LK RATIONNEL

facilement et inconsciemment reconnue capable des conséquences les plus élranges, que vous vous permettez de l'aire un cercle avec un polygone d'une infinité de côtés!

B. — Que de fantômes effrayants auxquels je me verrais en butte, si je ne me souvenais mieux que vous de mes définitions ! Lorsque pour moi un élément variable a une limite, cet élément est une quantité et la limite est une quantité de même espèce. Si je ne lai pas dit, il est clair que je Tai sous-entendu, puisque j'ai parlé de la dilTérence entre ces deux quantités. Je n'ai nulle envie, croyez-le bien, d'introduire en mathématiques la notion d'une dilTérence en qualité, que pourraient présenter deux êtres de structure difl'érente. La qualité n'est pas mon fort; je la rejette autant qu'il m'est possible, pour nem'attacher qu'à la quantité. Vous me faites dire que la circonférence est la limite des polygones inscrits, mais si je me suis jamais exprimé de la sorte, ce ne peut être qu'une façon de parler. Prise à la lettre cette locuUon est à mes yeux dépourvue de sens. Polygones, circonférence, ce sont là pour vous des êtres doués d'une certaine forme déterminée, et vous pensez que je peux dire : la première forme se modifie au point de se fondre dans la deuxième. Que vous me connaissez peu! Ces figures ne m'intéressent que comme occasions de quantités, si je peux m'exprimer ainsi. Or parmi les quantités dont elles suggèrent l'étude se trouve, par exemple, leur longueur. Et quand j'énonce cette proposition : la longueur de la circonférence est la limite des périmètres des polygones inscrits, je donne à ceux-ci pour limite une quantité de même espèce, de l'espèce longueur.

A. — C'est jouer sur les mots : je ne saurais admettre que la longueur d'une ou plusieurs droites soit une quantité de même espèce que la longueur d'une courbe. La différence de deux longueurs de

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nature aussi diverse ne m'est pas moins incompréhensible que la différence de deux formes. Il faudrait que je pusse concevoir, pour les dire de même espèce et les comparer raisonnablement, des fragments de droite co'incidant avec des portions de la circonférence, une ligne brisi^e pouvant s'appliquer sur le cercle. Vous le voyez, nous en revenons toujours à la transformation mystérieuse du polygone en cercle. B. — Parce que vous revenez sans cesse à la figure concrète du cercle. Mais encore une fois elle n'existe pas pour moi. Le mot longueur ne désigne qu'une seule espèce de quantité, à savoir la distance rectiligne de deux points; quand je parle de la longueur de la circonférence, j'ai en vue jmr définition la limite des périmètres des polygones inscrits.

A. — Vraiment, c'est merveilleux! et vous êtes parfait dans l'art d'escamoter les difficultés. Il vous suffit de décréter que la longueur de la circonférence sera cette limite, pour qu'elle le soiti

B. — Mais sans doute, pourvu que je n'y voie jamais autre chose.

A. — Savez-vous au moins si votre définition s'accorde avec la réalité? Si vous avez à calculer le tour d'une roue connaissant son rayon, ou la longueur d'un fil enroulé autour d'une bobine, de quel droit, appliquant les conclusions de vos raisonnements théoriques, y substituerez-vous les limites de polygones inscrits?

B. — Je n'en sais rien, ni ne veux le savoir. Ma mathématique est rigoureuse, et cela me suffit. Qu'on suppose réalisée dans un être concret la propriété qui caractérise ma notion de la longueur de circonférence, et mes conclusions s'appliqueront d'elles-mêmes. ■ Retirez celte hypothèse, et il n'y a plus lieu de faire appel à ma géométrie. Je confectionne un outil au^si parfait que possible, à vous de voir, à vos risques et périls, dans quel cas il sera opportun de s'en servir.

A. — Eh bien, puisque vous voilà si modeste en présence de la moindre application, j aurais mauvaise grâce à insister. J'accepte que la longueur de la circonférence soit par définition la limite des polygones inscrits, du moins je suis en droit de vous demander : Ces polygones ont-ils une limite? où est cette quantité fixe, cette longueur déterminée, dont les périmètres approcheront indéfiniment?

B. — Votre question est légitime, et je veux y répondre. Considérez d'une part une suite illimitée de polygones inscrits se succédant d'après une loi arbitraire, telle seulement que le nombre des côtés croisse indéfiniment, et que tous les côtés tendent simultanément vers zéro. En même temps, considérez les polygones circonscrits que j'appellerai correspondants : ils s'obtiendront en menant les tangentes à la circonférence en tous les sommets de chaque polygone inscrit. Je peux vous démontrer les deux propositions suivantes :

1« Les périmètres p„ p^, ... p„ des polygones inscrits sont inférieurs à un quelconque des périmètres Pj, Pa, ... Pndes polygones circonscrits; 2^ La différence P„ — p„ de deux polygones correspondants peut être rendue aussi petite qu'on veut, pouvu qu'on prenne n assez grand .

