SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT DES PROJECTILES

Proposition 8.

PROBLÈME

(Fig. 9.)

Déterminer le mouvement d'un cylindre droit lancé dans l'air suivant une direction quelconque, le centre de gravité étant au milieu de l'axe de figure. Le cylindre possède à l'origine un mouvement de rotation autour de son axe de figure.

La résistance de l'air sur la base plane antérieure du cylindre s'exercera dans la direction de l'axe de figure; celle sur la surface convexe sera dirigée suivant la normale au même axe et passera par son centre. Par conséquent, la résistance de l'air sera constamment dirigée vers le centre de figure, et par suite vers le centre de gravité du mobile, puisque ces deux centres se confondent.

La résultante des forces qui agissent sur le mobile étant une force appliquée constamment à son centre de gravité, elle n'aura aucune influence sur le mouvement de rotation autour de ce point, qui sera uniquement dû à l'état initial du mobile, et le même que si le centre de gravité ne se déplaçait pas.

De plus, à cause de la symétrie du cylindre autour

de son axe de rotation, les pressions exercées sur cet axe par les forces centrifuges de ses différents points, engendrées par la rotation, se détruiront évidemment deux à deux.

Par conséquent, le cylindre tournera constamment et uniformément autour de son axe de figure, qui demeurera toujours parallèle à lui-même; en même temps tous les points du cylindre décriront des trajectoires parallèles à la trajectoire de son centre de gravité.

Voyons maintenant la manière de déterminer cette trajectoire que décrit le centre de gravité.

Si Ton admet l'hypothèse ordinaire d'après laquelle la pression qui s exerce entre un fluide et une surface solide, dans leur mouvement relatif, est proportionnelle au carré de la vitesse relative estimée suivant la normale à la surface, il en résulte que la résistance éprouvée par la base antérieure du cylindre est proportionnelle à cette base et au carré de la vitesse du mobile estimée suivant la direction de Taxe du cylindre, direction qui demeure invariable dans tout le cours du mouvement, ainsi que nous avons vu précédemment.

La résistance exercée contre la surface convexe du cylindre sera, d'après un théorème connu, proportionnelle aux deux tiers de la section longitudinale du cylindre et au carré de la vitesse du mobile estimée suivant une direction normale à l'axe de figure du cylindre, direction qui sera évidemment celle du plan

normal à l'axe de figure, ou, en d'autres termes, celle du plan de Yéquateur du projectile.

Si Ton projette donc le mouvement du centre de gravité sur un axe fixe OX qui soit Taxe de figure du projectile à l'origine, et sur un plan fixe OYZ qui soit Péquateur du projectile à l'origine, les mouvements des deux projections du centre de gravité du cylindre sur cet axe OX et sur ce plan OYZ s'effectueront indépendamment l'un de l'autre et seront précisément égaux à ceux qu'auraient deux cylindres pareils, dont l'un, étant enfilé suivant son axe de figure sur l'axe OX, glisserait sans frottement sur cet axe, et dont l'autre serait assujetti à glisser sans frottement par sa base plane sur le plan OYZ; l'un et l'autre ayant reçu primitivement des vitesses initiales égales respectivement aux projections de la vitesse initiale du mobile de l'espace sur l'axe et le plan fixes.

En effet, la somme algébrique des projections sur l'axe OX des forces qui sollicitent le mobile sera composée d'un terme constant dû à la pesanteur, et d'un terme dû à la résistance de l'air, proportionnel au carré de la vitesse du mobile estimée suivant cet axe ; en sorte que le mouvement du centre de gravité parallèlement à cet axe OX sera le même que celui d'un cylindre égal isolé (prop. 6).

De même, la somme algébrique des projections sur le plan fixe OYZ des forces qui sollicitent le mobile sera composée d'un terme constant provenant de la pesanteur, et d'un terme proportionnel au carré de la vitesse du mobile estimée suivant ce plan ; en sorte que

le mouvement du centre de gravité parallèlement à ce plan OYZ sera indépendant du mouvement dans la direction de Taxe OX et pourra en être déterminé séparément (prop. 7).

