L'ARITHMÉTIQUE ET L ALGÈBRE

L'arithmétique et l'algèbre sont une seule et unique science, !a seconde continuant la première. Elle établit par raisonnement des vérités de plus en plus générales. — La logique aristotélicienne et scolastique n'est pas la théorie du raisonnement déductif ; le syllogisme a une fonction dans le raisonnement, mais n'est pas le raisonnement. — Comment j'ai été amené à chercher et à découvrir une nouvelle théorie du raisonnement déductif.

Si les remarques que nous avons faites précédemment sont justes, les sciences sont moins différentes qu'elles ne le paraissent. Elles changent de caractère en se développant. Pour découvrir l'ordre des choses, l'esprit n'a d'abord d'autre ressource que l'observation et l'induction, car, avant de procéder déductivement, il lui faut découvrir le point de départ obligé, l'origine logique des enchaînements rationnels. Il se contente de reconnaître l'ordre réel de la nature tant qu'il est incapable d'en apercevoir l'ordre nécessaire ; il se contente de savoir en attendant de pouvoir comprendre. Les caractères différents qui font entre

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les sciences dès contrastes si tranchés ne sont pas profonds, permanents, essentiels, mais tiennent à leur degré d'avancement, on pourrait presque dire à leur âge. Nous devons donc considérer, dans le système des sciences, non pas des ressemblances et différences qualitatives, mais des rapports de dépendance et de subordination.

Notre exploration du domaine de la science doit naturellement commencer par les mathématiques, qui présentent au suprême degré les caractères de la science parfaite : certitude, exactitude, intelligibilité. Mais la raison décisive de les placer au premier rang, c'est que seules elles sont capables deposerleursprincipes et d'en développer les conséquences sans rien demander aux autres sciences, tandis que les autres sciences empruntent le secours des mathématiques dès qu'elles peuvent effectuer des mesures. Et parmi les sciences mathématiques la plus indépendante est celle qui traite de la mesure en général sans s'astreindre à considérer aucune chose mesurée ou mesurable. Elle se nomme l'arithmétique ou l'algèbre.

L'arithmétique et l'algèbre forment une science unique, la seconde étant le prolongement, la suite naturelle de la première. Elle commence par construire elle-même son objet, la série infinie des nombres entiers, et, pour cela, elle convient d'un procédé uniforme de construction des nombres : ajouter l'unité au nombre précédent. Elle suppose donc uniquement la notion de l'unité et

celle de l'addition. Chaque nombre est défini par son mode de formation et désigné par un nom. Comme on ne peut assigner un nom singulier à chacun des ternies de la série, qui est infinie, on le fait pour quelques-uns des premiers nombres, — pratiquement les dix premiers, parce que nos lointains ancêtres ont compté sur leurs doigts, — et on définit ensuite un procédé régulier de dénomination. La numération parlée remplit donc la double fonction de construire les nombres et de les nommer. La numération écrite, beaucoup moins essentielle, ajoute les avantages du langage écrit à ceux du langage parlé ; elle formule des conventions d'écriture qui, historiquement, ont été fort diverses, et sont toutes également légitimes ; mais leur commodité pratique est fort inégale. L'une et l'autre numérations ne sont rien de plus que des définitions constructives et des conventions de langage. Elles n'énoncent aucune vérité.

A l'aide de ces définitions se démontrent des théorèmes relatifs aux sommes, différences, produits et quotients des nombres entiers, et ces théorèmes sont en même temps les règles selon lesquelles s'exécutent les opérations sur ces nombres. — Mais, lorsqu'il s'agira d'appliquer ces opérations à des mesures effectuées, leur champ d'application sera très restreint, car il faudra que l'unité de mesure choisie soit contenue un nombre entier de fois dans chacune des grandeurs consi-