A. — J'admets ces propriétés, et vous fais grâce de leur démonstnition.

B. — Mais alors c'est fini : il existe une longueur comprise entre les deux suites de périmètres, et qui est leur limite commune L.

A. — Pardon, il y a évidemment malentendu. Je n'exigeais pas la démonstration des deux propriétés que vous avez énoncées, mais une fois posées ces vérités, comment raisonnez-vous?

B. — Je ne raisonne plus. La longueur L s'en déduit immédiatement.

A. — Vous voulez rire?

B. — Pas le moins du monde.

A. — Mais si vous êtes sérieux, dites-moi, je vous prie, de quel droit vous passez de vos deux suites de longueurs à une longueur limite? Quand vous considériez le nombre 0,999... et que vous disiez : 1 en est la limite, je pouvais comprendre : Ladifl'érence entre

1 et 0,999... est successivement ^, ji^, j^,... elle

tombe au-dessous de toute valeur. De même la

somme 1 -h ^ -h ^î -f ... tend vers 2 parce que sa

différence avec 2 devient aussi petite que je veux, c'est entendu. Toutes les fois qu'une quantité fixe est connue telle qu'une autre, variable, s'en approche indéfiniment, vous voyez dans la première la limite de la seconde, soit; mais vous heurtez vraiment la complaisance la moins rebelle, quand, à propos de nos suites de périmètres, vous faites brusquement sortir de terre une quantité limite, comme un Deus ex machina. Car enfin, d'où sort-elle, celte longueur limite? Où est-elle, quelle est-elle, comment est-elle? Vous m'affirmez que les périmètres en approchent indéfiniment? Mais le sens même de votre affirmation m'échappe si je ne sais pas quelle est cette chose dont ils approchent indéfiniment. Soyez sincère : vous me demandez, renonçant à la démontrer, d'admettre l'existence d'une telle limite, au nom d'un postulat qui se glisse entre le début de votre raisonnement et la conclusion. Ce postulat vous paraît si iacile à accepter que vous n'avez pas conscience du trou qu'il fait dans la suite des déductions. Et cependant, ce trou est un abîme. Je me représente aisément sur une droite les longueurs OA,, OA,,... 0A„, puis 0B„ OB2,... 0B„, des périmètres inscrits et circonscrits, et vois nettement deux séries de points, les A et les B, dont les premiers restent tous en deçà des seconds, et enfin tels que la distance de deux points

LK HATIOXxNEL

A. B„ devienne aussi petite qu'on veut. Mais c'est la tout ce qui est clair dans ma représentation. Quand j essaie de resserrer les points en augmentant leur nombre, je ne change rien d'essentiel à cette image, la distance du point A le plus éloigné au point B le plus rapproché reste toujours une distance appréciable. Pour qu'elle s'évanouisse définitivement; ce n est plus un nombre de points de plus en plus grand qu 11 me faut voir, c'est un nombre infini. Vous voulez que je prolonge mes deux suites en sens opposé jusqu à ce qu elles se rejoignent, ne dites plus : de laçon qu elles se rapprochent autant que je voudrais, ^on, voire longueur limite n'a de sens que si ces deux suites se rejoignent; elle n'existe pas sans cela! INe croyez pas échapper à la difficulté en me disant que vous considérez la plus grande des longueurs OAn , ou la plus petite des longueurs OB,. , ces longueurs maximum et minimum ne m'apparaissent encore que par la prolongation jusqu'à son dernier élément d'une suite illimitée. Avouez que j'ai bien le droit de frémir, à vous voir sous-entendre de sangiroid un fait aussi inconcevable.

B. — Il eût été dommage d'interrompre celte critique que me vaut bien innocemment ma démonstration ! Si vous voulez m'entendre maintenant, sachez d abord que je n'ai jamais eu la moindre envie de vous taire accepter comme évidentes de jolies fantaisies, que je comprends du reste aussi peu que vous Quand des propriétés établies sur les suites p,, p,.... Pn et P,,... P,, je conclus à une longueur limite commune, je ne prétends pas démontrer quelque chose de plus! je n'aperçois pas a priori, et ne connais pas, indépendamment de mes deux suites, une longueur que je songe à leur comparer : j'en crée une. non pas a laide des suites prolongées jusqu'à leur dernier terme (le ciel me préserve d'une telle audace), mais à propos de ces suites, ce qui n'est pas la même chose.

Smi LA NOTION DE LIMITE EN MATHÉMATIQUE 159

A. — Expliquez-vous. Je vois bien poindre à l'horizon une de ces définitions fantastiques qui vous servent à fuir toutes les difficultés,... mais j'avoue cette fois que voire procédé m'échappe.

B. -- C'est bien simple, deux séries illimitées de longueurs géométriques satisfaisant aux conditions que vous savez, peuvent toujours être considérées comme définissant une longueur nouvelle.

