ce que cet effort soit plus ou moins efficace suivant les cas. Montrons que le syllogisme géométrique se présente justement avec des avantages spéciaux *.

1. Notre intention est ici de répondre aux reproches que M. Winler adressait à notre thèse t^ur la Cerhlmie lof/ique, dans l'article si intéressant et si bienveillant que nous avons déjà cité.

Envisageons d'abord la majeure, c'est-à-dire la proposition générale énonçant la raison que réclame l'esprit. Peut-on dire qu elle soit plus certaine en géométrie que dans tel autre domaine, dans les sciences naturelles ou en sociologie, ou même dans les circonstances ordinaires de la vie courante? C'est là une question mal posée, car il faudrait savoir quel est le degré d'objectivité que l'on donne à la certitude dont il s'agit; et nous n'y répondrons pas. Nous ne venons donc pas dire : le syllogisme mathématique satisfait mieux l'esprit parce qu'il repose sur des principes assurés. Ce qui nous importe ici, c'est que le géomètre, en énonçant ses définitions ou ses axiomes, veut les poser comme principes généraux dans sa marche intellectuelle. Ce sont en un sens des conventions qu'il décrète lui-même, des vérités qu'il crée dans certaines limites, — dans les limites où il peut créer, engendrer, à l'aide de ses propres ressources, les éléments sur lesquels portent ces vérités. Nul doute que le domaine mathématique ne soit celui où la pensée peut le mieux réussir à construire ainsi ellemême l'objet de son étude. Les propositions générales qui fournissent les majeures des syllogismes sont là, plus que partout ailleurs, des affirmations tellement subjectives qu'en les énonçant, l'esprit se sent le plus voisin possible de ce qui est sa chose propre, de la chose qu'il comprend le mieux, et qui a le moins besoin de se rattacher elle-même à une autre raison, puisque c'est ce qu'il a créé, c'est ce qu'il a voulu.

En second lieu, quand le syllogisme nous fait passer de la majeure ce tout A est B » à la conclusion « cet A est B », le rapport n'est-il pas particulièrement étroit entre ces deux propositions extrêmes? Ne peut-on pas dire presque que l'esprit en les énonçant successivement se répète lui-même, ou du moins exprime une seule et même chose? Qu'est-ce en effet que tout a A »? tout cercle, tout triangle, toute

aàmÈ0

iM

LE HATIONNEL

droite? nous 1 avons déjà remarqué : c'est plus que partout ailleurs un indéterminé, visant quelque détermmation future. C'est tout cercle, tout triangle, que la pensée géométrique examinera dans des circonstances quelconques. Séparé de cette sorte de réalisation future, ce « tout cercle i>, « tout triangle », n est rien Ces mots ne prendront leur signification totale qu à la condition d'achever de se déterminer dans le futur, dès qu'il sera question de problèmes ou entrent cercles et triangles. Ils représentent en puissance des éléments qui devront passer à l'acte pour devenir objets de pensée. - Mais en mémo temps, lorsque .se fait ce passage à lacté, quand le géomètre considère tel cercle, tel triangle, quelle est la nature de cet objet qu'il soumet à son étude'' — Un pouvait dire, en un certain sen.s, il est vrai que dans le syllogisme classique, « Socrate » réalisait dans un cas particulier la notion d'humanité, mais que de caractères spéciaux il faudrait énumérer pour donner quelque idée, soit au point de vue nhysiaue soit au point de vue moral, de ce qui fait que Socratè est te homme et non pas tel autre. Ici, au contraire quand le géomètre a dit : Du point 0 comme centre je décris un cercle de rayon OA », ou bien : « Je trace le triangle ABC », n'est-ce pas un minimum de conditions particulières, juste nécessaire pour qu'une chose déterminée soit substituée à une chose indéterminée, qui se trouve distinguer ce cercle, ce triangle, du cercle ou du triangle en général? La ligure que 1 on a sous les yeux peut être plus ou moins étrange e rond peut être plus ou moins parfait, les côtés dû triangle plus ou moins droits, les lignes plus ou moins épaisses, tracées avec un crayon qui les colore en rouge ou en bleu, ou avec la craie sur un tableau noir ou dans le sable par une main plus ou moins habile, qu importe? Ce cercle, ce triangle, ce n'est pas ce que voient les yeux du corps, mais bien ce

