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très bons, il y en a toutefois tant d’autres, mêlés parmi, qui sont ou nuisibles ou superflus, qu'il est presqu'aussi malaisé de les en séparer que de tirer une Diane ou une- Minerve hors d'un bloc de marbre qui n'est point encore: ébauché. Puis, pour l'Analyse des anciens et l'Algèbre:des modernes, outre qu'elles né s'étendent qu'à des matières fort abstraites et qui ne semblent d'aucun usage, la première est toujours si astreinte à la considération. des figures, qu'elle ne peut exercer l'entendement sans fatiguer beaucoup l'imagination; et on s’est tellement assujetti, en la dernière, à certaines règles et à certains chiffres, qu'on en a fait un art confus et obscur qui embarrasse l'esprit, au lieu d'une science qui le cultive. ». (VE, 17 [G S6/).

Nous aurons à rechercher tout à l'heure si Descartes: est ou non redevable à la logique; c’est un point sur lequel on discute. Mais personne ne conteste qu'il se soit: inspiré de l'analyse et de l'algèbre. Pour voir ce qu'il leur a demandé, commençons par reprendre notre texte en: le serrant de près. — D'abord, que Descartes ait ou non puisé dans la logique, il y a deux points sur lesquels elle ne le satisfait pas et pour lesquels par conséquent ik a dù mettre à contribution l'analyse et l'algèbre. Les syllogismes et les autres instructions de la logique permettent de parler sans jugement des choses qu'on ignore. Quelles sont ces « autres instructions » ? C'est sans doute quelque: chose qui tient de près au syllogisme, c'est la hiérarchie des concepts, l'arbre de Porphyre. C'est ce qu'indique: l'Anguisiio veritatis (A) (AT. X, 515 sq., Cous. XI, 355 sq.).

(1) C’est un dialogue en français, que Descartes avait commencé d'écrire, mais qu’il n’acheva pas. Longtemps il n’a été connu que par

la traduction latine qu’en donna en 1701 l’éditeur hollandaise des Post--

huma (trad. franç. dans Cousin, XI, 331 sqq. ; texte latin dans Garnier, III, 141). Cependant le ms. du texte original figure dans l’Inventaire de Stockholm (X, 118) et il a été entre les mains de Baillet( Vie de D. 11, 406) ; d'autre part Leibniz en a possédé une copie (X, 354, 355), mais il a été impossible, jusqu’à présent, de retrouver celle-ci. En revanche,

en 1906, on a découvert à Hanovre une autre copie, que Tschirnhaus.

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La logique, et notamment la classification et la théorie des oppositions en extension, enseignent à parler sans Juger, et même de ce qu'on ignore ; car avec leur aide on tire des conséquences sans lier les notions, puisqu'on n'a même pas à former de notion : tel est par exemple Je cas où l’on applique à quelques-uns ce qui est vrai de tous, sans autre raison que l'inclusion du moins étendu dans le plus étenüu. Ce reproche tombe aussi d’ailleurs sur le syllogisme fondé sur le dicium : « Mirabuntur autem fortasse nonnulli, dit la Règle X, quod hoc in loco, ubi qua ratione aptiores reddamur ad veritates unas ab aliis deducendas inquirimus, omittamus omnia dialecticorum præcepla quibus rationem humanam regere se putant, dum quasdam formas disserendi præscribunt, quæ tam necessario concludunt ut illis confisa ratio, etiamsi quodam modo ferietur [sc. : se désintéresse de| ab ipsius illationis evidenti et attenta consideralione, possit tamen interim aliquid certum ex vi formæ concludere : quippe advertimus elabi sæpe veritatem ex istis vinculis, dum interim illi ipsi qui usi sunt in iisdem manent irretiti. Quod aliis non tam frequenter accidit ; atque experimur acutissima quæque sophismata neminem fere unquam, pura ratione utentem, sed ipsos sophistas, fallere consuevisse. =— Quamobrem hic nos præcipue caventes ne ratio nostra ferietur, dum alicujus rei verilatem examinamus, rejicimus istas formas ut nostro adversantes instituto, et omnia potius adjumenta perquirimus quibus cogitatio nostra retineatur attenta, sicut in sequentibus ostendetur. » (X, 405**

