SIMILITUDE DES TRAJECTOIRES
Proposition flt.
THÉORÈME
(Fig. 10.)
Deux projectiles semblables par la forme et par la constitution intérieure (2), de différent calibre, lancés par des armes à feu rayées, sous le même angle, dans l'air, décrivent des courbes semblables lorsqu'on a, en même temps :
(1) Voir le Spectateur militaire du 15 avril 18G1.
(2) Nous entendons par là que les deux projectiles sont semblables, non-seulement au point de vue géométrique, mais encore au point de vue de la disposition de la matière, c'est-à-dire que les lignes de l'un des projectiles sont dans un rapport constant avec les lignes homologues de l'autre, et, de plus, que les masses des éléments de l'un sont dans un rapport constant avec les masses des éléments homologues de l'autre. Les deux rapports différeront généralement entre eux.
2 e SÉRIE. TOME XXXIV. 7. 17
1° Les vitesses initiales en raison directe des racines carrées des poids des projectiles, et en raison inverse des dimensions linéaires des projectiles;
2° Les pas des hélices des deux armes à feu proportionnels aux dimensions linéaires des projectiles.
Ces conditions étant remplies, les dimensions linéaires des deux trajectoires sont en raison directe des poids des projectiles, et en raison inverse des carrés des dimensions linéaires de ceux-ci; le rapport des vitesses des projectiles en des points homologues des deux trajectoires, est le même que le rapport des vitesses initiales; le rapport des temps employés pour arriver à ces points homologues, est le même que celui des vitesses initiales.
Si l'on remplace les deux courbes à double courbure que décrivent les deux projectiles par deux polygones gauches d'un nombre infini de côtés, afin que les deux courbes soient semblables, il est nécessaire et il suffît que les deux polygones gauches aient les côtés proportionnels et parallèles deux à deux, ou, ce qui revient au même, il est nécessaire et il suffit que les deux polygones gauches aient les côtés homologues proportionnels, et les angles homologues de continget\ce et de torsion égaux.
Nous rappellerons que l'angle de contingence est l'angle compris entre deux côtés consécutifs, ou, en d'autres termes, l'angle compris entre deux tangentes de la courbe infiniment voisines; que l'angle de torsion est l'angle formé par un plan qui contient deux côtés
consécutifs avec le plan pareil qui le suit immédiatement, ou, en d'autres termes, l'angle de deux plans oscillateurs consécutifs.
Soient C et C r les deux courbes; P et P r les poids des deux projectiles semblables; L et L r deux lignes homologues des mêmes projectiles.
Prenons sur les deux courbes C et C deux arcs tels, que les temps T et T nécessaires pour les parcourir soient dans la proportion
jY'
Divisons le temps T en particules infiniment petites t, ((ne nous nommerons des instants, et soient marqués, sur la courbe C, (fig. 10) des points successifs 1. 2, 3, etc., où vient passer d'un instant à l'autre le centre de gravité du projectile P. Joignons les points 0, 1, 2, 3, etc., par des droites, et considérons la courbe comme un polygone d'une infinité de cotés.
Divisons le temps T' dans le même nombre de parties égales que le temps T. Si l'on désigne par t* une de ces parties, on aura évidemment
Marquons sur la courbe C des points successifs 1', ~2\ 3', etc., où vient passer le projectile P' d'un instant k l'autre. - . ; i
Considérons maintenant les deux projectiles à l'origine. D'après l'énoncé de la proposition, les deux vi-
tesses initiales w 0 , < satisfont a la condition suivante :
, Vp l/W
Les forces provenant de la résistance du milieu contre les deux projectiles que nous supposerons parallèles à l'origine sont évidemment entre elles comme les carrés des vitesses et comme les aires des surfaces sur lesquelles s'exerce la résistance de l'air, c'est-à-dire comme
et les accélérations qu'elles produisent comme
Si Ton a égard au rapport précédent des deux vitesses initiales u ot u/, on voit que ces deux accélérations sont égales.
Outre la résistance du milieu, les deux projectiles sont soumis à la pesanteur; mais ici, de même les accélérations produites par cette force sont égales pour les deux projectiles.