que, à l'occasion de cette figure, contemplent les yeux de l'esprit, c'est-à-dire la définition qu'il a formulée une fois pour toutes, l'idée qu'il a tant contribué à fixer lui-même, l'essence qui lui est particulièrement intelligible puisqu'elle a été, le plus que c'est possible, l'œuvre de son activité propre. En deux mots, il repense à cet instant ce qu'il a pense une fois déjà. Au lieu de dire qu'il fait rentrer un cas particulier dans un plus général en appliquant a ce ce cercle » ce qu'il avait énoncé de « tout cercle », il est plus exact encore de dire que, dans des circonstances nouvelles, à l'occasion de quelque nouveau problème, il reste fidèle à lui-même; il se conforme à l'attitude qu'il a décidé désormais de prendre; il repense, il reveut ce qu'il a pensé et voulu. On peut bien parler d'identité pour faire sentir ce qu'il y a de particulièrement rigoureux dans le syllogisme géométrique, mais qu'on y prenne garde : il ne s'agit pas de cette identité sans vie, sans force, immobile et inféconde, qui aurait même quelque peine à se formuler en un jugement véritable. L'identité dont nous rapproche le syllogisme géométrique est une identité vivante, c'est celle de la pensée qui marche, et qui, dans son mouvement continu, sent le besoin de rester d'accord avec elle même, de se répéter fidèlement, de vouloir indéfiniment ce qu'une fois elle a voulu.

S'il est permis maintenant de parler de rigueur plus ou moins parfaite dans le raisonnement syllogistique, ce n^est pas seulement pour opposer le domaine mathématique à tout autre. Dans celui-là même le géomètre se déclarera d'autant plus satisfait que son esprit se sentira plus rapproché de lui-même, pour ainsi dire, - que l'objet de ses études se prêtera plus aisément à une intelligibilité complète, a une assimilation parfaite, - qu'il se prêtera mieux au mouvement de sa pensée une et identique dans ses répétitions, - que cet objet sera donc plus homo-

gène, plus dénué de toute mnlif^ c^r..ui

tive, qu'il s'approchera dlvaSfernïh"" '"'"'" pure. C'est ainsi aue V-.n^uJll" f ^^ '^ quantité de l'intuition géomé r^mï n^ -f "' '" P'"^ «^^e^gée de plus en pluf ri^oTreTse C W '" '" '"-""^ ^^'"P^ trie n.ê.er -oinf "SLnl fe'r" -'entr ÎTt

sous un jour quelaue oe^.' f " P'^^f "'^"' les choses

n^ant aiourdTut:n£'tne"''il- -^r'^''^- Objective et statique nonr ninc!i- logique,

tité subjective et^n^rque'de'la'Ssr '' '''^"-

^^ote complémentaire,

col": :^irn'eS:it'au7'.'°'"'^"^''»"^ -»« ^'"'le. • que non seu"emènt non ni P'""'^'" "8"''«- Ces

c'est la forme vralënsSnSrr^''^'°'^' ^"^ tielle du syllogisme .na^sTniî^' " '^°™^ «"^^''■

croire. comme\a„t malgré iLfrr/'^""""""^ ' ont été tentés de nôtre temntn«°'" '"«^"'eux qui traire, que les deux .ni: /^ P""' P'"°"^er le condifficu'lt'c à la première Xou?r' '' ''"'''''"' '^«"^ pour faire com'prendre „o ,"e p n'ée" So"," "'''".f ^ g'sme de la deuxième figure : ' ""^ '5'"°-

Nul A n'est B; Tout C est B; Nul C n'est A.

^^iiuoisme de Ja première figure :

Nul B n'est A; Tout G est B;' Nul C n'est a'.

Toute la question est de savoir ce qui autorise la conversion de la majeure. Si la légitimité de ce procédé s'établit à Taide d'un syllogisme qui ne soit pas de la première figure, la conversion n'est plus permise, et les deux figures sont irréductibles l'une à l'autre. Or justement, d'après M. Lachelier, c'est ce qui arrive, et voici le syllogisme sur lequel on se serait fondé pour passer de « Nul A n'est B » à « Nul B n'est A » :

Nul A n'est B; Tout B est B ; Nul B n'est A.

