Le ms. n° 7.371 porte : quedam

3. Oresme, Op. laud., pars. II, cap. III : De quantilate velocitatis; ms. n° 7.371, fol. 237, r°; ms. n° i4.58o, fol. 47, col. b-

4. Oresme, Op. Laud., pars III, cap. V : De mensura qualitatum uniformarum et velocitatum ; ms. n° 7.371, fol. 261, r°; ms. n° i4-58o, fol. 59, col. a.

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où des intensités égales d’une qualité de même espèce sont représentées par une même longueur.

Le contexte se charge également de nous apprendre ce que l’on doit entendre par rapport de deux figures ; c’est le rapport des aires de ces deux figures si elles sont planes, de leurs volumes si elles sont solides.

De la définition qui vient d être donnée, se tire immédiatement le corollaire suivant : Les mesures de deux qualités uniformes ont pour rapport le produit du rapport des extensions par le rapport des intensités. « En la susdite mesure l, il faut toujours prendre l’extension totale de la qualité, que cette qualité soit linéaire, superficielle ou même corporelle. Il en faut dire autant de la mesure de la vitesse, si ce n’est que, par extension, il faut alors entendre le temps pendant lequel dure cette vitesse, et par intensité, le degré de vitesse... Par exemple, une vitesse uniforme qui dure pendant trois jours est égale à une vitesse trois fois plus intense qui dure pendant un seul jour. »

En ce cas où la vitesse est uniforme, la mesure ou quantité de la vitesse, telle qu’Oresme vient de la définir, se confond évidemment avec la longueur que le point mobile a parcourue pendant le temps qui remplace ici l'extension. La vérité de la même proposition se manifeste non moins clairement à notre auteur en d autres cas où le mouvement, sans être uniforme, est une succession de mouvements uniformes. C’est ce qui a lieu dans un problème qu il résout par une démonstration géométrique fort élégante 2.

Prenons la longitude d’une figure qui représente une qualité linéaire et, selon le langage usité au Moyen Age, divisons-la en parties proportionnelles. Pour cela, nous la partageons d’abord en deux moitiés, la seconde moitié est ensuite divisée en deux quarts, le dernier quart en deux huitièmes et ainsi de suite. La longitude se trouve formée d une suite de segments mis bout à bout, et les longueurs de ces segments forment une progression géométrique de raison Ce sont les parties proportionnelles de la longitude.

On suppose que la première partie proportionnelle est affectée par une qualité uniforme d’une certaine intensité ; que la seconde partie proportionnelle est affectée d’une qualité uniforme de même

1. Oresme, Op. laud., pars III, cap. VI : Adhuc de eodem; ms. n° 7.371, fol. 261, v° ; ms. n° i4-58o, fol. 59, col. b.

2. Oresme Op. laud.., pars. III, cap. VIII : De mensura el extensione in infinilum quarundam quali latum; ms. n° 7.371, fol. 262, v° el fol. 263, r°; ms. n° i4.58o fol. 5g, coll. c et d.

espèce et d intensité double ; que la troisième est affectée d’une qualité uniforme trois fois plus intense que la première, etc. Les intensités des qualités uniformes qui affectent les parties proportionnelles successives sont entre elles connue les divers nombres entiers.

La figure représentative est formée par une suite de rectangles de plus en plus étroits et de plus en plus élevés. Bien que les hauteurs de ces rectangles croissent au delà de toute limite, la somme de leurs aires demeure limitée ; elle est quadruple de faire du premier de ces rectangles.

Oresme applique aussitôt ce théorème au cas où la qualité est' remplacée par une vftesse : « Si un certain temps avait été ainsi divisé en parties proportionnelles ; qu’en la première partie de ce femps; un certain mobile se mût avec une certaine vitesse ; qu’en la seconde, il se mût deux fois plus vite, en la troisième trois fois plus vite, et ainsi de suite, la vitesse croissant toujours de même, celte vitesse serait exactement quadruple de la hauteur de la première partie ; en sorte qu’en l’heure entière, ce mobile parcourrait un chemin quadruple exactement de celui qu’il a parcouru en la première partie proportionnelle, c’est-à-dire en la première demiheure ; si, par exemple, en cette première partie proportionnelle, il a parcouru une longueur d’un pied, pendant le reste du temps, il parcourra trois pieds, et pendant la durée tout entière, il parcourra quatre pieds. ))

