d'Angelo^ Le Tach. et ses appl

Cet exposé forme le principe sur lequel est basé la construction du niveau de pente Berthélemy.

Le modèle représenté par la figure 100 a été établi sur les indications de M. Durand-Claye, inspecteur général des Ponts et Chaussées. Il comporte une lunette L munie d'un index I, pouvant basculer autour du point 0, un arcle de cercle C fixe, dont le limbe porte la division des tangentes ou pentes par mètre : Técartement de deux traits correspond à 5 millièmes de pente par mètre, le 1/10 facilement appréciable par estime donne les pentes à un demi-millième près.

L'instrument porte un cercle horizontal qui permet de mesurer les angles d'un plan à une minute près.

fig.loo

Tout le bâti i-epose sur un dispositif de calage à 3 vis. En pratique on peut faciliter le calcul des distances horizontales, en choisissant les visées à côtes rondes, de manière que la différence pj — p^ soit un nombre simple, 0,01, par exemple.

On peut alors obtenir la distance horizontale par un simple calcul mental. En effet l'équation (1) devient :

Le niveau de pente de M. Berthélemy peut donc être classé parmi les tachéomètres auto-réducteurs. Il est employé utilement aux levers des détails des terrains où l'instrument doit être fréquemment déplacé comme dans les vallées fortement contournées, et avec succès aux levers des profils dans les pays de montagnes.

Niveaux Lefebvre. — Les deux niveaux Lefebvre sont basés sur le même principe ci-dessus. Le premier indique les pentes en degrés et en tangentes jusqu'à 45° : 1 mètre par mètre ; le second donne les pentes jusqu'à 25 cm. par mètre exprimées en millimètres par les 1/2 divisions.

Niveau de pente Chézy. — L'instrument (fig. 101) se compose

essentiellement d'un dispositif à vis calantes, d'un support sur lequel sont fixées une nivelle N et deux pinnules Pj, P^. Cha- • que pinnule comprend un cadre, à l'intérieur duquel est fixé une pièce munie d'un œilleton et d'une fenêtre sur laquelle est fixée une croisée de deux fils, ^'^^^ l'un vertical, l'autre horizontal.

En agissant sur la vis V^ ou sur la tête du pignon Vg, on peut modifier dans le sens vertical la position de ces deux pièces. La pièce mobile de la pinnule Pj est munie d'un index avec vernier, qui se déplace devant une échelle divisée, gravée sur le cadre.

Les lignes de visées déterminées par l'œilleton d'une pinnule et la croisée de l'autre sont horizontales, quand l'instrument, étant calé, le zéro du vernier coïncide avec le zéro de l'échelle. Si au contraire, on déplace l'index, le rapport entre ce déplacement marqué sur l'échelle et la distance des deux pinnules fournit la pente de la visée inclinée.

Dans le niveau de Chézy, construit par la maison Berthélemy, les divisions sont faites de telle façon que l'intervalle entre deux traits indique 5 °»/" de pente par mètre ; le vernier, étant au 1/5, permet d'apprécier le chiffre des millièmes.

Méthode de M. Kazimirski. — En 1880, M. ICazimirski proposa de substituer, à la division en grade des cercles verticaux de tous les instruments ganiométriques, une division en tangentes. L'évaluation des distances serait obtenue en visant suivant des inclinaisons répondant à un nombre rond de centièmes, et différant, en général, de 0,01, ce qui évite l'estime des fractions de divisions, assez difficile à effectuer, les divisions étant inégales et l'emploi du vernier impossible à réaliser.

Cette méthode n'a pas reçu la sanction de la pratique. M. Prévost a calculé qu'elle donne lieu à une erreur moyenne de 1"75 par 100 mètres de distance et que dans les cas défavorables, cette erreur pourrait atteindre le double de la valeur ci-dessus.

Stadia tangentielle de M. Laterrade. — Cet instrument n'est autre qu'un niveau d'Egault, auquel on a fait les additions suivantes: une boussole placée dans l'axe de l'instrument, immédiatement au-dessus de la bulle, le cercle horizontal divisé en demidegrés et muni d'un vernier. La lunette est rendue mobile autour d'un axe divisé, non en degrés, mais suivant les tangentes, ha.

construction de cet appareil est donc basée sur le même principe que rinstrument de M. Kazimirski.