avait faite à Paris en 1676 chez Clerselier et qu'il avait envoyée la même année à Leibniz ; à vrai dire, elle ne correspond qu’à la première moitié, au plus, de la traduction latine. Le titre exact et complet est : La Re- CHERCHE DE LA VÉRITÉ PAR LA LUMIÈRE NATURELLE qui, toute pure et sans emprunter le secours de la Religion ni de la Philosophie, détermine les opinions que doit avoir un honnête homme touchant toutes les choses qui peuvent occuper sa pensée, et pénètre jusque dans les secrets des plus curieuses sciences. M. Adam a conjecturé pour cette ébauche soit le printemps de 1628, soit, avec quelque préférence, l'été de 1641. Sur tout ceci, cf. AT, X, 491-494 et 528-532,

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sq., [S 64 sq.] Mais ce n’est pas ce psittacisme qui est le principal défaut de la logique aux yeux de Descartes. Son défaut capital, c'est certainement qu’elle ne permet pas d'inventer: Descartes est revenu souvent sur ce point (1). Tels étant les défauts de la logique, ce que Descartes va demander à l'analyse et à l'algèbre c'est donc précisément les mérites opposés : faire penser et servir à inventer. Et nous verrons tout à l'heure comment les procédés de ces deux sciences répondent à ce qu'il en attend.

Mais commençons par voir ce qu'il leur reproche, car il leur adresse des reproches à eux aussi. Reportons-nous à notre texte (VI, 47 [G $ 6). Le défaut commun de ces deux procédés est le manque de généralité. C'est ce qui est exprimé fortement dans la Règle IV : « neque enim

magni facerem has regulas, si non sufficerent nisi ad inania

problemata resolvenda, quibus Logistæ vel Geometræ oliosi ludere consueverunt ; sic enim me nihil aliud præslitisse crederem, quam quod fortasse subtilius nugarer quam cæteri. Et quamvis multa de figuris et numeris hic sim dicturus, quoniam ex nullis aliis disciplinis tam evidentia nec tam certa peti possunt exempla, quicumque tamen attente respexerit ad meum sensum, facile percipiet me nihil minus quam de vulgari Mathemalica hic cogitare, sed quamdam aliam me exponere disciplinam, cujus integumentum sunt potius quam partes. Hæc enim prima rationis humanæ rudimenta continere, et ad veritates ex quovis subjecto eliciendas se

(1) Voy. notamment la suite immédiate du passage précédent, Reg. X fin : « Atqui ut adhuc evidentius appareat illam disserendi artem nihil omnino conferre ad cognitionem veritatis, advertendum est nullum posse Diaiecticos syllogismum arte formare, qui verum concludat, nisi prius ejusdem materiam habuerint, id est nisi eamdem veritatem, quæ in illo deducitur, jam ante cognoverint. Unde patet illos ipsos ex tali forma nihil novi percipere, ideoque vulgarem Dialecticam omnino esse inutilem rerum veritatem investigare cupientibus, sed prodesse tantummodo interdum posse ad rationes jam cognitas facilius aliis exponendas, ac proinde illam ex Philosophia ad Rhetoricam esse transferendam, » (406 M), Cf. Reg. XIV, 439% [$ 111] : « Sed quia... percipiendam » (cité p. 89, n, 2).