Il est de plus évident que, si les directions du mouvement à l'origine des deux projectiles sont parallèles, les deux accélérations d'un projectile provenant de la résistance du milieu et de la pesanteur sont respectivement parallèles et dirigées dans le même sens que les accélérations de l'autre projectile. 11 en résulte qu'à l'origine les deux projectiles ont des accélérations totales égales en intensité et en direction.
Soit f l'accélération totale commune, m l'angle
qu'elle fait avec la direction du mouvement à l'origine.
Au bout du temps infiniment petit t, la vitesse sur la courbe C au point 1 sera
u i *=* u o + ft cos m,
et la vitesse sur la courbe G au point 1', après le temps t\ sera
u/ = u ; 0 +ft'cosm.
Or, nous avons
on en déduit
«/.«I - — jT-'
c'est-à-dire que les vitesses aux points 1 et l f sont dans le même rapport qu'aux points 0 et 0'.
La longueur du côté 01 sur la courbe C s'obtiendra en multipliant la demi-somme des vitesses aux deux extrémités par le temps t; en sorte qu'on aura pour son expression
t + ï ft* cos m.
On aura de même, pour la longueur du côté OT de la courbe C,
tt' 0 t' + i ft'* cos m.
En ayant égard au rapport de u 0 à u 0 \ et de t à t\ on déduira que les deux côtés sont entre eux comme
p jp^
Il nous faut maintenant prouver que les angles de
contingence et de torsion des deux courbes sont respectivement égaux deux à deux.
Soit OT (fig. il) la direction de la vitesse initiale « of uo de la tangente à la courbe C au point 0. Prenons sur OT une droite OA égale à u 0 c'est-à-dire à l'espace qui serait décrit par le mobile dans l'instant t, en vertu seulement de la vitesse u 0 . Joignons À au point 1. Le côté Al du triangle 0A1 sera égal à l'espace
i ffi
que ferait parcourir au mobile pendaut le temps f, suivant sa direction, la force qui le sollicite, indépendamment de la vitesse u 0 . Le côté 01 est l'espace que parcourt réellement le mobile, et nous avons vu cidessus qu'il est égal à
u 0 f + ï ft* cos m.
Nous avons donc
Al = i ft\ 01 =w 0 * + cos m.
Si Ton fait la même construction relativement à l'autre courbe C, on aura un autre triangle O'AT, où
0'A' = u 0 '*' A'1' = i ft'* 0'i' = u 0 't' + \ ft* cos m.
En ayant égard au rapport de ti 0 à uj et de i à t\ on voit que les côtés des deux triangles sont proportionnels; donc, ils sont équiangles, et les deux angles de contingence A01, A'OT, sont égaux; de sorte que, si jes deux tangentes à l'origine sont parallèles, les deux côtés 01, OT le seront aussi.
De plus, les accélérations des deux projectiles étant parallèles, il s'ensuit que le plan qui contient la tangente à l'origine et le premier côté 01 d'un polygone sera parallèle au plan homologue de l'autre polygone.
Le projectile P étant arrivé au point 1, sur la courbe C, pour avoir la position de son axe dans l'espace en ce point, il faut, d'après ce qu'on a vu dans la proposition 10, le faire tourner autour du côté 01 de l'angle
vt
V sin a
De même sur la courbe C r , au point homologue 1', il faut faire tourner le projectile P' autour du côté O'I de l'angle
v'V V'sin a
Les deux vitesses angulaires v et v' sont en raison directe des résistances estimées suivant la normale à l'axe de figure di; projectile, en raison directe des distances du centre de résistance au centre de gravité, et en raison inverse des moments d'inertie des deux projectiles.
A cause de la similitude géométrique des deux projectiles, les résistances seront proportionnelles aux carrés des dimensions linéaires ; elles seront, en outre,
proportionnelles aux carrés des vitesses; de sorte qu'on aura
. IAi*D L*ti 4 *D'
°ù D, D r , désignent pour chaque projectile la distance
du centre de résistance au centre de gravité; I, 1\ les moments d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire à Taxe de figure, et passant par le centre de gravita.
Nous avons supposé que les deux projectiles étaient semblables non- seulement au point de vue géométrique, mais encore par leur constitution intérieure ; c est-à- dire nous avons supposé les deux projectiles comme formés d'un même nombre de molécules semblablement disposées et possédant des masses dans le rapport de P à F. Dès lors, on aura les proportions
