IG

Puisque d'ailleurs, à défaut d'un emploi facile de ces derniers, ceux qui s'en rapprochent le plus sont, d'abord , leurs octaves inférieures par exemple, afin de resserrer ces sons déjà trop éloignés, ceux de ces nombres qui , divisés par 2 , donneront des valeurs comprises entre i et 2, représenteront les meilleurs sons à accepter pratiquement avec ou après le son complexe 1 , pour notre échelle musicale entre 1 et 2. Par des raisons semblables , les sons à garder après ceux-ci, seront également ceux de la série compris entre 1 et 2, après la division par 3 , puis par 4 , par 5, par G, par 8 , en laissant toujours de côté les facteurs premiers plus grands que 5 , comme donnant lieu à des opérations difficiles pour l'esprit , ainsi que nous l'avons expliqué pour les sons simples. Les sons de notre meilleure échelle entre 1 et 2 seront donc donnés par les séries suivantes :

ti

IG

Ce qui apporte comme sons nouveaux -—

Si maintenant on classe ces sons par ordre de grandeur, on a la série :1 — ^ — -| 1 — 2, eu laissant de

„Ai' 0 8 9

C'est-à dire les nombres déjà trouvés pour les sons simples, et auxquels nous donnerons les mêmes noms. Quant aux trois der-

nières notes que nous appellerons de même mi* — la** — si*, elles ne devront pas davantage être employées habituellement avec les notes mi, la et si, les notes de basse de ces sons complexes donnant déjà à elles seules , par leur rapprochement , l'inconvénient qu'on n'a pas voulu accepter même pour les sons simples, d'un intervalle mi-mi', la-la*, si-si*, plus petit que la seconde mineure mi-fa ou si-do.

En continuant ainsi on obtiendrait tous les dièses et tous les bémols, les doubles dièses et les doubles bémols, etc., et l'on arriverait à des conclusions tout à fait semblables à celles quenous avons trouvées pour les sons simples. Mais on pourra également ici obtenir les dièses et les bémols par la note naturelle elle-même, préalablement déduite de la tonique, au moyen des rapports -^ ou -^ . On voit qu'ici, comme pour les sons simples , les trois premiers bémols qui se déduisent, comme tous les autres bémols et comme les dièses, des notes naturelles de même nom par un rapport simple , ont également un rapport simple avec la tonique, puisqu'ils ont été trouvés directement au moyen de cette dernière , comme les notes naturelles.

Bien que les notes natui'elles de notre nouvelle échelle , et les trois premiers bémols soient obtenus par la condition de faire avec do les intervalles les plus agréables, il serait peut-être utile de vérifier directement qu'il en est en effet ainsi , malgi'é la présence des harmoniques et des sons résultants des deux genres et de tous ordres , qui donnent tous un si grand nombre de battements. Nous avons en effet, en baissant d'octave, de douzième, etc., les notes trop éloignées de la série parfaite, introduit des causes de discordance dues au rapprochement des sons pouvant alors donner lieu à des battements, en raison des harmoniques qui ne sont plus restés les mêmes. D'ailleurs, cette vérification serait indispensable pour les autres bémols et les dièses déduits non plus de la tonique, mais de la note naturelle ayant seule le rapport simple et agréable avec la tonique. Il y aurait également à étudier les rapports de toutes ces notes naturelles, pour savoir s'ils sont encore agréables, comme pour les sons simples, et restent admissibles.

Examinons d'abord les intervalles avec la tonique. Pour cela il faudraitprendre pour chaque intervalle, les harmoniques de do, comme basse, et ceux de la note supérieure de l'intervalle, puis tous les sons résultants des deux espèces et de tous ordres. On devrait chercher ensuite, pour toutes les combinaisons deux à deux de ces sons, qui sont des sons simples, le ti'ouble que notre deuxième note com-

BECHERCHES THÉOBIQUES. 41

plexe peut apporter au son complexe do, en vertu des deux causes ds perturbation signalées dans l'étude des sons simples , c'est-à-dire examiner les rapports des nombres de vibrations de ces sons deux à deux pour se rendre compte de leur plus ou moins de simplicité, et ensuite les différents groupes de battements.

