Nicolas Bonet, loc. cil.; ms. n° i6i32, fol. 287, col. d

2. Nicolai Boneti Op. laud., lib. VII, cap. XII; ms. n° 16182, fol. 288, coll. a et b.

L INFINIMENT GRAND

LA POSSIBILITÉ DE L INFINI CATEGORIQUE (suite). LA DOCTRINE DE GREGOIRE DE RIMINI

Si l’étude de l’infini catégorique n’avait provoqué, au Moyen Age, que les essais de Jean de Baconthorpe, de François de Mayronnes, de Jean de Bassols, de Robert Holkolt, elle ne mériterait peut-être guère de retenir l’attention de l’historien ; ces essais, en effet, ne sont pas des doctrines ; ce sont de simples tâtonnements. Mais voici que cette même étude va donner lieu à une théorie qui est une de celles où la force logique du xive siècle a le mieux donné sa mesure, à la théorie de Grégoire de Rimini ; et du coup, les tentatives des prédécesseurs de Grégoire en reçoivent un regain d’intérêt, car elles apparaissent maintenant comme les ébauches de la doctrine qu’achèvera le Maître augustin.

Nous avons dit, déjà, comment Grégoire définissait la grandeur catégoriquement infinie. Ce n’est pas, pour lui, une grandeur telle qu’il n’en existe pas de plus grande. De même qu’il a caractérisé l'infini syncatégorique par cette formule : Quantocunque finito majus, il dit, de la grandeur catégoriquement infinie, qu elle est : Majus quanto cunque finito, plus grande que toute quantité finie, si grande que soit celle-ci. On peut donc dire très exactement que, pour Grégoire de Rimini, la grandeur catégoriquement infinie, c’est la grandeur transfinie.

Contre la possibilité de l’infini syncatégorique, une multitude d’objections sont courantes dans les écoles. En effet, par des artifices variés, on tire de cette possibilité des conclusions de cette sorte 1 : On peut ajouter quelque chose à l’infini, il peut y avoir quelque chose de plus grand que l’infini, un infini peut être multiple d’un autre, etc. Ces conclusions, on les réputé absurdes, et on en déduit que la possibilité de l’infini catégorique est contradictoire.

Valables contre un infini qui serait conçu comme une grandeur telle qu’il n’en pût exister de plus grande, ces objections sont sans force contre l’infini catégorique tel que Grégoire de Rimini l’a

i. Gregorius de Arimino In primo sententiarum ; Distt. XLII, XLIII, XLIV, quæsi. IV : Utrum Deus per inlîniiam suam potentiam posset producere effectum aliquem actu infinitum ; art II — Gregorius de Arimino In secundo sentenliarum; Dist. I, quæst. III : Utrum per aliquam potentiam fuerit possibile aliquam rem aliam a Deo fuisse ab æterno; art. II.

LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIVe SIECLE

défini. Déjà, Jean de Bassols, pressentant obscurément celte définition, n’avait pas hésité à admettre toutes ces conclusions, en se refusant à les taxer d’absurdes ; il avait franchement accepté qu’un infini fût plus grand qu’un autre infini, qu’un infini fût partie d’un autre infini. Il savait qu’on pouvait, à ces objections, donner cette réponse : « La comparaison des quantités plus grandes ou plus petites ne peut se faire qu’entre quantités finies. » Mais de cette réponse, « je n’ai cure, » disait-il.

En dépit de l’indifférence avec laquelle elle est traitée par Jean de Bassols, la question vaut la peine d’être examinée. Les mots : plus grand, plus petit, toyt, partie, peuvent-ils être légitimement employés lorsqu’il s’agit d infinis, et ont-ils alors le même sens que lorsqu’il s’agit de quantités finies ? C’est ce que Grégoire de Bimini va examiner avec une extrême sagacité.

La rigueur de notre philosophe s’exerce d’abord au sujet des termes tout et partie 1 : « Ces termes, en effet, peuvent être pris en deux sens différents, au sens commun et au sens propre.