Il est manifestement de la deuxième figure. Cela prouve à nos yeux que la conversion peut se justifier comme on l'indique, mais non point qu'elle ne puisse se justifier autrement. Le raisonnement que voici nous semble réussir aussi bien, et même avoir l'avantage d'aller plus droit au fond des choses. Il repose sur la signification même de ces mots : Nul A n'est B, d'après laquelle l'idée exprimée par ce jugement relativement aux deux termes est symétrique, pour emprunter un mot au langage mathématique. Cette proposition peut en elfet se traduire ainsi : A et B s'excluent l'un l'autre. L'universelle affirmative (( A est B », qu'on l'interprète en extension ou en compréhension, attribue aux deux termes des rôles réciproques dilTérents, parce que, de toute façon, il faut entendre que l'un contient l'autre, et que le rapport de contenant à contenu n'est pas identique au rapport de contenu à contenant. Au contraire, l'universelle négative énonce un rapport d'exclusion, d'extériorité totale de l'un des éléments par rapport à l'autre. Dans le premier cas, les ronds d'Euler se comprenaient l'un l'autre; dans le second, ils sont complètement extérieurs l'un à l'autre. Ce que le premier est au second, le second l'est au premier. Il est

ij

clair d après cela que rexclusion réciproque de deux éléments peut se traduire de deux Calons, exprimant 1 une et 1 autre la même idée absolument : ou bien « nul A n est B », ou bien « nul B n'est A », et ces deux propositions peuvent se remplacer Tune lautre en toutes circonstances puisqu'elles ont exactement le même sens.

Rien de plus simple d'ailleurs, si l'on v tient, que de mettre notre raisonnement sous la l'orme d'un sy logisme de la première figure. Désignons par Z cette qualité d'une proposition d'énoncer relativement à deux termes A, B, un rapport tel qu'ils jouent 1 un à 1 égard de l'autre des rôles identiques. Nous dirons : ^

Majeure. - Toule proposition Z peut être convertie- Minew-c. — La proposition « nul A n'est B » est Z- ' tonchmon. - La proposition « nul A n'est B » peut être convertie. ^

Nul doute qu'en chacun des autres cas on ne justifie la conversion par un raisonnement analocue quand on ira tout droit à la raison essentielle nu! autorise cette conversion, c'est-à-dire évidemment au sens précis de la proposition dont il s'agit

SUR LA NOTION DE LIMITE EN MATRÉMATIQUE (dialogue philosophique)

A. — Vous l'avouerai-je? toutes les fois que je vois intervenir dans les traités de géométrie ou d'analyse la notion de limite, je me sens troublé ; je ne vois plus clair. Il me semble que le livre où je m'instruis cesse d'être un ouvrage de mathématiques, ou encore que l'auteur du traité fait appel, pour le besoin de ses démonstrations, à quelque chose de mystérieux, comme les savants du moyen âge, à bout de ressources, invoquaient sans hésiter des causes cachées qu'ils décoraient des plus beaux noms... Je crois bien que je ne suis pas le seul à demander de la lumière; mais ce qui me frappe, c'est la tranquillité sereine, le calme parfait avec lequel se déroulent dans les traités ces suites de propositions qui me surprennent si étrangement. Entre nous, je me demande parfois ?i les mathématiciens ont conscience de toutes les dilficultés qu'ils soulèvent eux-mêmes.

B. — Quelles difficultés peuvent bien vous troubler dans la notion de limite? Lorsqu'une quantité varie, s'il arrive que sa différence avec une quantité fixe finisse par tomber au-dessous de n'importe quelle valeur assignée d'avance, on dit qu'elle a pour limite cette quantité fixe. Le nombre 0,999... a pour limite 1,

G. MiLHAUD. — Le KalioDDel. 9

LE IIATIONNKL

quand le nombre des chiffres décimaux croît mdcfi-

[ niment, car la différence avec 1 est j^,, si Ton prend ?i

chiffres. La somme 1

,-r, dont

la valeur est t2 — ,-^, a pour limite 2, quand n grandit

indéfmiment. xN'est-ce pas très clair?

A. — Eh quoil vous acceptez sans sourciller ce fait d'un quantité qui doit passer par une suite illimitée d'états pour en atteindre un définitil? Ne faut-il pas prendre un nombre infini de 0, pour que votre nombre 0,în)9... atteigne la valeur 4? et de même n'est-ce pas un nombre infini de

termes qui séparent la somme 1 -h ^^ -f- .. -4- 7,7,, quel

que soit n, du nombre limite 2?