On opère en dirigeant la lunette suivant Tune des tangentes marquées sur l'arc, de manière que Ton n'a jamais de fractions à apprécier.

D'après l'auteur, cet instrument permet de lever le plan en même temps qu'on fait le nivellement, d'évaluer les petites distances avec une très grande approximation.

Dans son mémoire publié dans les Annales des Ponts et Chattësées, t. XIII, 1887, page 339, l'auteur examine, d'après le calcul des probabilités, la précision que peut atteindre cette méthode, c'est-à-dire l'influence de l'incorrection des lectures sur la mire et du défaut de coïncidence absolue entre le repère fixé à la lunette et le trait du cercle en regard duquel on place ce repère et conclut que cette méthode permet d'évaluer une longueur de 500 mètres à 1/1500 près.

Mais pour l'évaluation des distances supérieures à 150 mètres, l'instrument exige l'emploi d'une mire de 6 mètres de hauteur, ce qui donne lieu à des erreurs considérables, concernant le défaut de verticalité de la mire ; c'est sans doute ce qui l'a empêché jusqu'ici d'être adopté dans les opérations de précision, malgré les avantages qu'il présente dans les terrains accidentés. Cet instrument ne peut pas être appliqué avec succès que si l'inclinaison de la visée reste très limitée.

Quand à la mesure des distances, elle se trouve entachée par cette cause, d'une erreur que l'on peut déterminer de la manière suivante :

Soit p la pente sous laquelle on vise une mire placée sur un point M (fig. 102) et / la hauteur AM interceptée par cette visée sur ^ la mire tenue parfaitement verticale. Si la mire s'in- ^ cline d'un angle a, la visée in-

^' ^°^ tercepte une longueur MB qui

diffère de / d'une quantité x.

Pour trouver l'expression de x, remarquons que :

BC«(/ + x)cosa = p. OC .

on a donc (/ + x) cos a = p (OM + MC) = p / |-(^+x)sin a)

d'où

/ cos a — p sina

si l'on pose tg a = m

Or, Terreur dont la mesure des distances se trouve entachée est

proportionnelle à -r , quelle que soit d'ailleurs la différence des

deux lectures que fournissent cette mesure. On ne gagnerait absolument rien, à ce point de vue, en allongeant la mire, comme le propose M. Laterrade : la chance d'erreur serait au contraire augmentée, car les niires sont d'autant plus difficiles à tenir verticales

qu'elles sont plus longues, et Terreur relative j augmente toujours avec la valeur absolue de p.

En effet m, et \nt très petit et ne dépassant guère 0.01, on peut po-

ser T =» •:; 1. Si w et ^ sont de même signe, Terreur est en

plus, et on voit qu'elle augmente avec la valeur absolue de p qui entre au dénominateur dans un terme négatif. Si w et p sont de signe contraire, Terreur est en moins et a pour valeur absolue 1 — Yj- — , m et p étant ici exprimés eux-mêmes en valeur absolue. La fraction à retrancher de 1 diminue et Terreur aug mente encore lorsque p augmente.

Tachéogrraphe universel de Ziegler. — Comme le nom de l'instrument l'indique, l'inventeur du Tachéographe s'est proposé non plus d'enregistrer des éléments numériques, mais de dessiner le plan directement sur le terrain. Mais la partie supérieure de l'instrument constitue un appareil auto-réducteur pour la mesure numérique des distan ces .

La lunette est mobile autour d'un point placé près de l'oculaire et repose vers son milieu, par l'intermédiaire d'une plaque d'acier, sur un couteau faisant partie d'un dispositif dit : porte-lunette.

L'opérateur peut élever ou abaisser à son gré le porte-lunette, et, par conséquent, faire basculer la lunette autour de son axe de rotation, en manœuvrant une vis d'appel verticale ; mais ce dispositif ne lui permet malheureusement pas de donner à la lunette, aussi rapidement qu'il serait désirable, les inclinaisons successives, souvent très différentes, nécessitées par les pointés.

La lunette, occupant une position déterminée par celle du portelunette, le couteau peut recevoir un mouvement indépendant, au moyen d'une vis micrométrique fixée au porte-lunette. Un index

est gravé sur cette dernière pièce et le tambour de la vis porte des divisions chiffrées : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10.