)) Au premier sens, une chose quelconque qui comprend une seconde chose et, en outre, une troisième chose distincte de la seconde et de tout ce qui est compris en la seconde, est dite un tout par rapport à cette seconde chose ; et toute chose ainsi comprise dans un tout est dite partie du tout qui la comprend,

)) Au second sens, pour qu’une chose soit dite un tout par rapport à une autre chose, il faut non seulement qu elle comprenne cette autre chose comme le suppose le premier sens, mais il faut encore que le tout comprenne un nombre déterminé de choses de grandeur déterminée (tôt tanta) que ne comprend pas la chose incluse ; inversement, une chose incluse est dite partie d’un tout lorsqu’elle ne comprend pas un certain nombre déterminé de choses de grandeur déterminée que comprend la chose en laquelle elle est contenue. »

Ainsi, au sens commun, le tout, c’est la partie et, en outre, n’importe quelle autre chose non contenue dans la partie ; au sens propre, le tout, c’est la partie et, en sus, un certain nombre d’objets de grandeur bien déterminée.

« Appliquons cette distinction aux multitudes, » poursuit Grégoire de Rimini. « Au premier sens, une multitude quelconque est un tout par rapport à une autre multitude lorsque la première multitude contient la seconde, lorsqu’elle comprend, par consé-

i. Gregorii de Arimino Op. laud., lib. I, dislt. XLII, XLIII et XLIV, quæst. IV, art. II; éd. Claude Chevallon, fol. clxxix, col. b; éd. Veneliis, i5i8, fol. 1 55, col. d.

L INFINIMENT GRAND

quent tous les objets qui forment la seconde, et lorsqu’elle contient, en outre, un objet ou des objets distincts de tous ceux-là et de chacun d’eux. En ce sens-là, une multitude infinie peut être partie d’une autre multitude infinie.

)) Au second sens, pour qu’une multitude soit un tout par rapport à une autre multitude, il faut d’abord, comme au premier sens, qu elle contienne cette seconde multitude ; il faut, en outre, qu elle contienne un nombre déterminé de choses de grandeur déterminée (tanta tôt), c’est-à-dire un nombre déterminé de groupes d’objets tels que la quantité de chaque groupe soit déterminée (par exemple, un nombre déterminé de groupes de deux unités ou de trois unités) qui ne soient pas compris en la multitude contenue ; inversement, celle-ci est dite partie de la multitude contenante.

)) En ce second sens, une multitude infinie ne peut être ni tout ni partie à l’égard d’une autre multitude infinie ; il n’existe pas, en effet, de nombre déterminé de groupes de tant d’unités (tôt tanta) qui soit contenu en l’une des multitudes et point en l’autre, car chacune d’elles contient une infinité de fois un groupe de tant d’unités (infinities tantum) ou une infinité de groupes dont chacun compte tant d’unités (infinita tanta). »

Gré goire de Rimini introduit des distinctions analogues en la signification des mots : plus grand, plus petit 1. « Ces mots peuvent être pris au sens propre ; c’est ainsi qu’une multitude est dite plus grande qu’une autre lorsqu’elle contient non seulement un nombre aussi grand d’unités que cette dernière, mais encore un nombre plus grand (tantumdem et plures) ; une multitude, au contraire, est dite moindre qu’une autre lorsqu’elle renferme un moindre nombre d’unités (pauciores).

)) Ces mots peuvent être pris aussi en un sens impropre ; si une multitude contient toutes les unités d’une autre multitude et, en outre, certaines unités différentes de celles-là, on dit qu elle est plus grande que cette dernière multitude, lors même qu elle ne contient pas un plus grand nombre d’unités (plures unitates) que la seconde multitude.

» En ce second sens, dire qu’une multitude est plus grande qu’une autre, c’est dire simplement qu elle comprend cette autre, qu elle est un tout par rapport à cette autre, en prenant le mot tout au premier sens.

i. Grégoire de Rimini, loc. cil.; éd. Claude Chevallon, ibid.; éd. Venetiis, i5i8, fol. i56, col. a.

1 3 4 LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIVe SIECLE

)) Si 1 on adopte la première définition, les mots : plus grand, plus petit, ne doivent pas être employés dans la comparaison des inlinis les uns avec les autres ; on ne doit les employer qu’en la comparaison des grandeurs finies entre elles ; on peut dire encore qu’un infini est plus grand qu'une grandeur finie et qu’une grandeur finie est plus petite qu’un infini.