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dérées. Cela arrivera sûrement si cette unité est celle d'un objet naturellement indivisible comme un homme ou, plus généralement, un individu organique vivant (encore peut-on être amené, par exemple dans des calculs statistiques de pourcentages, à considérer des fractions d'hommes). Mais cela ne peut arriver que par accident, par un accident infiniment rare, si l'unité est une partie arbitraire d'une grandeur continue. Car, si cette unité peut être choisie de manière qu'elle soit contenue un nombre entier de fois dans une grandeur, c'est par pur accident qu'elle pourra se trouver contenue aussi un nombre entier de fois dans les autres. S'il en est autrement, on pourra seulement savoir que la grandeur cherchée est supérieure à un certain nombre entier et inférieure au suivant. On atteindra une plus grande exactitude en se servant de fractions, c'est-à-dire en ayant recours à des unités de mesure plus petites. Le calcul des fractions se réduit, en effet, à un changement d'unité de mesure. Si les grandeurs considérées sont incommensurables, leurs rapports ne peuvent être exprimés qu'au moyen d'unités infiniment petites.

Le calcul des fractions exige un changement de définition des opérations élémentaires. Ce changement, il importe de le remarquer, est une généralisation : la seconde définition doit envelopper la première. Et, en effet, la notion de fraction est une généralisation de celle de nombre entier;

celui-ci peut toujours être exprimé sous la forme d'un nombre fractionnaire.

Une fois qu'on sait effectuer sur des nombres quelconques les opérations élémentaires, il y a lieu de considérer des ensembles d'opérations plus complexes, réductibles d'ailleurs à ces opérations élémentaires. Il est alors avantageux de débarrasser l'esprit de la considération des nombres exprimés. Il n'y a pas, en effet, à tenir compte de ces nombres, pour établir que, quels que soient ces nombres, un certain système d'opérations peut être remplacé par un autre système d'opérations : tel est le sens de toute expression algébrique. La substitution de symboles littéraux aux nombres exprimés ne rompt pas la continuité de développement de la science, n'introduit pas une science nouvelle, pas plus que la substitution des fractions aux nombres entiers. L'objet reste le même: déterminer par le calcul, d'après des mesures données ou supposées données, quelque mesure qu'on ne peut effectuer ou qu'on veut se dispenser d'effectuer. L'algèbre est la généralisation et la continuation naturelle de l'arithmétique.

C'est par une généralisation toute semblable que l'on passe de la théorie des équations à celle des fonctions. Puisque, étant donné un ensemble de relations définies entre des quantités, l'une de celles-ci peut être déduite de la connaissance des autres, il y a avantage à ne plus encombrer son esprit de la considération de ces relations définies

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auxquelles on se reportera quand on voudra, et à retenir le fait qu'une certaine grandeur j est déterminée quand sont déterminées les relations d'une autre grandeur x avec des grandeurs déterminées, ce qui s'écrit :

On se dispense de considérer les relations de x avec les quantités données, comme, en remplaçant des nombres par des lettres, on se dispensait de considérer les valeurs numériques des quantités données : dans la théorie des fonctions, à toute valeur de .v correspond une valeur déterminée de y, quelles que soient les opérations constitutives de la fonction. La théorie des fonctions est l'étude des formes que peuvent affecter les lois naturelles quand elles arrivent à exprimer des relations de mesure.

Une autre généralisation remarquable est fournie par le calcul infinitésimal. Tant que les symboles algébriques représentent des nombres, les équations ne sauraient exprimer la continuité du changement de valeur des variables. Lorsque Leibniz et Newton eurent à appliquer les procédés de l'algèbre à l'étude des mouvements accélérés ou retardés, ils ne purent se contenter d'une notation qui ne saisissait ces variations continues que d'intervalles en intervalles. Sans doute on arrivait à des approximations de plus en plus grandes à mesure qu'on choisissait des unités