A. — Laquelle?

B. — Une longueur supérieure à toutes les premières, et inférieure à toutes les autres.

A. — Je ne la vois pas; prouvez-moi qu'elle existe.

B. — Je n'ai rien à prouver : elle existe parce que je le veux, comme tout être mathématique qui reçoit l'existence d'une définition. Au surplus, nous n'entendons peut-être pas dans le même sens ce terme d'existence. Tandis qu'il s'agit pour vous de je ne sais quelle consistance plus ou moins concrète de l'objet, j ai conscience, moi, que je crée des fictions. L'existence est concevable pourvu que rien ne soit contradictoire dans les conditions qui la définissent, voilà tout. Eh bien, il me plaît, toutes les fois que je suis en présence de deux suites de longueurs satisfaisant aux mêmes conditions que nos périmètres, d'inventer, le mot ne me fait pas peur, une longueur supérieure aux premières et inférieure aux secondes : à vous de l'accepter ou, sinon, de dire pourquoi vous n'en voulez pas.

A. — Je ne peux accepter une définilion à la fois aussi vague et aussi arbitraire : vague, parce que je ne sens pas a priori qu'une chose unique soit déterminée par elle; arbitraire, parce que je me demande si je peux même en concevoir une.

B. — - Regardez de plus près : quelles sont les conditions qui définissent la nouvelle longueur? Elle doit être comprise entre celles des deux séries. Il suffit,

pour qu'il n'y ait là rien de contradictoire, que toutes les longueurs de la deuxième soient supérieures à celles de la première, condition réalisée par hypothèse. Et ensuite, le fait que la différence des périmètres inscrits et circonscrits tombe au-dessous de toute valeur, empêche évidemment qu'il y ait plus d'une longueur satisfaisant à ma définition.

A. — Sur ce dernier point nous serons facilement d accord; j'accepte qu'il ne puisse y en avoir plus d'une, mais l'unique longueur possible, je ne la vois pas encore. Vous vous contentez de me dire : les conditions auxquelles elle doit satisfaire ne se contredisent pas, cela ne suffit pas. Vos fictions, vos inventions, ne sont pas des êtres exclusivement logiques. Vous raisonnez ici comme si les conditions, auxquelles vous soumettez la longueur limite, la constituaient par elles-mêmes. Ces conditions ne sont que des propriétés ajoutées à d'autres. Vous en affublez un objet qui existe déjà par lui-même et possède des attributs déterminés, puisqu'il appartient au genre longueur. Me voilà bien avancé, de savoir que vos attributs accessoires sont compatibles entre eux; c'est pour moi un détail presque insignifiant : sont-ils compatibles avec l'essence qui caractérise la longueur, la longueur indéterminée? Parmi les déterminations particulières que peut affecter l'étendue rectihgne, s'en trouve-t-il une qui réponde à vos conditions? Voilà la vraie question.

B. — Nous ne sommes pas près de nous entendre SI vous ne consentez à vous débarrasser de certaines clfimères, qui semblent vous tenir fort à cœur. Quelle est cette essence de la longueur, ou de l'étendue rectihgne antérieure ontologiquement aux déterminations que je construis? Je ne la connais pas, ni ne veux la connaître. Une longueur n'existe pas pour moi autrement que déterminée, que limitée; et un état de longueur, ou une longueur particuhère a

droit à l'existence, pourvu seulement que les propriétés de quantité qui la conditionnent ne soient pas contradictoires. Vous me direz que c'est encore là de l'arbitraire : contentez-vous, je vous prie, de me voir rester conséquent avec moi-même. J'ai mon espace, mon étendue, ma longueur. Leur essence n'est autre chose que le contenu de mes définitions. Vous demandez si j'ai bien le droit d'associer certaines conditions de quantité à l'être qui constitue l'étendue rectiligne. Songez que dans la notion même de longueur ou de distance de deux points, je fais entrer, par définition, si vous voulez, que l'association soit toujours possible, pourvu que ces conditions ne soient pas contradictoires entre elles. Si vous protestez, je vous dirai simplement que votre espace n'est pas le mien , que vos longueurs ne sont pas les miennes. A. — Ainsi donc, voilà jusqu'où vous devez fuir, loin du domaine de pensée commun à tous les hommes, pour vous mettre à l'abri des objections, et assurer la rigueur de vos raisonnements. Si les difficultés ne disparaissent qu'à ce prix, je comprends en vérité la répugnance que doivent inspirer encore aux meilleurs esprits les branches des mathématiques fondées sur la notion de l'infini. On a disputé près de deux siècles sur la légitimité du calcul infinitésimal, je n'en suis pas surpris; comme il a dû sembler à nos pères qu'on rompait définitivement avec l'ancienne mathématique....

B. — On a disputé deux siècles, parce qu'il n'est pas aussi aisé que vous pensez peut-être de dissiper tous les nuages à l'aide de définitions. Il ne suffit pas, en face d'une difficulté qui paraît insoluble, de dire : les choses seront ainsi parce que j'en conviendrai. Une élaboration est avant tout nécessaire pour démêler, par une minutieuse dissection des raisonnements, les points précis sur lesquels reposent les démonstrations, et pour les dégager des données plus