» Selon la seconde définition, au contraire, un infini peut être plus grand qu’un autre infini, de même qu’il peut être un tout à l’égard de ce second infini, en prenant le mot tout au premier sens.

» Les deux manières d’entendre tout et partie se comportent 1 une à l’égard de l’autre de la manière suivante : Toute chose qui est tout ou partie de la seconde manière est aussi tout ou partie de la première manière, mais la réciproque n’est pas universellement vraie.

» Il n'en est pas de même des mots : plus grand, plus petit, psjs des deux manières qui viennent d'être définies. En effet, une multitude qui contient un plus grand nombre d unités (plures unitates) qu’une autre ne contient pas toujours les unités que contient cette dernière ; une dizaine d hommes qui sont à Paris contient autant et plus d’unités qu'un sexterne ou un quaterne de chevaux qui sont à Rome ; elle ne comprend cependant pas ces chevaux ; il n’est donc pas vrai que tout ce qui est plus grand au premier sens soit aussi plus grand au second sens. D'autre part, ce qui est plus grand au second sens n'est pas toujours plus grand au premier sens : cela se voit avec évidence lorsque l’on compare une multitude infinie à une autre multitude infinie que contient la première. »

Ces principes permettent à Grégoire de Rimini de dissiper, mieux que ne l’avait fait Jean de Bassols, les objections accumulées contre la possibilité de l’infini actuel.

Après avoir analysé les efforts par lesquels notre subtil logicien a tenté de préciser la signification dont les mots : tout, partie, plus grand, plus petit sont susceptibles lorsqu’il s’agit de grandeurs ou de multitudes infinies, il est piquant de lire les premières pages de la Théorie des ensembles transfinis de M. Georges Canlor 1. Une évidente affinité rapproche l’une de l’autre les pensées de ces deux puissants logiciens, alors que cinq siècles et demi séparent les temps où ils ont écrit.

i. Georges Cantor, Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis; traduction de M. F. Marotte. Premier Article (Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 5e série, t. III, pp. 343 sqq. ; 1889).

L INFINIMENT GRAND

Gré goire de Rimini entrevoyait certainement la possibilité du système que M. Cantor est parvenu à construire ; à côté de la Mathématique des nombres finis, des grandeurs finies, il jugeait qu d y a place pour une Mathématique des multitudes infinies, des grandeurs infinies ; il pensait que ces deux doctrines sont appelées à former comme deux subdivisions d’une science plus générale : « Au sujet de la multitude infinie, dit-il 1, nous avons employé ces deux mots : combien et tant (quot et tôt) ; de même, rien ne nous empêche de dire, au sujet de la grandeur infinie, combien et tant (quantum et tantum). Si l’on suit, par exemple, l’opinon du Philosophe, et si l’on demande combien de temps a précédé le temps présent, on pourra convenablement répondre : Un temps infini. L’infini est donc soumis à la question : combien (quantum) ? et il est quantité ( quantum si, comme on le dit, tout ce qui répond à la question : combien ? est quantité.

» Mais peut-être usera-t-on seulement du mot : combien (quantum) ? à l’égard des grandeurs qui sont de quelque mesure finie, et peut-être voudra-t-on de même que le mot quantité (tantum) soit dit uniquement de telles grandeurs. Dans ce cas, je dirais que la grandeur infinie n’est pas quantité (quantitas), mais qu elle est cependant grandeur (magnitudo) ; de même, la multitude infinie ne sërait pas quantité mais, toutefois, elle serait multitude. Ce nom de quantité (quantitas) ne désignerait plus le genre le plus général du second prédicament ; pour ce prédicament, il faudrait forger un nom nouveau. Mais cette acception restreinte du terme : quantité n’est ni usitée ni opportune.