plus petites ; mais on n'arrivait jamais à l'expression de la continuité du changement. Par des procédés différents, mais relevantdesmêmes principes, Leibniz et Newton, à la même époque, et d'une manière indépendante S dotèrent l'algèbre de cette nouvelle ressource. Seuls des esprits singulièrement puissants et ayant conscience de leur puissance pouvaient avoir la hardiesse d'introduire dans les calculs ces accroissements infiniment petits, qui conservent toutes les propriétés des quantités données et qui ne peuvent jamais être des quantités données, puisque, par définition, ils sont plus petits que toute quantité donnée. Naturellement, avant de les introduire dans les équations, il faut être certain de pouvoir les éliminer et revenir aux quantités entières, sans quoi les équations ne comporteraient aucune interprétation numérique. Au calcul différentiel, qui introduit les infiniment petits, s'adjoint comme complément nécessaire le calcul intégral qui les élimine.

Les mathématiques forment un ensemble extrêmement touffu : le mathématicien peut pousser ses déductions dans les directions lesplusdiverses, et il les oriente d'ordinaire vers des résultats utilisables. Mais, dans son ensemble, la science mathématique offre une série régulière d'étapes à chacune desquelles elle acquiert une généralité

1. Le procès de priorité entre Leibniz et Newton est généralement considéré aujourd'hui comme résolu en ce sens.

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plus grande. La même remarque s'applique au détail de ses enchaînements démonstratifs. On commence, par exemple, par la multiplication d'un nombre d'un seul chiffre par un nombre d'un seul chiffre ; on passe au cas où le multiplicande est un nombre entier quelconque, le multiplicateur ayant encore un seul chiffre ; on arrive au cas oià multiplicateur et multiplicande sont des nombres entiers quelconques. On multiplie une fraction par un nombre entier, puis par un nombre quelconque. On arrive au cas des incommensurables, c'est-àdire des grandeurs dont le rapport ne peut être exprimé par aucun nombre, ni entier ni fractionnaire. — Il en est de même en géométrie. La géométrie dans l'espace s'appuie sur la géométrie plane, qui en est un cas spécial ; car toute figure plane peut être considérée comme une figure dans l'espace dont une dimension est nulle. La géométrie du cercle précède la géométrie des sections coniques, et pourtant toutes les propriétés du cercle peuvent être envisagées comme des applications, des valeurs singulières des propriétés des sections coniques en général ou de chacune d'elles. — On rencontre très fréquemment, soit en géométrie, soit en algèbre, des démonstrations par le cas spécial privilégié. Une propriété qu'on ne saurait démontrer d'emblée dans toute sa généralité se démontre d'abord pour un cas spécial ou singulier qui, en vertu de ses déterminations propres, en vertu de sa simplicité ou de sa régularité,

se prête à la démonstration. On y ramène ensuite le cas général. Ainsi, avant de démontrer que la somme des angles du polygone est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de côtés moins deux, on démontre que la somme des angles du triangle est égale à deux angles droits, et on s'appuie sur le théorème spécial pour démontrer le théorème général.

La marche du raisonnement mathématique est constamment progressive etgénéralisatrice. La déduction mathématique procède toujours soit du spécial au général, soit de l'hétérogène à l'hétérogène, jamais du général au spécial. Lorsque, au début de mes études sur le système des sciences, je fis cette constatation si contraire à l'opinion commune, je fus grandement surpris de l'immense et séculaire illusion des logiciens qui, depuis Aristote, croient faire la théorie du raisonnement déductif en faisant la théorie du syllogisme. Car le syllogisme est absolument incapable de généraliser. Ses deux règles fondamentales, Aut semel aut iterum... et Latius hos quant praemissae.,., dont les autres sont des corollaires, signifient justement que la conclusion ne doit pas dépasser les prémisses; tout argument dans lequel cet accident se produit est vicieux. Or le mathématicien ne considère jamais que ce qui est contenu, fût-ce implicitement, dans une proposition admise ait besoin d'être démontré. Tout au plus peut-il être utile d'en faire la remarque au cas où le lecteur pourrait ne pas s'en aper-