Vous me direz encore très tranquillement, je le sais, que la longueur de la circonférence est la limite du périmètre d'un polygone inscrit dont le nombre des côtés augmente à i'infini; mais je ne peux aussi aisément que vous entrevoir cette infinité réalisée. Ou bien je considère le terme, ce que vous appelez la limite, et alors je ne peux y rattacher la chose variable, qui à mes yeux en reste séparée par un abîme infranchissable; ou bien je vois l'élément qui varie, mais ne peuxle suivre jusqu'au terme de sa variation, et cesse par conséquent de saisir le fait de la limite.

B. — Vous ne m'avez sans doute pas compris : qui vous demande de saisir tant de choses étranges? Lorsque je dis : le nombre 0,991)... a pour limite 1, voici ce que j'entends : Fixez-moi un nombre aussi

petit que vous voudrez : fôfjfj-ôÔO' ^^^ exemple. Il suffira d'écrire au moins 6 chiffres décimaux pour que la différence entre 1 et le nombre variable tombe au-dessous de cette valeur.

SUIl LA NOTION DE LIMITE EN MATHÉMATIQUE 147

A. — Fort bien, et puis?

B. — Et puis c'est tout, je ne veux pas exprimer autre chose; c'est tout ce que contient la définition de la limite.

A. — Libre à vous de le croire, mais c'est précisément alors en quoi vous vous trompez : si vous dites que le nombre 0,99... a pour limite 1, cela implique évidemment que le nombre s'approche de la valeur 1 jusqu'à l'atteindre. La valeur 1 se trouve engendrée par une sommation spéciale de nombres. Avoir une limite, pour une chose variable quelconque, n'e^l-ce pas synonyme d'atteindre une limite? Une limite qui ne s'atteint pas n'en est pas une. Portez vos regards sur le monde qui s'offre à vos yeux, et où nous puisons tous les éléments do nos pensées. Si le débit d'une source diminue jusqu'à épuisement, vous présenterez le tarissement comme la limite de cette diminution. La nuit absolue qui succède au crépuscule pourra s'appeler la limite de la lueur décroissante du jour. Le repos complet d'un pendule ébranlé, dont les oscillations seront de moins en moins sensibles, est la limite d'un mouvement de plus en plus faible. Tous ces exemples et une infinité d'autres ne nous montrent-ils pas la limite comme un dénouement, comme un terme d'une série d'états? Il ne saurait donc y avoir le moindre doute; quand on parle de limite, on sous-entend une variation qui se termine. Or, je ne comprends pas ce que peuvent être vos suites illimitées qui aboutissent à un dernier élément.

B. — Je vous en prie, ne comparez pas mes exemples aux vôtres. Ils appartiennent à deux mondes distincts. Quand vous me montreriez l'univers entier attestant, par les spectacles infiniment divers qu'il offre à nos yeux, qu'une limite est le terme effectif d'une suite d'états antérieurs, cela me laisserait indifférent. Je vous ai dit ma définition, elle laisse com-

plètement en dehors d'elle-même le fait de savoir si la limite est ou non atteinte.

A. — Mais c'est de l'arbitraire!

B. — Peut-être, cela m'est égal.

A. — Vous vous attribuez le droit d'ôter d'une notion, certainement commune à tous les êtres qui pensent, quelque chose d'aussi essentiel?

B. — Pourquoi pas? — Ma notion à moi est celle que détermine exactement ma définition : je n'ai pas à en connaître d'autre.

A. — Je ne demanderais pas mieux que de vous suivre sur ce terrain, mais prenez garde, après avoir posé ainsi une définition arbitraire, de vous mettre en contradiction avec vous-même dans l'usage que vous en ferez désormais. Que de fois n'ai-je pas lu dans vos traités un raisonnement de ce genre : Ayant une égalité X = Y entre deux expressions variables X, Y, qui ont pour limites respectives L, L', on passe à la limite, et on écrit L = L'. Dans ce passage, contesterez-vous que l'on suive chacune des variables jusqu'à l'instant où elles deviennent L et L'?

Pour citer un exemple plus précis, si vous cherchez à déduire un élément quelconque relatif à une tangente (soit l'angle qu'elle fait avec une direction fixe), du même élément relatif à la corde qui joint deux points infiniment voisins, ne faites-vous pas tourner la corde jusqu'à ce qu'elle se confonde avec la tangente, sa position limite? Si vous arrêtiez en chemin cette rotation, de quel droit continueriez-vous à étendre à la tangente les équations établies pour la corde? Pour moi, j'y vois une explication : vous suivez les éléments variables jusqu'à ce qu'ils atteignent leurs limites, et vous appliquez, comme vous dirait Leibniz, le principe de raison suffisante. Il n'y a pas de motif pour que les équations vraies pour tous les états successifs des éléments ne restent pas

indéfiniment vraies, jusqu'au moment compris où ils se transforment en leurs limites.