» Je dis donc que la grandeur infinie est certainement comprise en une certaine espèce de la quantité. La grandeur, par conséquent, se divise, tout d’abord, en grandeur infinie et grandeur finie ; la grandeur finie se subdivise ensuite en grandeur de deux coudées, grandeur de trois coudées, etc. »

Si Grégoire de Rimini a entrevu et souhaité une Mathématique des multitudes et des grandeurs transfinies, il ne faudrait pas, cependant, exagérer son œuvre jusqu’à en faire l’avant-coureur de la théorie que M. Georges Cantor devait construire. Mis en présence d’une multitude infinie d’objets concrets, Grégoire de Rimini n’a pas su concevoir et définir la notion qui doit jouer, par rapport à cette multitude, le rôle que le nombre abstrait joue à l’égard d’un groupe fini d’objets concrets ; désireux de pénétrer en l’Arith-

i. Grégoire de Rimini, loc. cil., éd. Claude Chevallon, fol. clxxix, col. d; éd. Veiieliis, iôi8, fol. i56, col. h.

I 36 LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIVe SIECLE

métique des multitudes infinies, il n’a pas su, cependant, dépasser le seuil de cette science.

Débarrassé, grâce aux distinctions que sa Logique a su préciser, des conséquences paradoxales que l’on tire de la notion d’infini actuel afin de présenter cette notion comme contradictoire, Grégoire de Rimini n’est pas encore quitte de toutes les objections auxquelles se heurte l’acceptation de l’infini catégorique.

Selon les disciples de Richard de Middleton et de Guillaume d’Ockam, admettre la possibilité d’un infini catégorique, c’est aller contre la définition môme de l’infini ; cette définition, en effet, pose l’infini comme une chose qui existe seulement in fieri, et non pas in facto esse. « La définition de l’infini est la suivante 1 : Lorsqu’on en a déjà pris une partie quelconque, il reste encore quelque chose à prendre ; l'infini n’est pas, comme les anciens le prétendaient, ce en dehors de quoi il n’y a rien, mais bien un objet en dehors duquel il y a toujours quelque chose, en dehors duquel il reste toujours beaucoup d’objets semblables à celui-là. Par conséquent, poser, en la réalité de la nature, l’existence d’une chose permanente ayant des parties et admettre que cette chose est infinie, c’est, on le voit, poser une contradiction. En tant, en effet, que cette chose est une chose permanente et actuelle, chacune des parties de cette chose, et cette chose elle-même, sont des êtres complets et achevés ; en tant, au contraire, que cette chose est infinie, elle est toujours incomplète et inachevée. ))

Cet argument essentiel contre la possibilité de l’infini catégorique, Grégoire s’y heurte à plusieurs reprises ; il le rencontre 2, par exemple, qui s’oppose à l’hypothèse d’un Monde créé de toute éternité :

« Si le Monde avait existé de toute éternité, un temps infini serait, aujourd’hui, temps passé ; cette conséquence est impossible ; il faut donc qu’il en soit de même de la première proposition. D’ailleurs, l’impossibilité de la conséquence est évidente ; il est, en effet, de la nature du passé qu’il soit un tout pris définitivement et complet, que rien de ce passé ne demeure en puissance et ne puisse être pris dans l’avenir. Au contraire, il est de la nature même de l’infini d’être toujours incomplet, de ne pas être un tout pris une fois pour toutes et posé en acte ; il est de sa nature que,

1. Grégoire de Rimini, loc. cit. Éd. Claude Chevallon, fol. clxxvij, col. d; éd. Venetîis, i5i8, fol. i54, col. c.

2. Gregorius de Arimino In secundo Sentent iarum, dist. Ia, quæst. III, art. II; éd. Claude Chevallon, fol. xiij, col. d; éd. Venetiis, i5i8, fol. 12, col. c.

l/lNFINIMENT GRAND l3 ~j

toujours, quelque chose de lui soit en puissance et reste à prendre. »

Sous une forme plus nette, nous retrouvons ici un des raisonnements de Richard de Middleton.

Cette définition, qui interdit à l’infini d’être jamais autre chose qu un infini syncatégorique, notre auteur la repousse 1 comme trop étroite : « Je dis qu’il n’est pas de la nature de 1 infini tout court ( simplicité r sumptum) que quelque chose de cet infini existe seulement en puissance. »

A côté de l’infini syncatégorique, auquel seul convient cette définition, il va nous montrer la nécessité d admettre l infini catégorique, qui existe in facto esse et non pas perpétuellement in fieri.