extendere debet ; atque, ut libere loquar, hanc omni alia

nobis humanitus tradita cognitione potiorem, utpote

allarum omnium fontem, esse mihi persuadeo. » (373* sq. [$ 20}. — Le défaut particulier de l'analyse des géomètres, c’est qu'elle n’est pas maniable, parce qu’elle est asservie à la considération des figures. Le défaut particulier de l'algèbre, c'est aussi d’être diflicile à manier. — On sait comment Descartes a remédié aux trois défauts que nous venons de signaler. Au lieu de faire porter la méthode sur la géométrie et l’arithmétique, il l’a fait porter sur la mathématique universelle, qui embrasse toutes les relations de quantité et peutêtre, par là, toutes les relations possibles : « Mais je n'eus pas dessein, pour cela, de tâcher d'apprendre toutes ces sciences particulières qu'on nomme commu-

nément Mathématiques ; et, voyant qu’encore que leurs

objets soient différents, elles ne laissent pas de s’accor-

der toutes, en ce qu'elles n’y considèrent autre chose

que les divers rapports ou proportions qui s’y trouvent, je pensai qu'ii valait mieux que j’examinasse seulement ces proportions en général, et sans les supposer que dans les sujets qui serviraient à m'en rendre la connaissance plus aisée ; même aussi sans les y astreindre aucunement, afin de les pouvoir d'autant mieux appliquer après à tous les autres auxquels elles convien-

. draient. » (Méth. 2 p.; VI, 19* sq. [G $ 11)). (1) —

(1) Cf. Reg. IV : « Quæ me çogitationes cum a particularibus studiis Arithmeticæ et Geometriæ ad generalem quamdam Matheseos investigationem revocassent, quæsivi imprimis quidnam præcise per. illud nomen omnes intelligant, et quare non modo jam dictæ, sed Astronomia etiam, Musica, Optica, Mechanica, aliæque complures Mathemaricæ partes dicantur.. Quod attentius consideranti tandem innotuit, illa omnia tantum, in quibus ordo vel mensura examinatur, ad Mathesim referri, nec interesse utrum in numeris, vel figuris, vel astris, vel sonis, aliove quovis objecto, talis mensura quærenda sit ; ac proinde generalem quamdam debere esse sciéntiam, quæ id omne explicet, quod circa ordinem et mensuram nulli speciali materiæ addictam quæri potest, eamdemque, non ascititio vocabulo sed jam dnveterato atque usu recepto, Mathesim universalem nominari, quoniam in hace continetur

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D'autre part, Descartes a simplifié l'analyse en la détachant graduellement des figures, remplaçant celles-ci par deslignes et finalement par des chiffres, bref en employant l'algèbre à exprimer les relations géométriques comme les

autres relations de quantité. Et enfin il a simplifié et rendu

maniable l'algèbre elle-même en y introduisant l'usage de signes clairs et commodes et, entre autres, de la notation par exposants (1). Cette double rélorme est indiquée dans le Discours : « Puis, ayant pris garde que, pour les connaître, J'aurais quelquefois besoin de les considérer chacune en particulier, et quelquefois seulement de les retenir, ou de les comprendre plusieurs ensemble, je pensai que, pour les considérer mieux en particulier, je les devais supposer en des lignes, à cause que je ne trouvais rien de plus simple, ni que je pusse plus distinctement représenter à mon imagination et à mes sens ; mais que, pour les retenir ou les comprendre plusieurs ensemble, il fallait que je les expliquasse par quelques chiffres, les plus courts qu’il serait possible ; et que, par ce moyen, J'emprunterais tout le meilleur de l'analyse géométrique et de l'algèbre et corrigerais tous les défauts de l'une par l’autre. » (VI, 20 * [G Ç 14).

Les défauts de l'analyse et de l'algèbre étaient véniels et ils n’ont pas empêché Descartes d'emprunter le fond de ces deux procédés.

En quoi consiste ce fond ? D'abord ce fond est le même de part et d'autre. Tout le monde tombe d'accord que l'algèbre, en tant qu'elle est autre chose qu'une langue, est une analyse. C’est ce que Descartes lui-même a exprimé dans un passage connu de la Géométrie: « ...voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les

illud omne propter quod aliæ scientiæ Mathematicæ partes appellantur. » (X, 377° sq. [$ 21)).