En ce cas, la définition qu’Oresme donnait de l’intensité de la vitesse suffisait à lui prouver que faire de la figure représentative mesurait la longueur décrite par le point mobile. Savait-il qu’il en est de même en général ? Pour qu’il le pût démontrer, il eût fallu qu’il possédât une définition précise de la vitesse instantanée, qu’il eût acquis les notions de dérivée et d’intégrale. Assurément, une telle démonstration passait de beaucoup les moyens que lui fournissait sa connaissance très rudimentaire des Mathématiques. Mais incapable de démontrer une telle proposition, en avait-il intuitivement reconnu la vérité ? Nous ne trouvons, en son traité, aucune phrase qui l’affirme explicitement. Il semble, toutefois, que ce silence résulte non pas d’un doute où fauteur serait demeuré, mais bien d’une parfaite assurance en l’exactitude de la proposition qu'il sous-entend. Il ne dit pas que faire de la figure représentative mesure, en toutes circonstances, le chemin parcouru par le mobile parce qu’il pense que cela va de soi. Nous trouverons, d ailleurs dans un instant, un passage qui suppose clairement celte interprétation. Nous verrons, aussi, que beaucoup

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des disciples d’Oresme et de ses commentateurs ont interprété de la sorte la pensée du maître et sans songer même que l’on pût l’interpréter autrement.

Il importait que cette interprétation lut signalée, car elle donne toute sa valeur au passage que nous allons maintenant traduire 1 :

« Toute qualité uniformément difforme a même quantité que si elle informait uniformément le même sujet selon le degré du point milieu de ce. sujet. En disant : selon le degré du point milieu, je sous-entends : si la qualité est linéaire ; si elle est superficielle, il faudra dire : selon le degré de la ligne moyenne...

» Nous démontrerons cette proposition pour une qualité linéaire.

» Soit donc une qualité qui puisse être représentée par un triangle ABC (fig. 1) ; c’est une qualité uniformément difforme

Fig. i. Fiç. 2.

qui, au point B, se termine au degré nul ; soit D le point milieu de la ligne qui représente le sujet ( subjectivn linea) ; le degré ou 1 intensité qui affecte ce point est figuré par la ligne DE. La qualité qui aurait partout le degré ainsi désigné est représentable par le quadrilatère AFGB, ainsi qu’il résulte du chapitre V de la première partie. Mais par la XXVI6 proposition du premier livre d’Euclide, les deux triangles EFG et EGB sont égaux. Le triangle qui représente la qualité uniformément difforme et le quadrilatère AFGB qui représente la qualité uniforme selon le degré du point moyen sont donc égaux entre eux ; les deux qualités qui sont imaginables l’une par le triangle et l’autre par le quadrilatère sont

i. Oresme, Op. laud., pars III, cap. VII : De inensura qualitatum et velocitatun difformarum ; ms n° 7.371, fol. 262, r° et y0; ms. n° i4.58o, fol. 59, coll. b et c.

aussi égales entre elles ; et c’est ce qu’on se proposait de démontrer.

» On raisonne de la même manière au sujet d’une qualité uniformément difforme qui, de part et d'autre, se termine à un certain degré, comme serait la qualité que le quadrilatère ABCD permet d’imaginer. Tirons, en effet (jig. 2), la ligne DE parallèle à la base sujette, et formons le triangle ECD. Puis, par le degré du point milieu, tirons la ligne FG égale et parallèle à la base sujette, l irons enfin la ligne GD. Alors, comme précédemment, le triangle CED et le quadrilatère EFGD seront égaux, et il en sera de même du quadrilatère ACDB qui représente la qualité uniformément difforme et du quadrilatère AFGB qui représente la qualité uniforme, conçue selon le degré du point milieu du sujet AB. Donc, selon le chapitre Y de la première partie, les qualités représentables par ces quadrilatères sont égales.

» On pourrait raisonner de même au sujet d’une qualité superficielle ou corporelle.

» Au sujet de la vitesse, on peut dire exactement la même chose que d une qualité linéaire ; seulement, au lieu de dire : point milieu, il faut dire : instant milieu du temps pendant lequel dure cette vitesse.

» Il est donc évident qu’une qualité ou une vitesse uniformément difforme quelconque se trouve égalée à une qualité ou à une vitesse uniforme. ))

Avant de commenter ce passage, dont l’importance nous paraît extrême, donnons-en le texte.

« Omnis quali tas, si fuerit uniformiter di}} or rnis, ipsa est tanta quanta foret qualités ejusdem subjecti vel equalis uniforrnis secundurn gradum puncti rnedii ejusdem subjecti1 ; et hoc intelligo ; secundum gradum puncti 2, si qualités 3 4 fuerit linealis ; et si fuerit superjicialis, secundum gradum linee medie ; et si fuerit corporalis *, secundum gradum medie superficiel, semper conformiter intelligendo.

» Istud ostenditur primo de lineari.

)) Sit igilur una qualités, ymaginabilis per triangulum ABC, que est uniformiter difformis terminata ad non gradum in puncto B, et sit D punctus médius subjective linee, cujus quidem

1. Le ms. n° 7.371 porte : secundum gradum puncti rnedii ipsa est tanta quanta qualitas ejusdem subjecti.