La possibilité d’une grandeur infinie en acte résulterait de la supposition d’un Monde éternel ; les adversaires de cette supposition, un Richard de Middleton, par exemple, le savent bien et, contre elle, ils s’arment précisément de cette conséquence : « Dieu aurait pu 2, chaque jour, créer une pierre d’un pied cube et l’unir à la pierre précédemment créée ; il n’est pas douteux que cette multitude infinie de pierres d’un pied cube formerait une grandeur infinie. »

Cette conséquence, notre logicien, non plus que nombre de ses prédécesseurs, ne consent à y voir une absurdité qui puisse conclure contre l éternité du Monde. Il va plus loin ; il s’attache à prouver qu’on serait encore tenu de l’admettre lors même qu’on regarderait le Monde comme ayant eu un commencement. Que l’on divise une heure, en effet, en parties dont les durées successives décroissent en progression géométrique ou, comme disent les Scolastiques, en parties proportionnelles. « S’il est certain 3 que Dieu aurait pu, chaque jour, créer une pierre et opérer comme on l’a dit, il est certain aussi qu il pourrait, en chacune des parties proportionnelles de même raison qui forment une heure, créer un pierre et continuer comme il a été dit plus haut ; comme la multitude de ces parties proportionnelles est infinie, il en résulte qu’à la fin de l’heure, il y aurait une pierre infinie. ))

1. Gregorius de Arimino In primo Sentenliarum , distt. XLII, XLIII et XLIV, quæst. IV, art. II; éd. Claude Chevallon, fol. clxxix, col. a; éd. Venitiis, i5i8, fol. i55, col. c.

2. Gregorius de Arimino In secundo Sententiarum, Dist. I, quæst. III, art. II; éd. Claude Chevallon, fol. xiij, col. d, et fol. xiiij, col. a; éd. Venetiis, i5i8, fol. 12, col. c.

3. Grégoire de Rimini, loc. cil.; éd. Claude Chevallon, fol. xiiij, col. b; éd. Venetiis, fol. i3, col. a.

LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIV° SIECLE

Cet argument qui, sans invoquer d’aucune manière l’éternité du Monde, conclut à la possibilité de l infini catégorique, était appelé à jouir, dans les écoles, de la plus grande vogue. Les partisans du seul infini syncatégorique, comme Jean Buridan et Albert de Saxe, le regarderont comme l’arme la plus redoutable de leurs adversaires. Grégoire de Rimini en est-il 1 inventeur ? Nous l’ignorons. Du moins voyons-nous qu il en use à plusieurs reprises et qu’il l’applique à des infinis de nature très variée. Tantôt, il montre 1 comment Dieu peut, de la sorte, réaliser un rectangle de base invariable et de hauteur catégoriquement infinie. Tantôt, il prouve 2 que Dieu peut créer in jacto une charité infinie ; car il admet, avec Richard de Middleton et Guillaume d’Ockam, que toute forme susceptible de différentes intensités, que la charité aussi bien que la chaleur, atteint ses divers degrés par addition les unes aux autres de parties de même nature.

Ces exemples, où nous voyons Dieu donner à un infini une existence actuelle, ne servent pas seulement à convaincre d’erreur 1 opinion selon laquelle l’infini est, par essence, quelque chose d inachevé, un mélange d’acte et de puissance ; ils mettent encore à nu la cause de cette erreur.

« Lorsqu’on dit 3 : L’infini est une chose dont le parcours ne peut jamais être consommé, je réponds : R faut entendre qu’il en est ainsi si les parties infiniment nombreuses de cette chose sont acquises en des durées égales entre elles ; si, par exemple, cha- • cune des parties de cet infini est acquise au bout d’une heure ou bien d’un moment ou bien d’une certaine autre quantité de temps bien déterminée. Dans ce cas, en effet, il faudrait que ce temps eût une infinité de parties égales entre elles et, par conséquent, qu’il fût infini. Comme, d ailleurs, il est impossible qu’un temps infini dont la première partie est donnée devienne temps passé, un infini ne saurait être, par ce moyen, consommé en totalité ou franchi complètement.