B. — Libre à vous de trouver là une explication; mais ma seule définition me permet de vous en donner une autre, à laquelle vous reconnaîtrez au moins l'avantage de se passer de toute espèce de principe : Si j'ai établi l'égalité X = Y, c'est que, à chaque instant de la variation, les valeurs de X et de Y sont les mêmes : la différence entre X et sa limite L est donc égale à la différence entre Y et L, et si la première finit par tomber au-dessous de toute valeur, il en est de même de la seconde ; ce qui revient à dire, d'après ma définition même, que Y a aussi pour limite L. En d'autres termes, les limites de X et de Y sont égales. Le passage à la limite n'est que dans les mots, la conclusion en est indépendante.

A. — J'entends, mais laissez-moi vous soumettre une question qui vous oblige à descendre de vos généralités, et où il faudra bien prendre parti sur ce point de savoir si la limite sera ou ne sera pas atteinte. Je veux parler du fameux problème d'Achille et de la tortue. Achille va ^0 fois plus vite que la tortue qui, au moment du départ, a une avance de 10 mètres par exemple. Quand Achille aura franchi cette avance, la tortue aura parcouru 1 mètre; la distance qui les sépare sera donc de 1 mètre. Quand

Achille l'aura franchie, la tortue aura parcouru jç. de

mètre; ce sera la nouvelle distance des deux coursiers, qui deviendra après chaque instant le 10*^ de ce qu'elle était avant cet instant. Vous savez comment concluait Zenon. Cette distance, devenant indéfiniment le dixième de ce qu'elle était, ne sera jamais nulle : Achille n'atteindra jamais la tortue. J'imagine, si je me suis suffisamment pénétré de vos procédés, que votre réponse est toute prête. La

suite 1 4- — -4- ~ -I- ... des chemins que parcourt

la tortue a pour limite y, quand le nombre des éléments croît indéfiniment. D'un autre cùlé, en supposant le mouvement uniforme, et la vitesse de la tortue égale à 1, pour fixer les idées, la somme des durées

des chemins successifs 4 -f- — -4- -L + . . a aussi

pour limite ^ de seconde. Et vous en concluez que

I dO

la rencontre aura lieu dans -g- de seconde, à une distance du point de départ de la tortue égale à ^ de

mètre. N'admettez-vous pas en raisonnant ainsi que les deux quantités variables — le chemin parcouru et la durée du chemin — atteignent l'une et Tautre leurs limites?

B. — Au risque de vous surprendre beaucoup peutêtre, je vous déclare que je n'ai aucune envie de raisonner de la sorte.

A. -- Alois vous acceptez la conclusion de Zenon?

B. — Nullement, mais si son raisonnement ne prouve pas à mes yeux que la rencontre n'a pas lieu, celui dont vous me supposez coupable ne démontrerait pas davantage qu'elle eut lieu.... Je m'explique : Rien n'est plus vrai que cette affirmation de Zenon, que, après chaque parcelle de chemin parcouru, la dislance deviendra le dixième de ce qu'elle était, et cela indéfiniment. Mais il faut s'entendre sur le sens de ce dernier mot : il signifie « si grand que soit le nombre de petits chemins dont je ferai la somme ». Il est bien clair que prendre le 10« d'un nombre, puis le 10' du résultat obtenu, et ainsi de suite, forme une série d'opérations sans fin, que je peux pousser aussi loin que je veux. En procédant de la sorte, je ne peux

tomber sur le point ou sur l'instant de la rencontre. Mais qu'est-ce que cela prouve?

A. — Cela prouve d'abord un fait des plus importants, qui justement ne vous frappe pas assez, à mon avis, c'est que notre esprit ne peut embrasser d'un même coup une suite illimitée d'éléments supposée complète. C'est qu'il y a là pour lui une chimère incompréhensible.