Ainsi, le problème du mouvement d'un cylindre droit tournant lancé dans l'air se réduit au problème du mouvement d'un cylindre qui glisse suivant son axe sur une droite inclinée à l'horizon, et au problème du mouvement d'un cylindre qui glisse en s'appuyant par sa base sur un plan incliné, en faisant abstraction du frottement et tenant compte de la résistance de l'air.

Le premier problème ne présente aucune difficulté; le second est en tout point pareil à celui du mouvement d'une sphère dans l'air, problème qu'on résout au moyen des méthodes connues.

Conséquence.

Si la direction de la vitesse initiale du centre de gravité est comprise dans le même plan vertical que l'axe de figure du cylindre, la résistance sur la surface convexe de celui-ci sera toujours comprise dans le même plan vertical pendant tout le cours du mouvement; en sorte que la trajectoire sera plane, tandis qu'elle est à double courbure dans le cas général.

Proposition 9.

PROBLÈME

Un cylindre droit dont le centre de gravité situé sur ïaxe ne coïncide point avec le centre de figure, est lancé dans l'air suivant une direction quelconque.

Le cylindre possède à l'origine une très grande vitesse angulaire de rotation autour de son axe de figure. On propose de déterminer le mouvement de rotation du cylindre, dans toute la suite du temps.

La seule force qui agisse pour troubler la rotation du cylindre est la résistance de l'air appliquée au centre de figure, et constamment comprise dans le plan de Taxe de figure et de la direction du mouvement du centre de gravité. Son effet sera de tendre à faire tourner le cylindre autour d'un axe toujours perpendiculaire à ce plan.

Considérons le mobile à l'origine, où l'axe de rotation coïncide avec Taxe de figure. Nous avons ici un corps qui tourne autour d'un axe, soumis à l'action d'une force qui tend à le faire tourner autour d'un autre axe compris dans le plan normal à la direction du mouvement du centre de gravité, et perpendiculaire à l'axe delà rotation actuelle du corps. C'est précisément le cas considéré dans les propositions 2, 3, û, 5.

Par conséquent, la grandeur de la vitesse angulaire de rotation restera constante, et l'axe instantané de rotation prendra dans l'espace absolu un mouvement conique autour de la direction de la vitesse du centre de gravité.

La vitesse du pôle de l'axe instantané autour de la direction de la vitesse du centre de gravité sera :

viîn^*

°ù v désigne la vitesse angulaire que la résistance de

l'air engendrerait dans une seconde si, pendant ce temps, elle se conservait constante en intensité et en direction relativement au mobile ; V, la vitesse angulaire de rotation du mobile; a, l'angle que fait Taxe de rotation avec la direction de la vitesse du centre de gravité.

Tandis que Taxe instantané décrit ce cône dans l'espace absolu, il décrit dansl 'intérieur du corps un autre cône dont la demi-ouverture b est donnée par l'équation (prop. 5) :

cot6= — — cota.

D'après l'hypothèse posée, V est fort grand comparativement à v; il s'ensuit que b est fort petit, c'està-dire que l'axe instantané de rotation du cylindre est très voisin de l'axe de figure.

L'angle 6, dans le tir des projectiles, n'est ordinairement que de quelques secondes; de sorte que l'écart des deux axes à la partie antérieure des projectiles n'est que de quelques centièmes de millimètre tout au plus.

Nous pourrons donc regarder, sans aucune erreur sensible, ces deux axes comme n'en formant qu'un seul, quand il ne s'agit que d'étudier les mouvements de ces axes dans l'espace absolu.

Si l'on admet que l'axe de figure du cylindre se confond toujours avec l'axe instantané de rotation, il en lentille que Taxe de la rotation que la résistance de l'air li'iiil h produire sera constamment perpendiculaire li l'axe de la rotation acquise.