» Mais cela suppose qu’il existe, en cet infini, une première partie franchie ou acquise... Si I on fait attention à cette remarque, » — que nous avons déjà entendue de la bouche de Robert Holkot — « on voit que cette impossibilité cesserait dès là que

i. Gregorius de Arimino In primo Sententiarum, Distt. XLII, XLIII et XLIV, quæst. IV, art. II; éd. Claude Chevallon, fol. clxxviij, col. d; éd. Venetiis, i5i8, fol. i55, col. c.

a. Grégoire de Rimini, loc. cit., art. I; éd. Claude Chevallon, fol. clxxvij, col. c; éd. Venetiis, i5i8, fol. i55, col. b.

3. Grégoire de Rimini,' loc. cit., art. II, éd. Claude Chevallon, fol. clxxxx, col. c; éd. Venetiis, i5i8, fol. 157, col. a.

L INFINIMENT GRAND

1 on ne donnerait ni première partie de la durée ni première partie de l’infini à franchir. » Et c’est ce qu’Aristote lui-même est obligé de concéder, comme Jean de Bassols en avait fait l’observation ; si le Monde a existé de toute éternité, une infinité d’hommes ont vécu jusqu’à ce jour et le ciel a effectué une infinité de révolutions.

« On dit 1 : L’infini est une chose telle que lorsqu’on en a pris une partie quelconque, il reste encore et toujours une partie à prendre ; je réponds que cette proposition doit être entendue comme la précédente, en admettant que les parties prises successivement sont toutes de même grandeur et qu elles sont toutes prises en des temps égaux. Si l’on prend, en effet, en tant de temps, une partie d’un infini, puis, dans un temps égal à celui pendant lequel la première partie a été prise, une partie égale à celle-là, et si I on continue en procédant toujours de même, il restera toujours, de cet infini, quelque chose à prendre et jamais il ne se trouvera pris en totalité... Mais dès là que des parties égales de l’infini ne sont pas franchies ou prises en des temps égaux, mais en des durées qui décroissent en progression géométrique, ... il n’y a plus d inconvénient à ce que l'infini puisse être pris en totalité, à moins qu il n’y ait à cela quelque obstacle d’autre nature ; de même qu il n’y a aucun inconvénient à ce que la multitude infinie des parties du temps en lesquelles sont prises, comme nous l’avons dit, les parties successives de l’infini, arrivent à être complètement passées ; non seulement il n'y a pas inconvénient à ce que cela soit, mais il est nécessaire que cela soit. »

Pour Grégoire de Rimini, donc, la possibilité de l’infini catégorique ne soulève pas plus de difficulté logique que la proposition suivante : Si I on considère cette suite infinie de durées : Une demiheure, un quart d heure, un huitième d’heure, etc., au bout d une heure, la multitude infinie de ces durées a été franchie.

Des affirmations analoges peuvent, d’ailleurs, être formulées non seulement pour la durée, mais encore pour une foule de grandeurs variables ; si, par exemple, un chemin a été parcouru par un mobile en une heure, on peut diviser cette heure en parties proportionnelles de raison sous-double et considérer les trajets parcourus pendant chacune de ces parties proportionnelles de la durée ; au bout d’une heure, la multitude infinie de ces trajets a été complètement parcourue.

On peut répéter des considérations analogues au sujet d une

i. Grégoire de Rimini, ibid.

l4o LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIVe SIECLE

forme d’intensité variable, de la chaleur, par exemple, qui passe, en une heure, d’un degré à un autre degré.

Les objections que l’on peut élever contre le procédé par lequel Dieu pourrait, en une heure, créer un corps infiniment grand, une surface d’aire infinie, une forme d’intensité infinie, on pourrait tout aussi bien les élever contre les propositions qui viennent d’ôtre formulées ; dans les deux cas, elles peuvent être dissipées d’une manière analogue.