B. — Sans doute, mais si intéressante que soit cette propriété négative de notre esprit, elle ne saurait avoir aucun rapport avec l'existence ou la nonexistence de la rencontre. Si notre regard a cherché dans le ciel une étoile particulière et ne l'a point trouvée, qui s'avisera de conclure qu'elle n'y est pas? Vous disposez peut-être d'instruments trop faibles, ou plutôt, la comparaison sera plus exacte ici, vous ne savez pas explorer toutes les parties du ciel. Vous l'avez dit : la suite des chemins, comme celle des

durées, a pour limite -q-. Si nombreux que soient ces

chemins ou ces durées, lorsque vous en faites la

somme, vous trouvez un nombre inférieur à -^-. La

conclusion rigoureuse n'est donc pas ici : la rencontre

n'aura pas lieu ; mais : en deçà d'un point situé à une

distance de -jr de mètre du point de départ de la

tortue, en deçà d'une durée égale à -^ de seconde

commençant à l'instant du départ, la rencontre n'aura pas lieu.

A. — Et c'est tout?

B. — C'est tout ce que permet d'affirmer un raisonnement rigoureux, relativement à l'existence de la rencontre.

A. — Je crains que vous ne vous fassiez trop modeste, par peur de vous contredire. Voyons, n'êtes-

VOUS, pas convaincu comme moi, que la rencontre se

fera, et justement à la distance et au bout du temps

que mesure le nombre limité?

B. — Parfaitement, mais cette conviction a une

double origine. J'admets d abord que la rencontre a lieu : c'est là un fait qui s'impose à moi comme à vous, sans que les mathématiques y soient pour rien; et celles-ci interviennent alors pour en fixer l'instant! Le chemin total parcouru par la tortue peut être en effet envisagé comme limite du chemin variable parcouru à un instant donné. Comme celui-ci est mesuré

par la somme variable 1

10 ~" iïï»

dont la limite est -^j, le chemin total est égal à i^ et de même pour la durée.

A. — Enfin je vous y prends! Vous identifiez le

chemin total parcouru avec la limite ^. Cela n'im-

plique-t il pas que vous voyez dans cette dernière limite un terme elTectivement atteint?

B. — Nullement. Que la rencontre soit considérée comme une limite réellement atteinte, cela est évident; mais c'est un fait étranger aux mathématiques.

La limite de la somme |^ -+- .... ~ ne cesse pas

de répondre à ma définition. En l'égalant à la limite concrète du chemin parcouru, je sous-entends seulement que celui-ci satisfait aux exigences de la définition mathématique, à savoir, que la ditîërence entre elle et le chemin variable tombe au-dessous de toute valeur. Que de plus la limite concrète remplisse d autres conditions, cela m'est indilférent. En résume : Si on donne le fait de la rencontre, et qu'on demande d'appliquer les mathématiques à la recherche de l'instant où il a lieu, la notion de limite, telle que je l'ai définie, permet bien de résoudre

SUR LA NOTION DE LIMITE EN xMATHÉMATIQUE io3

rigoureusement la question. Si l'on ne donne pas le fait a priori, elles autorisent seulement une conclusion négative : la rencontre n'a pas lieu en deçà de certaines limites.

A. — Laissez-moi du moins enregistrer cet aveu : pour être conséquent avec votre définition, vous n'avez pu affirmer, par la considération des suites illimitées, l'existence de la rencontre.

B. — Mais reconnaissez de votre côté que l'impuissance ne survient qu'au moment d'une application concrète, et qu'en eux-mêmes mes raisonnements restent absolument rigoureux.

A. — Nous verrons plus tard, je ne suis encore qu'au début de mes objections. Admettons que vous rejetiez par votre définition le souci de savoir si la variable atteint ou non sa limite. Une autre difficulté saute aux yeux, que cependant vous ne semblez pas voir : Tout ne devient-il pas incompréhensible si par sa nature même cette limite ne peut pas s'atteindre? Or c'est ce qui arrive : le terme dont l'élément variable s'approche indéfiniment est le plus souvent d'une espèce nouvelle, différant par son essence même de •l'élément variable. La limite et la chose variable répondent à des définitions distinctes. Pour me borner à un exemple courant, la circonférence est envisagée comme limite d'un polygone, dont le nombre des côtés croit indéfiniment. Mais si grand que soit ce nombre, nous ne cessons jamais d'avoir un polygone, une figure formée de droites, essentiellement distincte d'une circonférence. Dites tant que vous voudrez que vous ne suivez pas les polvgones 'jusqu'à leur transformation en circonférence, il n'est pas moins vrai que vous leur donnez une limite inconipréhensible. Il y a là, avouez-le, comme un «lystère dont l'explication se trouve enveloppée dans un autre, la réalisation d'une infinité d'éléments. Cl'est sous le couvert de cette dernière monstruosité