On en conclut que, quand le cylindre que nous considérons a reçu une très grande vitesse de rotation autour de son axe de figure, s'il est lancé dans l'air suivant une direction quelconque :

1° Sa vitesse angulaire de rotation demeure constante dans tout le cours du mouvement;

2* Son axe de figure prend autour de la direction de la vitesse du centre de gravité un mouvement conique très lent par rapport à la rotation du mobile, et qui est direct ou rétrograde selon que le centre de figure du corps est en avant ou en arrière du centre de gravité.

Remarque.

Il importe de remarquer que l'ouverture 2a du cône décrit dans l'espace par l'axe de figure du cylindre, et que la vitesse

Vsina

du pôle de celui-ci, sont variables et dépendent du mouvement de translation du mobile. Car l'angle a et la vitesse angulaire v, qui est naturellement une fonction du même angle et de la vitesse du centre de gravité, varient dans les différents points de la courbe ou trajectoire que décrit le centre de gravité.

Si nous avons considéré isolément la rotation, c'est pour en donner une idée nette; mais, lorsqu'il s'agira de calculer le mouvement du projectile, il faudra tenir compte en même temps des deux mouvements de rotation et de translation qui influent mutuellement Pun sur l'autre.

Proposition iO.

PROBLÈME

Déterminer le mouvement de translation du cylindre considéré dans le problème précédent.

Tandis que l'axe de figure du cylindre décrit un cône, avec une vitesse angulaire variable, autour de la direction de la vitesse du centre de gravité, celui-ci décrit une courbe dans l'espace qu'il s'agit de déterminer.

Il est très difficile qu'on parvienne à obtenir, à l'aide du calcul intégral, des valeurs exactes ou même approchées, — assez simples pour être de quelque utilité en pratique, — des coordonnées du centre de gravité à un instant quelconque ; mais on pourra toujours déterminer la vitesse et la position du mobile, à chaque instant, de la manière suivante.

Imaginons que le temps total pendant lequel s'effectue le mouvement du projectile soit divisé en un très grand nombre de parties égales.

Concevons que le mobile, pendant chacun des petits intervalles de temps partiels, se meuve parallèlement à lui-même, et qu'au bout de chaque intervalle son axe de figure tourne instantanément autour de la tangente à la trajectoire, — ou, en d'autres termes, autour de la direction de la vitesse du centre de gravité, — de la quantité angulaire relative à cet intervalle de temps.

La successiôn des mouvements, que nous substi-

tuonsainsi au mouvement réel, dans les diverses parties dans lesquelles la durée totale du mouvement a été décomposée, constituera un nouveau mouvement différent du réel. Mais la différence qui existe entre ces deux mouvements sera de plus en plus faible, à mesure que le nombre des parties égales, dans lesquelles nous avons divisé le temps total, sera plus considérable; et nous pouvons regarder le nouveau mouvement comme tendant indéfiniment à se confondre avec le réel, si nous supposons que le nombre de ces parties du temps total augmente jusqu'à l'infini.

Or, pour chaque intervalle de temps, nous savons, à l'aide de la jfroposition 8, déterminer le mouvement de translation du cylindre dont les projections du centre de gravité sur la direction de Taxe de figure et sur le plan de l'équateur, dans leur position relative à Vorigine de cet intervalle, se meuvent indépendamment l'une de l'autre.

Au bout de chaque intervalle, il sera facile, à l'aide de la proposition 9, d'assigner la quantité angulajre dont Taxe de figure a tourné autour de la taugente à la trajectoire pendant cet intervalle de temps. On n'aura pour cela qu'à multiplier par ce temps la vitesse angulaire

V sin a

du pôle de Taxe de figure autour de la tangente à la trajectoire.

En commençant cette suite de constructions au point

2 e SÉRIE. TOME XXXIV. 7. 7

de départ du mobile, où Ton connaît la vitesse du centre de gravité en grandeur et en direction, ainsi que la direction de Taxe de figure, il est évident qu'on déterminera successivement tous les points de la trajectoire à double courbure que décrit le centre de gravité, et en même temps la vitesse dont celui-ci sera animé en chacun de ces points, ainsi que la direction de l'axe de figure du mobile, à tel degré d'approximation qu'on voudra.