Ces objections que Buridan, qu’Albert de Saxe feront valoir, elles se tirent toutes d’un même principe : Si I on suppose un continu divisé en parties proportionnelles, il n’est pas permis de dire que l’on prend toutes les parties proportionnelles de ce continu, parties dont la multitude est infinie, car il faudrait qu’une de ces parties ait été prise en dernier lieu, « et il n’y a 1 aucune partie proportionnelle qui soit la plus petite ni la dernière. ))

Ce principe, Grégoire de Rimini en admet l’exactitude, mais à condition qu'il soit pris au sens syncatégorique (distributive). Et, comme il l’a montré, cette condition en implique une autre ; c’est que les parties successives du continu soient supposées prises en des temps égaux. Si l’on ne se soumet plus à cette condition, ce principe ne pourra plus être invoqué. A des propositions qui, prises au sens syncatégorique, distributif , seraient fausses, peuvent correspondre des propositions qui sont vraies au sens catégorique, collectif.

Si l’on considère un infini et des parties finies de cet infini, au sens distributif, « il est impossible 2 que toutes les parties de l’infini puissent être prises toutes ensemble ; quel que soit, en effet, le nombre des parties déjà prises et de quelque manière qu elles aient été prises, elles sont toujours les parties d’un tout qui les comprend, qui a, par conséquent, hors d’elles, une partie ou d’autres parties. Les parties qui ont été prises de la sorte ne sont donc pas toutes les parties de cet infini. La proposition énoncée est fausse au sens propre [distributif). Il en est de même de ces autres propositions : Toutes les parties , prises simultanément, forment le tout; le tout est identique à toutes ses parties prises simultanément. Et cependant, ces propositions sont vraies : L'ensemble des choses [omnia, par opposition à : omnes partes] dont chacune est une partie de ce tout, constitue ce tout. Inversement, ce tout est

r. Grégoire de Rimini, loc. cit., éd. Claude Chevallon, fol. clxxviij, col. c; éd. Venetiis, i5i8, fol. i55, col. a.

2. Grégoire de Rimini, loc. cit., éd. Claude Chevallon, fol. clxxxj, col. a éd. Venetiis, i5i8, fol. iôy, col. c.

L INFINIMENT GRAND

l’ensemble des choses dont chacune est une de ses parties. En ces propositions, les mots ensemble des choses (omnia) sont pris au sens collectif. »

Les logiciens avaient insisté sur cette affirmation : Une proposition, vraie au sens syncatégorique ou divisé, peut être fausse au sens catégorique ou composé. Inversement, Grégoire de Rimini montre par de nombreux exemples qu’à une proposition fausse au sens distributif peut correspondre une proposition vraie au sens collectif.

S’agit-il d’une heure divisée en parties proportionnelles 1 et de 1 instant qui la termine ? Il serait faux de formuler cette proposition distributive : Avant cet instant, toute partie de lheure était passée. Mais il est vrai de formuler cette proposition collective : Toute partie de l'heure était passée avant cet instant.

De même, s’agit-il d’une forme qui, en une heure passe avec une vitesse constante d’un degré à un autre, croissant par parties proportionnelles qui correspondent aux parties proportionnelles de l’heure P (( Ces deux propositions sont également vraies : Toute partie proportionnelle de cette forme qui existe à l’instant final de l’heure, a existé avant cet instant. En aucun instant, en aucun temps avant cet instant final, il n’existait une infinité de parties proportionnelles de cette forme. »

C’est par une semblable distinction que l’on résoudra 2 l argument paradoxal d’Achille et de la tortue. C’est par une semblable distinction que I on accordera le principe de Burley : En une heure divisée en parties proportionnelles, il n’y a pas de dernière partie, et cette proposition : En une telle heure, Dieu peut créer un rectangle de hauteur infinie. « A la fin de l’heure 3, il n’y a pas un certain rectangle ou une certaine figure totale ; il y a une grandeur infinie comprenant une infinité de rectangles donc aucun n’est le dernier. De même, lorsqu’une forme croît d’une manière continue, en chacun des instants qui terminent les parties proportionnelles successives de l heure, à partir de la seconde, il existe un nombre toujours plus grand de parties de la forme, et cependant, à la fin de l heure, il n’y a aucun nombre qui soit le nombre de ces parties, mais il y a une multitude infinie qui comprend une