(1) Voy. Bordas-Demoulin, Le Cartésianisme, 2° éd., p. 368-379 : citations de Chasles et de Biôt.

lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l’ordre qui montre, le plus naturellement de tous, en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres, jusques à ce qu'on ait trouvé moyen d'exprimer une même quantité en deux façons : ce qui se nomme une équation, car les termes de l’une de ces deux façons sont égaux à ceux de l’autre. Et on doit trouver autant de telles équations qu'on à supposé de lignes qui étaient inconnues. Ou bien, s'il ne s’en trouve pas tant, et que, nonobstant, on n’omette rien de ce qui est désiré en la question, cela témoigne qu'elle n’est pas entièrement déterminée ; et lors on peut prendre à discrétion des lignes connues pour toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune équation. Après cela, s’il en reste encore plusieurs, il se faut servir par ordre de chacune des équations qui restent aussi, soit en la considérant toute seule, soit en la comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues, et faire ainsi, en les déméêlant, qu’il n’en demeure qu'une seule, égale à quelque autre qui soit connue... Et on peut tou- Jours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une seule... » (liv. I; VI, 372 sq. — Cf. Rodier De vi propria syllog. 68, n. 5; Les fonctions du syllog., Ann. phil. XIX, 1908, p. 54,1).

Nous voilà donc amenés à nous demander ce que c’est que l'analyse des anciens. Il ne s’agit pas ici de ce que les anciens appelaient +6r0ç &valvémevos : ce rôroc, cet endroit de la géométrie (voy. Gow, Aistory of greek Mathemat. p. 211, n. {) était, non une méthode, mais une partie de la science. On y apprenait, ce semble, à résoudre les problèmes en les ramenant partiellement à à des problèmes plus simples et plus généraux, considérant tel point comme l'un des points compris dans un lieu géo-

métrique: ainsi le point également distant de trois points se trouve d'abord également distant de deux points et par

conséquent sur la perpendiculaire élevée au milieu de

la droite qui joint ces deux points, et, pour se procurer le point voulu, il n’y a qu'à commencer par trouver le lieu géométrique dont il fait partie. — Ce n’est pas de l'analyse en ce sens que nous avons à nous occuper ; car, bien que l'analyse comme procédé de raisonnement y ait peut-être prédominé, ce n’est pas un procédé de raisonnement, et Pappus nous dit (1) qu'on emploie dans le réros dvaluéuevoe la synthèse en même temps que l’analyse. De l'analyse comme procédé de raisonnement usité par les géomètres anciens nous avons deux définitions,

d’ailleurs identiques au fond: l’une dans l'appendice au

XIIL livre des Éléments d'Euclide, l’autre au VIF: livre de Pappus (2). Selon Euclide, l'analyse prend pour admise la chose même sur quoi porte la recherche et. part de là pour aller par voie de conséquences à une chose qui élait déjà établie. Pappus ajoute que le dernier terme de l'analyse fournit son point de départ à la synthèse qui refait en sens inverse le même chemin.

On voit ce qu'est l'analyse. On voit aussi que les anciens ne la séparaient pas de la synthèse. C’est que, comme. Pappus ne le dit pas, mais l’a sans doute pensé, et comme Leibniz le remarque (3), l'analyse g‘ométriqee n'est pas probante par elle-même, vu la possibilité de déduire le vrai du faux. Il faut donc, pour avoir une preuve rigoureuse, faire repasser la synthèse sur les pas de l’analyse

en réciproquant les propositions. Mais il faut remarquer

que, si on emploie l'algèbre comme Descartes et les Car-

(1) Collect. math., livre VIT, immédiatement avant le passage auquel nous allons renvoyer tout à l’heure.