Remarque.

Sans exécuter toute cette construction assez longue et pénible, nous pouvons nous rendre compte de l'effet produit par les différentes positions que peut avoir le centre de figure relativement au centre de gravité du cylindre pour entraîner celui-ci hors du plan de tir.

Nous supposerons que le cylindre est lancé suivant la direction de son axe de figure.

Si le centre de figure est situé en avant du centre de gravité, il est visible que la résistance de l'air tendra à éloigner l'axe de figure de la direction de la tangente à la trajectoire; de sorte que le mouvement conique de l'axe de figure sera direct (prop. û). Donc, si le mobile a reçu à l'origine une rotation telle que celles déterminées par la disposition ordinaire des rayures des armes à feu, son axe de figure se portera d'abord latéralement à droite. Par suite, le projectile commencera par se présenter de travers à la résistance de l'air, qui interviendra pour amener le centre de gravité hors du plan de tir ver$ la droite.

A mesure que le projectile avance, il se présentera de plus en plus de flanc à la résistance de l'air, et devra par suite s écarter de plus en plus du plan de tir.

Si, au contraire, le centre de figure est placé derrière le centre de gravité, il est visible que la résistance de l'air tendra à rapprocher Taxe de figure de la tangente à la trajectoire, et par suite donnera naissauce à un mouvement conique rétrograde de Taxe de figure autour de la tangente (prop. 4). Cet axe s'inclinera donc d'abord vers la gauche, et son inclinaison augmentera de plus en plus à mesure que le projectile s'éloignera du point de départ. Dans ce cas, la déviation aura lieu vers la gauche.

On en conclut que, dans le mouvement d'un projectile cylindrique, le centre de gravité est dévié vers la droite ou vers la gauche, suivant que le centre de figure se trouve devant ou derrière le centre de gravité.

Nous avons à peine besoin d'ajouter que, si la rotation initiale du cylindre avait lieu en sens inverse, la déviation se produirait en sens opposé.

Proposition ii.

PROBLÈME

Déterminer le mouvement des projectiles lancés par les armes à feu rayées.

Les projectiles des armes à feu rayées sont des corps de révolution auxquels l'explosion de la charge de poudre communique une très grande vitesse de pro-

^/WlVEMENT des projectiles

^jeetion, ainsi qu^e très grande vitesse angulaire de rotation,

V-^est^^^wideut que la vitesse angulaire de *rj^iorî*test er^Mson directe de la vitesse de projec- ^^^ef^U^n inverse de la partie de Taxe de l'âme de l'arme, qui répondrait à un tour entier des hélices, prolongées s'il est nécessaire. Si l'on désigne par u 0 la vitesse de projection, par p le pas des hélices, le projectile fera sur lui-même, dans chaque unité de temps, un nombre de révolutions égal à

de sorte que la vitesse d'un point lié au projectile et situé à une distance de Taxe égale à l'unité de longueur, ou la vitesse qu'on nomme angulaire, sera, au sortir de l'arme,

2iru 0

Cette vitesse angulaire est toujours très grande dans les armes à feu, en raison de la grandeur de la vitesse de projection. Par exemple, dans le canon de 6 de campagne piémontais, la vitesse de projection étant 321 mètres, et le pas 2™, 20, la vitesse angulaire de rotation s élève à 146 tours par seconde ou à 917 mètres pour un point placé à 1 mètre de distance de l'axe de rotation.

Les projectiles oblongs qu'on emploie dans les armes à feu rayées ne sont pas tout à fait cylindriques : ils sont ordinairement composés d'une partie cylindrique

et d'une partie conoïde. La courbe méridienne de celle-ci est le plus souvent un arc de cercle dont le centre est situé hors de Taxe de figure.