1. Grégoire de Rimini, loc. cit., éd. Claude Clievallon, fol. clxxx, col. d; éd. Vènetiis, i5i8, fol. i57, col. b.

2. Grégoire de Rimini, loc. cit., éd. Claude Chevallon, fol. clxxxj, col. c; éd. Venetiis, i5i8, fol. 1 57 , col. d.

3. Grégoire de Rimini, loc. cit., éd. Claude Chevallon, ibid.; éd. Venetiis, i5i8, fol. i58, col. a.

LA PHYSIQUE PARISIENNE AU XIVe SIECLE

infinité de nombres de parties, et aucun de ces nombres n’est le dernier. »

Si Dieu peut, durant un temps fini divisé en parties proportionnelles, créer une grandeur infinie par addition de grandeurs égales, il peut tout aussi bien, durant ce même temps, subdiviser un continu en parties sous-doubles les unes des autres ; la possibilité d’un infini catégorique implique donc qu'un continu puisse être actuellement divisé à l’infini. A part François de Mayronnes et Jean de Bassols, la plupart des Scolastiques ont admis la corrélation de ces deux propositions ; niant alors qu’un continu pût être actuellement divisé à l’infini, ils en ont conclu l'impossibilité de l’infini catégorique.

Grégoire de Rimini admet, lui aussi, cette corrélation, mais il en use en sens inverse ; comme il admet l’existence de l’infini actuel, il admet aussi la divisibilité actuellement infinie de toute grandeur continue.

Que le mot infini soit pris au sens catégorique ou au sens syncatégorique, notre logicien enseigne 1 « que toute grandeur est composée d’une multitude infinie de grandeurs partielles égales entre elles. » Il formule explicitement ces deux propositions :

« Toute grandeur a une infinité de parties égales, le mot infini étant pris au sens syncatégorique. . .

)) Toute grandeur a une infinité de parties égales, le mot infini étant pris au sens catégorique. »

Cette dernière proposition fournit même à Grégoire 2 un argument dont il use pour prouver que l'existence actuelle n’est pas en contradiction avec l’infinitude : « Je dis qu’il n’est pas de la nature de l’infini tout court que quelque chose de cet infini demeure toujours en puissance ; cela se voit clairement en la multitude infinie des parties d'un continu ; chacune de ces parties est en acte comme chacune des autres ; il n’est pas vrai qu’une certaine partie de ce continu soit en acte et une autre seulement en puissance.

Non est de ratione infiniti simpliciter sumpti quod aliquid ejus sit tantum in potentia ; quod patet in multitudine infinita partium continui, quorum quælibet est actu sicut aliqua earum ; nec ejus est aliqua pars in actu, aliqua vero in potentia tantum. »

1. Gregorius de Arimino In secundo Sententiarum, Dist. II, quæst. II : Utrum angélus sit in loco divisibili ant indivisibili ; Art. II : An magnitudo componatur ex indivisilibus. Ëd. Claude Chevallon, fol. xxxv, eoll. c et d; éd. Vcnetiis, i5i8, fol. 3o, col. b.

2. Gregorius de Arimino In primo Sententiarum , Distt. XLII, XLIII et XLIV, quæst. IV, art. II. Ëd. Claude Chevallon, fol. clxxix, col. a; éd. Venetiis, i5i8, fol. 1 55 , coll. c et d.

L INFINIMENT GRAND

Nous terminerons par cette citation 1 exposé du système de Grégoire de Rimini ; la pensée qu elle renferme, et dont Robert Holkot nous a déjà fait entendre lexpression, est vraiment la pensée maîtresse de ce système. Que l’on conçoive une grandeur continue et un mode de subdivision capable de distinguer, en cette grandeur, une infinité de parties. On ne doit pas dire qu’en cette grandeur, ces parties existent seulement en puissance ; elles y sont vraiment en acte, bien qu elles ne soient pas séparées. En sorte qu’en prenant les mots au sens collectif, catégorique, on peut dire que la grandeur considérée est l’ensemble de ses parties ; que se donner cette grandeur, c’est se donner l’ensemble de ses parties ; que franchir cette grandeur, c’est franchir l’ensemble de ses parties. Ce principe accordé, toute la doctrine de Grégoire de Rimini en résulte. C’est à ce principe que devront s’attaquer les adversaires de cette doctrine s'ils veulent que leurs arguments aient quelque efficace.