III

OU moins confuses qui se présentent d'abord avec toute leur obscure complexité. Ce travail d'élaboration, au seuil d'une branche nouvelle des mathématiques, est au fond comparable à celui qui a été la condition indispensable à la formation même de ces sciences. Gomme colui-là, il a pour effet renonciation de quelques propositions précises, condensant en elles-mêmes tout ce qu'il faut de matière nouvelle pour le chapitre qui commence. Ces propositions n ont plus qu'à devenir des définitions pour que la chaîne des déductions qui paraissait rompue soit enfin renouée. Mais lorsque, grâce à de longs efforts, parfois inconscients, les mathématiciens ont rendu la rigueur à leur science, sachez admirer l'importance de ce beau résultat. Lui seul garantit le caractère mathématique des études nouvelles, qu'avaient senti d instinct les premiers chercheurs. On ne l'avait pas attendu pour cultiver ces études, et, ne fût-il jamais atteint, leur ensemble n'en formerait pas moins un domaine précieux et fécond pour l'intelligence humame. Seulement, nous ne serions plus en droit d affirmer qu'il se présente comme une suite naturelle de la géométrie et de l'analyse. Mais maintenant que, pour ce qui concerne le calcul infinitésimal, le problème de reconstruction logique est résolu, et que pleine satisfaction nous est donnée.... A. — Au prix que nous savons....

^ 1^- — ...j'ai peine à comprendre votre étonnement: n'est-ce pas à ce même prix, c'est-à-dire à la condition de se créer un monde de fictions, que les mathématiques doivent leur existence même, en tant que sciences rigoureuses? — N'est-ce pas dès le début qu'il entre dans leur nature, et leur tendance, de fuir les difficultés, comme vous dites, en se retranchant derrière les notions, dont l'existence n'est due qu'à leurs définitions? Lorsque, à l'occasion de deux suites illimitées de longueurs, j'ai voulu en consi-

dérer une nouvelle, comprise entre elles, il vous a semble que c'était là un acte sans précédent en mathématiques, et vous avez réclamé à grands cris qu'on vous en montrât la légitimité. Eh bien! prenons un exemple plus simple : qu'à propos d'une longueur Ab, je vienne à parler de la moitié de cette longueur comme cela arrive si souvent dans les commencements mêmes de la géométrie, songerez-vous à faire la moindre objection? il ne vous viendra pas à l'idée de me dire : « C'est très bien de définir la moilié de AB une longueur qui, ajoutée à elle-même, reproduise AB; mais encore faut-il montrer qu'il existe un être répondant à cette définition. Les conditions de quanité auxquelles vous l'assujettissez ne sont pas contradictoires, soit ! mais qui m'assure que l'essence de 1 étendue recliligne est compatible avec elles'? » Et en vérité, vous n'auriez pas moins raison de parler ainsi que dans notre exemple de tout à l'heure. Si 1 existence garde pour vous ce sens concret, auquel vous semblez tenir, vous n'avez qu'un moyen d échapper ici à la difficulté, c'est d'admettre sans démonstration, sous la forme d'un postulat, approprié a votre cas, que, étant donnée une longueur, il en existe une autre qui en est la moitié : Cela revient en somme à reconnaître dans la suite des déductions géométriques, un trou non moins infranchissable que votre abîme de tantôt. Pour rétablir la continuité de la chaîne logique, il faut bien, que vous en ayez conscience ou non, consentir à ce qu'une longueur pour le géomètre, ne soit pas autrement définie que par des relations de quantité; il faut bien renoncer, des le début de toute considération géométrique, à laire intervenir cette essence qui n'aurait qu'à revêtir une détermination particulière pour devenir une certaine longueur; il faut enfin que la distance de deux points soit pour nous une notion absolument adéquate à la quantité pure.

if

A. — Mais si vous dites vrai, pourquoi donc est-on si peu d'accord parmi vous quand il s'agit de choisir entre les longueurs ou les nombres abstraits pour définir toutes les déterminations possibles de la quantité pure? Vous savez comme moi que les valeurs incommensurables, par exemple, ne sont pas présentées partout de la même manière. On les introduit comme limites de suites de valeurs approchées, mais les uns veulent que ces valeurs soient représentées par des longueurs, et c'est une longueur limite qu'ils donnent pour la signification du nombre nouveau; les autres excluent toute espèce de longueurs, et ne consentent à manier que des symboles numériques. Pensez-vous qu'on soit aussi convaincu que vous le dites de l'équivalence mathématique du nombre et de la longueur?