L'expression de la résistance de l'air exercée contre ces projectiles, de forme cylindro-ogivale, est assez compliquée, ce qui rend le problème du mouvement de ces projectiles bien plus ardu que celui du mouvement des projectiles de forme parfaitement cylindrique.

Comme on ne saurait espérer d'obtenir, en termes finis, la valeur des divers éléments qui servent à déterminer le mouvement des projectiles de forme cylindroogivale, le meilleur parti nous paraît celui de décrire la trajectoire par points. Voici une manière que nous proposons.

Nous ferons d'abord observer que tant que l'angle formé par l'axe du projectile avec la direction de la vitesse du centre de gravité, ou, en d'autres termes, avec la tangente à la trajectoire, n'est pas grand, la résistance estimée suivant l'axe du projectile ne s'écarte guère d'être proportionnelle au carré du cosinus de cet angle.

Quant à la résistance estimée normalement à l'axe du projectile, en raison de la partie conoïde, elle croît moins rapidement que pour un cylindre : pour des inclinaisons assez petites de l'axe sur la tangente à la trajectoire, elle est à peu près proportionnelle au sinus de cette inclinaison.

Observons, en outre, que la vitesse du centre de gravité du projectile, estimée suivant la normale à

iO'î DU MOUVEMENT DES PROJECTILES

l'axe de figure, est toujours assez petite, au moins pour les amplitudes ordinaires du tir; de sorte qu'on ne commettra pas une grande erreur, si Ton suppose la résistance dans cette direction comme proportionnelle à la simple vitesse ; bien entendu qu'on fera varier le coefficient de la résistance d'un élément à l'autre de la trajectoire.

D'après cela, nous supposerons :

1° La résistance estimée suivant l'axe du projectile comme proportionnelle au carré de la vitesse du centre de gravité estimée suivant le même axe ;

2° La résistance estimée normalement à l'axe du projectile, comme proportionnelle à la première puissance de la vitesse du centre de gravité estimée suivant la môme direction.

Supposons maintenant, comme nous l'avons fait dans la proposition 10, que, pendant un temps très court, l'axe du projectile se conserve parallèle à luimême, et qu'ensuite, au bout de ce temps, il tourne instantanément, autour de la tangente à la trajectoire, de la quantité angulaire relative à ce temps.

Pour déterminer le mouvement de translation pendant ce temps très court, nous aurons à considérer :

1° Un projectile qui se meut, la pointe en avant, dans la direction de son axe, soumis à une résistance proportionnelle au carré de la vitesse ;

2° Un autre projectile égal qui se meut de flanc, appuyé par sa base sur le plan de Féquateur, soumis à une résistance proportionnelle à la simple vitesse.

Le mouvement de translation étant ainsi décom-

posé, il sera aisé d'obtenir la valeur explicite des chemins parcourus par les projections du centre de gravité sur trois axes qui se déplacent d'un élément à l'autre de la trajectoire, et de là les chemins parcourus parallèlement à trois axes fixes. Car les projections du centre de gravité sur les axes mobiles ont le même mouvement que des points matériels distincts qui auraient même masse que le projectile et seraient sollicités respectivement par les composantes de la force qui agit sur le projectile donné, et la question sera réduite au mouvement rectiligne.

Après la translation, si l'on fait tourner l'axe du projectile de la quantité angulaire relative au temps très court de la translation, on aura la position de Taxe dans l'espace.

On pourra ainsi, de proche en proche, construire les positions successive^ du projectile. On connaîtra également la direction et la grandeur de sa vitesse.

H est évident que plus sera grand le nombre de parties dans lesquelles on aura divisé le temps, plus la courbe ainsi construite s'approchera de représenter la véritable trajectoire.

Remarque 1.

U est bon de remarquer que cette description par points de la trajectoire peut s'adapter à des lois de la résistance en fonction de la vitesse autres que celle ordinaire du carré, que nous avons rapportée simplement pour fixer les idées.