(2) Pour Euclide, éd. Heiberg, IV, p. 364 et pour Pappus,-éd. Hultsch, 11, p. 634. Voy. Rodier, op. cit., p. 55, n. 2 et p. 56, n. 1 [ Ann. philos. XIX, 42, 2; 43, 1]. Pour la trad. voy. Charpentier, ÆEss. sur la Méth. de Desc. p. 81 sq.

(3) Nouv. Essais, IV, 17, $ 5 ; cf. Duhamel, Méth. dans les sc. de rais., 1, p. 66-68. |

da ORIGINES DOCTRINALES DE LA MÉTHODE.

tésiens après lui, toutes les propositions étant réciproquables, ou, pour mieux dire, toutes les égalités étant . renversables, la synthèse se sous-entend. Aujourd'hui, dit M. P. Tannery à ce propos (La Géom. grecque, p. 113), nous ne faisons plus de synthèse. Ainsi l'analyse pouvait être aux yeux de Descartes une méthode À€ suflisant à elle-même.

Quant au principal service que Descartes en attendait, celui de permettre l'invention, il est clair qu'elle est propre à le rendre. Elle est une méthode d'invention presque par définition. C’est ceque disaitune jolie formule de Geminus (Ammonius, dans Waitz Organon 1, p. 44,1.5) dvälusls éorty Gmoôsitsws ebsests. Elle est une méthode d'invention, ou du moins une méthode pour inventer la preuve, par le fait même qu'elle part de la proposition à établir. Il ne s’agit plus d'arriver, on ne sait comment, à cette proposition : ilne s’agit que de la rattacher aux propositions logiquement antérieures dont elle dépend. Si au contraire il fallait partir, ainsi que le ferait la synthèse livrée à elle-même, d’une proposition établie, sans savoir par où s’acheminer de là à ia proposition qu'on veut prouver, on ne saurait quelle conséquence choisir à chaque degré, et, suivant le mot souvent cité de Leibniz (Vouv. Ess. IV, 2, $ 7) « ce serait la mer à boire ». S: la synthèse paraissait s'avancer sûrement, bien que soi-disant livrée à elle-même, c’est que tout l'ordre de ses propositions serait déjà secrétement arrangé ; il n’y aurait pas là d'invention, si l'on veut être sincère. Et c’est sûrement ce que Descartes veut dire quand il reproche au syllogisme, c'est-à-dire au syllogisme de synthèse, de ne pouvoir s'établir à moins qu'on ne soit déjà en possession de la vérité à démontrer et des prémisses qui la démontrent (1). Descartes a

(1) Nous avons déjà vu plus haut ce reproche (Reg. X, fin ; cf. p. 52, n. 1.) nous le trouvons encore au début de la Règle XIII : tandis que les logiciens présupposent la réponse, je ne présuppose, dit Descartes, que

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d'ailleurs comparé tout au long l'analyse et la synthèse et fait ressortir la valeur exclusive de la première comme méthode d'invention. (/ép. aux £® Obj. vers la fin, Cous. I, 447 ; VIE, 155% sq. [G. I, 51, 521). Mais il faut bien reconnaitre qu'il n'a pas signalé la difficulté qui arrête la synthèse, avec la même netteté que Leibniz. |

Nous savons maintenant ce que Descartes a emprunté à l'analyse géométrique et algébrique et nous avons vu pourquoi il fui a fait cet emprunt. Est-il vrai maintenant qu'il n'a rien emprunté à la logique ? M. Charpentier (p. 63) et M. Liard (p. 7) répondent qu'il n’a rien tiré de la logique: la déclaration si expresse du Discours n'aurait aucune portée. Il est grave de récuser ainsi un texte formel et il faut voir si on est obligé de le faire. En reprochant aux logiciens de présupposer, avant de construire leur syllogisme, la conclusion et les prémisses, Descartes les accuse surtout de ne pas savoir préparer le raisonnement, il les trouve, pour parler le langage mathématique, impuissants à mettre un problème en équation. Peut-être a-t-il tort d'oublier qu’Aristote avait parlé de la recherche du moyen et y avait vu l'exercice pas excellence de l'äygivou. Mais peu importe. Il reste l'acte même de raisonner, c'est-à-dire, pour Descartes comme pour Aristote, l'acte de déduire. Or tout ce que Descartes trouve à dire ici contre la logique, c’est que ses règles sont superflues (1). Mais il ne dit pas que les