B. — - La divergence d'opinions que vous signalez est peut-être un dernier écho des discussions sans fin qu'ont suscitées chez les mathématiciens euxmêmes les notions d'infini et de continuité. Mais, au fond, elle se réduit à peu de chose, et il me semble facile de signaler les points de vue distincts qui correspondent aux diverses opinions. Prenons, par exemple, la définition de la racine cubique de 2. Les notions élémentaires d'arithmétique suffisent pour le calcul de deux suites de nombres a„ a^,... «„ , et h^, 62V.. K tels que les cubes des premiers sont inférieurs à 2, les cubes des seconds supérieurs à 2, et tels en outre que la difl^érence /^„ — a„ tombe audessous de toute valeur assignée d'avance. Eh bien, voici, je crois, à quoi on peut ramener les diff'érentes façons d'en tirer racine cubique de 2. Les uns considèrent deux suites illimitées de longueurs mesurées par les nombres a„ a„... a„ , — 6„ 6,,... fe„ , eî, jugeant alors d'après ce que leur montre une intuition claire de l'étendue rectiligne, ils considèrent comme évident que les deux suites de points formées

Sril LA NOTION DE LIMITE EN MATHÉMATIQUE 163

par les extrémités des longueurs se rejoignent en un point déterminé. A ceux-là s'appliqueraient vos critiques de tantôt, s'ils avaient la prétention de donner à cette évidence un caractère logique. Mais il n'en est pas ainsi le moins du monde, ils se contentent de poser là une sorte de postulat semblable à celui des parallèles, ou à tout autre dont on peut avoir besoin à un instant donné, renonçant très modestement à le démontrer. Ceux-là sont dans la vérité historique, sinon mathématique. Car il est bien évident que l'existence concrète de cette longueur limite apparaît malgré nous dans cette représentation que vous voudriez rejeter, faute de l'expliquer. Qu'on le comprenne ou non, notre esprit est doué d'une faculté: avec laquelle il faut bien compter, c'est d'entrevoir,, sans cependant pouvoir s'y conduire par degrés, leterme idéal d'une variation indéfinie. N'est-ce pas ainsi que nous passons de l'image d'un fil ou d'unrayon, en diminuant de plus en plus son épaisseur, à la conception d'une droite infiniment mince? N'est-ce pas ainsi qu'en atténuant de plus en plus les rugosités d'une surface, nous arrivons à nous former ridée d'une surface parfaitement polie? C'est peutêtre en ce fait que consiste au fond celui de la continuité que nous altribuons aux objets de l'intuition. Quoi qu'il en soit, un postulat qui se fonde sur lui peut s'énoncer avec une conviction égale à celle qu'entraînent les axiomes fondamentaux de la géométrie. Et ceux qui se contentent de l'appliquer dans les questions que nous examinons ensemble, nemériteront pas pour cela le reproche de rompreavec les méthodes de géométrie ancienne.

Mais enfin le postulat avoué est un appel direct à l'intuition, il invoque un fait inexplicable et, à cause de cela, doit disparaître. De là une deuxième tendance opposée : supprimer toute longueur, ne voir que des suites de nombres, se débarrasser de ce que la.

notion de nombre contenait encore, h savoir une loi parfculière de formation qui ne s'appliquait aû'aûx nombres entiers ou fractionnaires, et^S„?r nue les deux suites servent à définir un svmbolenTveau qu on appellera encore un nombre, et qu on dira corn pns entre les deux suites. Voilà le procède le' uus rouvez aujourd'hui dans la plupart'des tïitl dC l II '" ' «^'demment, dans l'évolution naturelle des Idées la méthode fondée sur l'intuition, ne s'cx-

.Ïnd^DoSrr""'''"'^"^ 'ï"^ P«'-«"<'' -"^i^ en'n lend possible désormais sans postulat l'introduction des incommensurables. "uiouutnon

suriiffén/rT't '■' P'f ' ""^ ^'-^'■"'*^'- P'-°'=«<^é repose assu^Pm f ?*"'",''° ''^ "°''°" '''' "«"il^-e. D'abord

dans la H.nnv "7'"-^ '"'IP^-' devenir un symbole out. C est du reste ici encore un cas parliculier de la tendance mathématique à atténuer le'rôle Sa qua^ lite. a 1 exclure même autant que possible. '

Kniin, il est lacile de substituer aux svmboles Dur<5 des lonf^ueurs, à la condtiion bien entendu de ne Zs voir ce substratum prétendu continu que donne fi!

