JEAN BURIDAN . - ALBERT DE SAXE

Au problème de linfini, Jean Buridan consacre les six dernières questions 1 sur le troisième livre de la Physique d’Aristote. En ces six questions, il discute pied à pied la doctrine de Grégoire de Rimini afin de prouver qu’en toute espèce de grandeurs, l’infini syncatégorique est possible tandis que l’infini catégorique est impossible.

Parmi ces six questions, il en est une 2 qui porte le titre suivant : « Y a-t-il une ligne hélicoïdale qui soit infinie, en prenant toujours le mot infini au sens catégorique ? » R s’agit d’un exemple de ligne infinie qui ne se rencontre pas au commentaire sur les Sentences composé par Grégoire de Rimini, mais qui procède très nettement de l’esprit de ce commentaire. Voici quel est cet exemple :

Prenons un cylindre droit de hauteur donnée ; divisons-en la hauteur en parties proportionnelles de raison ^ ; par les points de division, menons des plans parallèles à la base ; nous décomposerons ainsi le cylindre total en une suite infinie de cylindres par-

1. .1 ohannis Buridani Quæstiones super octo physicorutn libros Aristotelis, lib. III, quæst. XIV, XV, XVI, XVII, XVIII et XIX.

2. Johannis Buridani Op. laud., lib. III, quæst. XVI : Utrum aliqua linea gyrativa sit infinita ?

fiels dont les hauteurs formeront une progression géométrique décroissante de raison

Cela fait, à la surface du premier cylindre partiel, traçons une hélice qui ait pour pas la hauteur de ce premier cylindre. A partir du point où s’arrête cette première hélice, traçons, à la surface du second cylindre, une hélice qui ait pour pas la hauteur du second cylindre. Continuons indéfiniment selon la même règle. Telle est la loi de construction de la ligne hélicoïde, la linea gyrativa qui, une fois tracée, aura une longueur catégoriquement infinie.

Cette manière de réaliser une grandeur catégoriquement infinie a, évidemment, la plus grande analogie avec celle que concevait Grégoire de Rimini lorsqu il divisait une heure en parties proportionnelles et lorsqu’il supposait que Dieu, en chacune de ces parties, créait une pierre d’un pied cube. Mais elle a, sur cette dernière, l’avantage de ne pas faire intervenir, en ce problème, le pouvoir créateur de Dieu, .et donc de ne pas mêler entre elles deux questions qui ne semblent pas liées l’une à l’autre.

Est-il vrai que l’on puisse obtenir ainsi, d’une manière actuelle, une ligne infiniment longue ? « A mon gré, dit Buridan 1 , cette question est fort difficile. — Ista quæstio est mihi valde difjicilis. » Afin d’y répondre, voici les conclusions qu’il pose :

(( Première conclusion : Si l’on commence à l’une des extrémités du cylindre et si I on s’avance vers l’autre extrémité par parties proportionnelles consécutives de raison il n’y a pas de dernière partie proportionnelle. Chaque partie proportionnelle, en effet, laisse après elle une autre partie qui lui est égale ; celle-ci, à son tour, est divisible en deux moitiés dont la première est partie proportionnelle aux précédentes...

» De là suit cette seconde conclusion : Soient A l’une des extrémités du cylindre B et C l’autre extrémité. Commençons à former les parties proportionnelles depuis A en allant vers C. Notre conclusion est celle-ci : Il n’y a pas, suivant ce procédé, de partie proportionnelle qui atteigne à l’extrémité C. Il n’y a pas, non plus, une partie proportionnelle qui soit plus proche que toute autre, de cette même extrémité C. Une telle partie, en effet, serait la dernière, et il a été dit qu’il n’y en a aucune qui soit la dernière...

« Douzième conclusion 2 : A toute ligne hélicoïcale dessinée le long de certaines parties proportionnelles, correspond une ligne droite qui traverse les mêmes parties proportionnelles. )) U suffit,

r. Jean Buridan, loc. cit., fol. Iuiij, col. d. 2. Jean Buridan, loc. cit., fol. lix, col. b.

L INFINIMENT GRAND

en effet de prendre la projection de cette ligne hélicoïdale sur l’axe du cylindre.

« De la suit la treizième conclusion : Si une ligne hélicoïdale est, de la susdite manière, tracée le long de toutes les parties proportionnelles du cylindre et n’est pas prolongée au delà de toutes ces parties proportionnelles, il lui correspond une ligne droite qui est menée au travers de toutes ces parties proportionnelles et qui ne se prolonge pas au delà de toutes ces parties...

)) Quatorzième conclusion 1 . Aucune ligne droite ne peut être menée au travers de toutes ces parties proportionnelles, à moins qu elle ne soit prolongée au delà de toutes ces parties proportionnelles. Si elle est prolongée, en effet, au travers de tout le cylindre, de façon à atteindre l’extrémité C et à toucher le corps extérieur avec lequel le cylindre lui-même est en contact, elle est prolongée au delà de toutes les parties proportionnelles, puisqu’aucune d’elles n’atteint à l’extrémité C, comme on l’a dit en la seconde conclusion. Si, au contraire, cette ligne droite n’est pas prolongée jusqu’à l’extrémité C, ... il en résulte quelle s’arrête à quelque terme en deçà de C, de telle sorte qu’entre ce terme et le corps extérieur que touche le cylindre, il reste quelque chose du cylindre. Mais au delà de tout terme situé en deçà de C, il y a certaines parties proportionnelles... Cette ligne droite n’est donc pas tracée au travers de toutes les parties proportionnelles. Ainsi il n’y a pas de ligne droite qui soit tracée au travers de toutes les parties proportionnelles, à moins qu elle ne soit prolongée au delà de toutes ces parties. . .

» De cette conclusion et de la précédente résulte la seizième conclusion 2 : Il n’y a pas de ligne hélicoïdale qui puisse être, de la manière indiquée, tracée le long de toutes les parties proportionnelles du cylindre ; aucune telle ligne, en effet, n’est tracée au delà de toutes ces parties proportionnelles, comme cela se voit par la définition même du cas que l’on considère (ut apparet per casum) ; et cependant, elle ne saurait être tracée le long de toutes ces parties, à moins de se prolonger au delà de toutes ces parties, comme on le voit par les deux conclusions précédentes...

)) De ces propositions, je tire la conclusion principale : Aucune ligne hélicoïdale tracée le long des parties proportionnelles du cylindre n’est infinie en longueur ; on ne poserait pas, en effet, qu’une telle ligne est infinie si elle n’était tracée le long de toutes