ET LA MATHÉMATIQUE

tx 9 A ni Re UT VE PRULA PHYSIQUE . CN ‘pour Descartes la méthode et la mathématique univer- -selle se confondent presque. A la vérité, nous ne devons __ pas tenir les deux choses pour rigoureusement identiques, puisque Descartes a très explicitement affirmé

que sa méthode s'applique aux notions spirituelles comme

à celles qui ont pour type l'étendue. Nous avons essayé

d'indiquer, en nous autorisant de la lettre de l'auteur -sur l'invention d'une langue universelle.(I, 76 ; cf. p. 44), comment celte généralité de la méthode pouvait se

concevoir, comment il y aurait déjà pour lui un alphabet

des pensées humaines et une science des combinaisons de ces pensées. Mais, si la mathématique se distingue de la méthode, elle en est incontestablement une forme

concrète, immédiatement dérivée de la forme générale. —

Qu'est-ce que la mathématique de Descartes en eflet ? Pendant longtemps on en a donné l'interprétation dont Ja forme définitive se trouve chez Comte. La mathématique de Descartes est une géométrie analytique, c'est-à dire génétique et générale : au lieu de spéculer sur des figures données dans l'intuition et dont chacune est une espèce isolée, la mathématique de Descartes donne la loi quantitative des systèmes de positions qui constituent les figures, ce qui permet de négliger les figures - pour en considérer seulement la traduction algébrique, de ranger dans une même famille toutes les figures qui se traduisent par des équations de même degré et de woir comment les propriétés d'une figure découlent de la formule par laquelle on en a exprimé la loi de construction.

Cette interprétauon de la mathématique cartésienne assurément n'est pas fausse ; elle est justifiée par le fait que de Descartes est issue une géométrie nouvelle. Cependant d'autres historiens philosophes des sciences ont pu soutenir qu'il fallait, pour être dans le vrai, prendre l'inverse de l'interprétation traditionnelle. La

__ amathématique de Descartes, au lieu d'être une applica-

RME AMP) RE D ASS D te | Sr te TRE NS 88 DESCARTES. “: : A if TR tion * l'algèbre à la géométrie, est plutôt, disent-ils, une interprétation de l'algèbre par la géométrie. Et es à L y a, de leur côté aussi, des faits probants. Par exemple ; | l'ouvrage que Descartes intitule Géométrie est, malgré | son titre, un traité des équations, et, d’autre part, un des an, fruits les plus célèbres de la mathématique cartésienne 4e est la théorie des quantités négatives, c’est-à-dire l'in- En terprétation des racines négalives des équations, des 74 fausses racines, comme on disait avant que Descartes leur eût découvert un sens géométrique. Il semble bien que les deux interprétations opposées de la mathématique cartésienne sont justes l’une comme l’autre, et em même temps insuffisantes, même quand on les réunit. Ce que Descartes s’est proposé, c’est de faire la théorie de la quantité en général. Iln'a pas spéculé sur des figures particulières, il s’est élevé de la géométrie à l'algèbre ; d'autre part, prenant l'algèbre en elle-même, il en a interprété les symboles. Mais, plus véritablement encore, ils’est proposé un objet plus général que la quantité proprement géométrique, etdans l'algèbre il a vu l'expression symbolique des rapports quantitatifs. La géométrie analytique n’est qu'une espèce de cette science de la quantité, et, par définition, les symboles algébriques doivent avoir un sens relativement à la quantité en général. Cette conception de la mathématique, souvent … exprimée par Descartes, l'est avec un bonheur particulier dans la IV° des /équlæ : « Atqui videmus neminem fere esse, si prima tantum scholarum limina tetigerit, qui non facile distinguat ex 1is quæ occurrunt, quidnam ad Mathesim pertineat et quid ad alias disciplinas. Quod attentius consideranti tandem innotuit, illa omnia tantum, in quibus ordo vel mensura examinatur, ad Mathe sim referri, nec interesse utrum in numeris vel figuris vel asiris vel sonis aliove quovis objecto, talis mensura quærenda sit : ac proinde generalem quamdam esse debere scientiam ; quæ id omne explicet, quod circa

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