Ce problème serait on ne peut plus compliqué dans toute sa généralité, mais il peut heureusement se simplifier considérablement dans la pratique. D'abord on sait que si un son est sans harmonique ou simple, il est creux et laisse à désirer, mais qu'il est criard s'il a trop d'harmoniques. Il y a donc un certain milieu à prendre. Or, on constate qu'au delà du sixième son partiel , la suppression des harmoniques est à désirer, ce que l'on obtient même artificiellement par le choix du point d'attaque des marteaux, dans le registre dangereux des pianos. Nous négligerons donc les sons partiels supérieurs au sixième , ce qui reviendra à examiner la situation pour les instruments dans ces conditions, c'est-à-dire pour les meilleurs.

En ce qui concerne les sons résultants, remarquons d'abord que les sons résultants additionnels sont négligeables comme trop faibles devant les sons différentiels. Quant aux sons différentiels d'ordre supérieur au premier, on ^ait qu'ils peuvent être laissés de côté, quand on considère d'autres sons partiels que le son fondamental, surtout dans nos instruments, où l'intensité du son fondamental dépasse en général de beaucoup celle des harmoniques, en donnant ainsi une très-grande intensité relative aux sons différentiels du premier ordre. Cependant, nous examinerons d'abord les sons différentiels des différents ordres et leur influence sur les principaux intervalles trouvés avec la tonique, c'est-à-dire formés par les notes naturelles et les trois premiers bémols. Nous négligerons toutefois les intervalles do-re, do-si, do-si*, comme donnant déjà les battements dangereux du ton environ ou du demi-ton , soit entre les deux notes de basse do et re , soit entre l'octave de do ou son premier harmonique et les notes si et si^". Il restera donc à étudier les intervalles d'octave et de douzième, ainsi que do-sol, do-fa, do-mi, do-la, do-mi', dola*. Comme le nombre des sons résultants différentiels varie suivant qu'on accepte comme produisant un effet non négligeable dans l'instrument , selon les circonstances , soit le premier son partiel seulement, soit les deux premiers sons partiels, soit les trois premiers , etc., nous représenterons par les formules f \' f les sons résultants des premier, deuxième et troisième ordres, en supposant simples les sons

de l'intervalle; par P* les sons résultants du premier ordre, en neconsidérant que les premiers sons partiels, alors 1, = U; pai'U, g les sons résultants du premier ordre en n'admettant que les 2, 3, premiers sons partiels, etc., par f ■\-o\xf — un son résultant un peu plus haut ou un peu plus bas que la note écrite. Si alors on se borne aux six premiers sons partiels représentés par des blanches , les sons résultants seront donnés par le tableau suivant, où les points noirs indiquent les intervalles :

2P 1^ 1^ fcp

Ce tableau montre que les sons résultants sont, en général, trop éloignés des harmoniques pour produire des battements dangereux ; pour l'octave et la douzième, les sons résultants ne font que répéter les harmoniques; pour la quinte il n'y a pas de battements donnés par les sons résultants; pour la quarte, il y aurait les battements négligeables de la tierce majeure fa-la et de la tierce mineure la-do; la sixte majeure verrait apparaître les battements du ton do-re' —, la tierce mineure ceux de mi* -fa' + peu dangereux, les uns comme les autres, l'intervalle étant d'environ une tierce mineure. Pour la sixte mineure, on aurait ceux de do-re-|-, c'est-à-dire d'un peu plus d'une seconde majeure.

Mais, tous ces battements peu nombreux, amenés d'ailleurs par des sons résultants d'un ordre supérieur au premier, sont peu énergiques et par conséquent négligeables. On peut donc se borner à ceux donnés par ^ = f, ce qui réduit le tableau au suivant :

BECHEBCHES THÉOBIQUES.

Ainsi, pour les bons instruments et dans les conditions posées, il ne reste plus de battements dangereux dus aux sons résultants, de sorte que ces derniers ont peu d'influence; on peut donc, pour ces intervalles, se borner à considérer les harmoniques de chaque note, dans la gamme naturelle de dOj par exemple déduit par quintes descendantes du diapason las = 870 vibrations simples par seconde, et alors les battements à redouter pour les différents intervalles indiqués dans la première colonne sont donnés par la deuxième colonne du tableau suivant :

dOj - dOj

Ballemenls

à redouter.

A la hauteur

et à rinlervalle

de

Battement

à la haute

et à l'inte

1 ton.

s ramenés ur de dOj rvalle de

1/2 ton.

dOs - sol 3

dOs - solj

d04 - re* re4 - mi4

faj - S0I3 ^ mi4 -fa4 1 fa4 - S0I4

dOj - faj