des données et une question .« Atque in hoc uno Dialecticos imitamur, quod, sicut illi, ad syllogismorum formas tradendas, eorumdem terminos, sive materiam cognitam esse supponunt, ita etiam nos hic prærequirimus quæslionem esse perfecte intellectam.. Non autem, ut illi, duo extrema distinguimus et medium ; sed hoc pacto rem totam consideramus : primo in omni quæstione necesse est aliquid esse ignotum, aliter enim frustra quæreretur ; secundo illud idem debet esse aliquo modo designatum, aliter enim non essemus determinati ad illud potius quam ad aliud quidlibet investigandum [au lieu de inveniendum, Corr. de M. J. Lackhelier] ; tertio non potest ita designari, nisi per aliud quid quod sit cognitum, » (X, 4301),

(1) Cf. Reg. II : « Notandum insuper.. deductionem vero [par opposition à l'expérience], sive illationem puram unius ab altero, posse

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règles de la logique soient fausses, et il est au moins douteux qu'il ait de la déduction une autre idée qu’Aristote. 1! faudrait pour cela qu’il eût dù professer et même qu'il eùt professé que la déduction mathématique et le syllogisme n'ontrien de commun. Nous retrouverons la question. Disons tout de suite qu'il ne devait peut-être pas professer et qu'il paraît n’avoir pas professé l'opinion dont il s’agit. S'il en est ainsi, il a eu raison de dire qu'il gardait quelque chose de la logique. Ajoutons qu'il a conservé l’idée arislotélicienne d'une science unique avec une méthode unique, et, plus précisément, d'une science uniformément synthétique, au sens des géomètres, ou, comme disait Aristote, d'une science démonstrative. Cette idée est partout présente dans Descartes. Elle se manifeste d'une manière particulièrement irrécusable dans la 3° règle du Discours. La 3° règle est la règle de la synthèse et eile est partie intégrante de la méthode.

Dira-t-on que Descartes a pu tirer directement des mathématiques les règles, ou la règie, de la déduction et, d'autre part, son idéal de science synthétique? Il se peut. Mais ce travail avait été fait déjà par Aristote. En effet, lorsque Aristote écrit ses Analytiques, la géométrie grecque est constituée, Euclide va composer ses ÆZléments. Ses exemples de démonstration, il les emprunte à la géométrie. Quand il veut montrer que les syllogismes de la première figure sont les plus scientifiques, il dit qu'ils sont la forme des démonstrations mathématiques (Dern. Anal. 1, 14 déb.). Le langage de la syllogistique est calqué, comme l’a signalé Trendelenburg [ÆZ. log. Aristote. 8° éd., $$ 22 et 24) sur celui de la théorie des proportions, témoin les mots : Àdyos, 6206, &xpov, mésov, dixsrnuz (dans le sens de proposilion). Le mot äxoêeitrs lui-même est em: quidem omitti, si non videatur, sed nunquam male fieri ab intellectu vel minimum rationali. Et parum ad hoc prodesse mihi videntur illa

Dialecticorum vincula, quibus rationem humanam regere se putant… » (X, 365? [$ 5)).

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ment, comme il a dépassé l'analyse et l'algèbre tout en s'en inspirant, de même il a dépassé la logique. Aristote avait donné déjà une généralisation de la méthode mathématique. Descartes entend cette généralisation dans un sen$ beaucoup plus profond, s’il est vrai, comme nous l'avons cru, qu’il s'est élevé à l’idée d’une caractéristique universelle.

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