U n'est pas même besoin que la loi de la résistance

soit de nature à pouvoir être exprimée par une combi naison de signes de l'analyse mathématique. On peut concevoir qu'au moyen de nombreuses expériences, en faisant mouvoir le projectile sous diverses inclinaisons et avec diverses vitesses, on ait construit une table à double entrée, où se trouvent les valeurs de la résistance correspondante aux divers angles et aux diverses vitesses.

Au moyen d'une pareille table, on déterminera les coefficients de la résistance à employer sur chacun des éléments dans lesquels la trajectoire a été divisée. Pour cet effet , à l'origine de chaque élément, on divisera la résistance estimée suivant l'axe du projectile qui se trouve dans la table par le carré de la vitesse estimée suivant cet axe : le quotient çera le coefficient de la résistance suivant l'axe à employer pour cet élément. On divisera de même la résistance estimée suivant la normale qui se trouve dans la table par la vitesse estimée suivant la même direction : le quotient sera le coefficient de la résistance suivant la normale à employer dans le calcnl de l'élément de la courbe.

Ces coefficients, au lieu d'être constants, varieront d'un élément à l'autre; mais leurs variations, pour l'amplitude ordinaire du tir, seront assez restreintes.

Remarque 4 J.

Les expériences exécutées en divers pays avec des projectiles oblongs, tirés au moyen d'armes rayées, ont démontré que ces projectiles éprouvent toujours une déviation latérale vers la droite de l'observateur placé

au point de départ et tourné vers la trajectoire, déviation qui a reçu le nom de dérivation.

Dans les projectiles oblongs, on s'efforce de porter le centre de gravité le plus près possible de la partie antérieure. Il semblerait donc, au premier abord, que le centre de résistance (1) devrait se trouver derrière le centre de gravité ; et que, par conséquent, d'après la remarque de la proposition 10, la dérivation devrait avoir lieu à gauche, puisque la direction des rayures est telle, que le dessus du projectile tourne de gauche à droite par rapport à l'observateur placé en arrière de l'arme.

Mais en y regardant de près, il n'est pas difficile de se convaincre que le centre de résistance d'un projectile terminé antérieurement par une partie conoïde, tombe fort près du centre de résistance de la partie conoïde, au commencement du mouvement, c'està-dire tant que la direction du mouvement de translation fait un petit angle avec Taxe de figure.

On voit par là qu'à moins de faire coïncider le centre de gravité du projectile avec le centre de résistance de la partie antérieure conoïde, ou de le porter en avant de ce point, — condition difficilement réalisable en pratique, — il arrivera toujours qu'au commencement du mouvement le centre de résistance du projectile entier tombera devant le centre de gravité,

(l) Nous appelons centre de résistance du projectile le point où la direction de la résultante des résistances, — exercées sur tous les points de sa surface, — coupe son axe de figure.

et que par suite la dérivation commencera par se faire vers la droite. (Prop. 10, remarque.)

A mesure que l'inclinaison de Taxe de figure sur la direction du mouvement augmentera, le centre de résistance se rapprochera du centre de gravité, il l'atteindra même et passera de l'autre côté; alors la dérivation changera de sens. Mais, pour les amplitudes ordinaires du tir, cet effet ne se produit pas, ou, s'il se produit, il n'a pas le temps de compenser la dérivation qui a déjà eu lieu à droite.

Pour fixer les idées sur les variations que subit la distance du centre de résistance au centre de gravité à mesure que l'inclinaison de l'axe de figure sur la direction du mouvement augmente, nous donnerons le tableau suivant relatif au projectile du canon rayé de û français, dont le diamètre est 0",084 et le poids 3 k ,9 :

Angle que fait Vaxe de figure du projectile avec la direction du mouvement du centre de gravité.

degrés.

kb

Distance du centre de résistance au centre de gravité.

o,oa9

(i) Le signe négatif indique que le centre de résistance est derrière le centre de gravité.

(La suite à la prochaine livraison.)

Le comte Paul de Saint-Robert.