BOB

n Vsin a

En vertu de la proposition 2, la vitesse angulaire V reste constante : donc, à chacun des intervalles successifs -, des angles égaux à BOB' viennent s ajouter à

BOB'. Par conséquent, au bout d'une seconde, la projection de Taxe instantané aura tourné de l'angle

nBOB' = n

n Vsin a Vsin a'

De ce que la même chose est vraie pour chaque conde successive, on en conclut que

Vsin a

représente la vitesse avec laquelle la projection de l'axe 01 tourne sur le plan fixe, ou, si Ton veut, la vitesse du pôle I autour du pôle fixe T du plan.

Comme V et a restent constants, on voit que cette vitesse angulaire du pôle I est simplement proportionnelle à la vitesse angulaire v.

Si v est constant, le mouvement du pôle I est uniforme.

2 f SÉRIE, TOME XXXIV. 6, 0

Remarque.

Quant au sens du mouvement du pôle I autour de la normale OT, il est \isible (fig. 1) que, si la force Q agit de manière à éloigner Taxe 01 de Taxe fixe OT, le mouvement angulaire du pôle autour de l'axe fixe OT se fait dans le môme sens que la rotation du corps estimée autour du même axe OT, sens de mouvement qu'on prend pour terme de comparaison, et qu'on appelle le sens direct : de sorte que, dans ce premier cas, on peut dire que le pôle a un mouvement direct autour de l'axe fixe.

Si, au contraire (fig. 3), la force Q tend à rapprocher l'axe 01 de l'axe fixe OT, on voit que le mouvement du pôle I autour de la normale se fait dans un sens contraire à celui de la rotation V, ou qu'il est ce qu'on appelle rétrograde.

Proposition 5.

THÉORÈME

(Fig. 4.)

Dans les mêmes circonstances que ci-dessus, tandis que Vaxe instantané 01 décrit dans l'espace un cône droit à base circulaire autour de la normale au plan fixe, le même axe décrit dans l'intérieur du corps un autre cône droit à base circulaire dont la demi-ouverture b est donnée par l'équation :

col 6= cota.

Supposons que, du centre 0 et d'un rayon 01 — 1 , on décrive la surface d'une sphère : elle coupera le cône que décrit Taxe instantané dans l'espace absolu, suivant une circonférence S, et le cône, quel qu'il soit, décrit par le môme axe dans l'intérieur du corps, suivant une certaine courbe s qu'il s'agit de déterminer.

Il est visible que le mouvement du corps pourrait être produit par un cône mobile à base s, considéré comme attaché au corps et l'entraînant avec soi, qui roulerait, sans glisser, sur le cône fixe à base S. La ligne de contact de ces deux cônes sera à chaque instant l'axe autour duquel le corps tourne dans cet instant, ou ce qu'on appelle l'axe instantané. Dans ce mouvement, la courbe mobile s vient appliquer l'un après l'autre tous ses éléments successifs sur les éléments respectivement égaux de la courbe fixe S.

D'après cela, il est évident que la vitesse du pôle I, pour décrire la courbe S, est parfaitement égale à la vitesse que le même pôle I a pour décrire la courbe 5.

Or, nous avons vu (prop. û) que la vitesse angulaire du pôle I autour de Taxe fixe OT est représentée par

Vsiiia'

Pour passer de cette vitesse angulaire à la vitesse que •e pôle I a sur la circonférence S, il suffit de la multiplier par le rayon de cette circonférence, qui est évidemment égale à

sina;

Il en résulte que la vitesse du pôle I sur la circonférence S sera

Et cette vitesse sera aussi celle du pôle I sur la courbe s.

Si Ton désigne par 26 l'angle au sommet du cône circulaire osculateur du cône s, suivant 01, le rayon de courbure du cône s sera sin b. En divisant par ce rayon la vitesse

on aura

V sin 6

pour la vitesse angulaire du pôle I autour de Taxe du

cône mobile, dont la base est la courbe s.

Il est maintenant évident que la vitesse angulaire de rotation V autour de l'axe instantané 01 doit être égale à la résultante des deux vitesses angulaires de rotation autour des axes des cônes oscillateurs en I des cônes roulants S et s. Si l'on prend sur ces deux axes OT, 0* (fig. 5) des longueurs

0A=— — et 0B =

Vsina Vsinà'

et qu'on construise le parallélogramme OACB, la diagonale OC sera égale à V. Or, on a :

OC = 0A cos a + OB cos 6,

ce qui donne, en mettant pour OC, OA, OB, leurs valeurs :

= ^ cota + - cot6;

d'où Ton tire

col 6 = cota.

Telle est l'expression de la demi-ouverture du cône osculateur du cône mobile s.

Mais nous avons vu (prop. 2, 3) que la vitesse angulaire V de rotation du corps, l'angle 2a au sommet du cône fixe S, sont des quantités constantes; il en résulte que, si v est aussi constant, ou, en d'autres termes, si la force Q est constante, l'angle 26 au sommet du cône mobile s est constant, et que, par conséquent, s est un cercle aussi bien que S.

On peut donc se faire une idée très nette du mouvement d'un corps, tournant autour d'un axe, soumis à l'action d'une force constante qui tend aie faire tourner autour d'un autre axe perpendiculaire au premier, et toujours compris dans un même plan fixe, par cette image si simple de deux cônes circulaires de même sommet 0 (fig. 6), dont l'un, 105, d'une ouverture 26, roule sans glisser sur la surface de l'autre IOS, d'une ouverture 2a.

L'ouverture du cône mobile se déterminera à l'aide de l'équation

col 6 = cota,

ou bien de l'équation

tang 6 =

i-^cota

Lorsque la quantité

^cota

est fort petite, on aura approximativement

Remarque.

Si le mouvement du pôle I autour de la normale fixe OT est direct, les deux surfaces coniques se touchent extérieurement (fig. 6); de sorte que le cône mobile roule en touchant par sa surface convexe la surface convexe du cône fixe (1 ).

Si le mouvement est rétrograde, le cône mobile tombe dans l'intérieur du cône fixe (fig. 7); de sorte qu'il roule en touchant par sa surface convexe la surface concave du cône fixe.

(1) Le mouvement peut être direct, et les deux surfaces coniques se toucher intérieurement. C'est lorsque le cône flxe tombe dans l'intérieur du cône mobile (flg. 8), de manière à fttre enveloppé par celui-ci , qui roule en touchant par sa surface concave la surface convexe du cône fixe. Nous n'aurons point à considérer ce cas.