Shol'îls'r' °°" reviendrions! ,a prem ère méthode Les longueurs, dénuées de tout ce nui

poutnt^ith'f?'"^; ''r^'^^ p»^ ^^«-'^- -U"

Crad cToiïr '°"''' «conditions de quantité non

crSte d'n,^ déterminations de la quantité. U

de "ntuition'nl'rt ''^'^""^"•^«"on quelque donnée

1 idenS -ihLr i" Pf empêcher de reconnaître

Identité absolue des deux méthodes, c'est-à-dire

i 'nom re"'.? r 'f 'h'^^^'^"^ "^''""^ mithématique: Îes l'unr.M- f "i*^"^ «-ectiligne, une fois dépouillées 1 une et 1 autre de tout contenu formel

dant" P*;; 1°"' ''"""'"^^ " ^*^"e "l°"'"é en vous fondant en somme sur votre définition de la distance

SUR LA NOTIO.N DK LIMITE E.N MATHÉMATIQUE 167

Décidément, il y a trop de définitions dans vos éclaircissements. Elles font votre sécurité, et ce sont elles au contraire qui troublent la mienne. Vous regardez a travers des verres trop adaptés à votre usage personnel; ce qui m'intéresse le plus est précisément ce dont ils cachent la vue.

B. — Tant pis pour vous, si vous n'êtes pas ébloui par ce qu ils laissent voir, je veux dire par la lumineuse clarté de l'idée, de la notion intelligible

l'F.NSKK PIRE ET INTIITIOX

PENSÉE PURE ET INTUITION

(nOTF SIK LA CftOMÉTMIK (^nKCQUIé)

Que riiistoire de la penséo scientifique peut tHre d'un grand secours au philosophe, prifoccupé des condition-^ oii se forme et pnrijçre*«j la connaissance humiiiiiG : cela n*eàl plus h prouver. Nous voudrions seulement ici demaiMlcr ik la géométrie grec4|ue un eoBeignement $ur un des probiémed Ioh |><us généraux de b philosophie scientillque : ik>U8 ^xuIonB parler du rùle de l'idée thik>rique» de la pensée pure vi^^-vls de Tapplicallon. I/oppo«ilk)n de ces termes n'a évidemment rien d*al)«olu. La mathématique, dan? son ensemble, reprihçenlc Tidée, quand on la met en regard do toutes les autres sciences plus ou moins coiicr<;tes; mais dans le domaine propre de co qui s appdic d*ordiiMire la mathémati<|ue pure» on voit bien vite les méthodes auivre dan directions différentes selon que le géomvtre est plus ou moin$ exigeant pour la pureté de Tidée, et qu'il écarte do plus en plus les fiualilés relativement sen.siblcs et concrètes de rintuilion, pour se réfugier dans l'intelligible pur, \h oîi Tesprit semiile n*avoir alTairc qu'à lui-mtîme^ c'est-à-dire dans la quantité, dont la formation semble résider dans le pouvoir de la pensée de se répéter autant qu'elle veut, tout en restant identique

h elie-mt^rne. C'est ainsi qu\^ la géométrie s'oppose l'analyse qui semble trouver en cellc-lâi la première occasion de s applicjuer. C'eâtt ainsi enconj que, môme dans Tanalyso, les notions foiKlaroental<?s ne se présentent pas de la mùme façon à tous les esprits. S'il s'agit, par exemple, de la généralisation progrès* sive du nombn», il est possible, iHMir la comprendre, de l'aire plus ou moins appel h Tinluilion, et de voir à des degrés divers, dans les progrès suocessib de la r>ensée mathémati(juè, des postulats de cette intuition ou au contraire des constructions quantitatives de l'esprit '. D ordinaire, legéomaro moderne se montre si vivement attiré vers toute nuîthode qui l'éloigné de rintuilion qu'il semble souvent exagérer son besoin d'intelligibilité, et qu'aux yeux de beaiicoup de |K'nseurs. il tombe dans un symbolisme artificiel, »oit par son désir de substituer à outrance le calcul aux eoostructions géoméiriquctç. soit ixar sa tendance à chasser l'intuition naturelle de toute notion qu'il utilise. Ne semble-t-il |kis renverser systématiquement I ordre des deux termes théorie et pratique, idée pure et application, de fn<.x>n à crtx*r cette illusion que le premier terme aurait quelque sec», quelque raison d'être sans le second? On croit souvent qu'il^ y a là comme une mode de notre temps, un changement de direction en tout cas par rapport à U mathémntique grecque, qu'on oppose d'ordinaire h l'analyse des modernes. On se trompe; et nous voudrions justement mettre en évidence, pnr quelque:^ exemples simples et d ailleurs bien connus, que l'effort <lu nuithéroaticicn pour s'attacher à ridée juire ne date |Kis d'aujourd'hui et que dès lor» il doit avoir, pour se justjtler, des raisons plus profondes qu'on ne le croit d'onlinaire,