Le zéro du tambour, étant amené en regard de Tindex, au début de l'opération, le mouvement imprimé ensuite à la vis micrométrique pour faire coïncider avec cet index les divisions 1, 2, etc., de l'échelle, a pour effet de donner à la lunette, par l'intermédiaire du couteau, des inclinaisons successives, telles qu'à 1 mètre sur la distance, correspondent respectivement 1, 2, etc., centimètres de la mire.

On voit qu'avec cet instrument, l'opérateur, après chaque pointé ou lecture, doit se déplacer pour venir assurer la coïncidence de l'index avec la division convenable de la vis micrométrique.

Diastimomètre Sanguet. — Cet appareil (fig.103), inventé par M. Sanguet en 1886, comporte un prisme lamellaire s'adaptant

facilement devant l'objectif d'une lunette.

Ce prisme, monté à charnière peut,à volonté, masquer ou démasquer l'objectif.

En faisant une lecture de mire au fil hori- ^* ^^ zontal unique de la lunette dans chacune

des deux positions du prisme, on obtient le nombre générateur de la distance, tout comme une lunette micrométrique.

En effet, d'après la fig.104, a étant l'angle compris entre les deux visées faites avant et après interposition du prisme sur le trajet des rayons lumineux, ST la longueur de stadia comprise entre ces deux

ST

visées, d la distance cherchée, on a d = r

tanga

Le modèle que l'on pouvait voir a l'Exposition internationale de Liège (1905), porte deux graduations spéciales permettant de lire sur la mire sans calcul la distance réduite à l'horizon et la différence de niveau.

Pour un prisme donné, l'angle de réfraction ne dépend que de l'indice de réfraction du verre employé et de l'angle des faces non parallèles ; il est donc constant.

On peut obtenir, par construction, par sa tangente, une valeur

simple, par exemple 1/50, 1/100, 1/200. Les longueurs évaluées à

'aide du diastimomèti'e ont pour origine l'axe du prisme ; pour les

rapporter à l'axe du trépied portant la lunette, il faut donc . leur

ajouter une constante égale à la distance comprise entre cet âxe et

le prisme en verre, soit à peu près la demi-longueur de la lunette. Ces longueurs doivent, en outre, le cas échéant, être réduites à rhorizon, comme dans le cas de la lunette stadimétrique.

Tachiéomètre Chiamot

L'instrument comporte tout d'abord les organes essentiels du tachéomètre ordinaire : cercle horizontal gradué,alidade avec vernier, dispositif de vis d'arrêt et pince s, s', un embase formé du triangle métallique muni des vis de calage v,v,v, le tube magnétique, un niveau pour le calage du pivot central, la lunette, un limbe vertical gradué, etc. Il présente ensuite les organes caractéristiques propres à Tautoréduction, dont voici la description .empruntée à une notice publiée par l'auteur même de ce remarquable appareil, (fig. 105).

AflFÛt de la lunette.— L'affût, dont le tourillon est rendu horizontal parl'appareil de réglage situé à la partie supérieure de la colonne, oscille verticalement jusqu'à 45® ou 50° au dsssus ou au-dessous de l'horizon. Il peut être arrêté dans toutes les positions au moyen de la pince b, du curseur et de la vis de rappsl b'. — L'affût se termine par deux collets,dont l'un est muni intérieurement d'un3 vis permettant de placer l'axe de la lunette perpendiculairement à l'axe vertical de Tinstrunitint. Quatre vis butantes/, situées à l'extérieur des collets,et le taquet/» de la lunette règlent la position du réticule. Ainsi disposé, l'affût et la lunette satisfont à toutes les conditions voulues pour les nivellements directs par retournements, d'après la méthode d'Egault.

Limbe vertical — Un arc de cercle gradué, ayant pour centre l'axe O du tourillon de l'affût, indique l'inclinaison de la visée. Cet arc de cercle fait corps avec l'affût et la bielle et transmet à la lunette les mouvements de rayonnement vertical que nécessitent les pointés.

Bielle. — La bielle se compose de trois pièces, savoir :

P La coulisse /, évidée dans l'appendice situé au milieu du limbe vertical et en prolongement du rayon passant par le zéro de ses graduations.

2° Le coulisseau/', taillé en biseau sur les côtés et occupant la coulisse/"; il y glisse longitudinalement, à frottement doux et en ligne rigoureusement droite et toujours dirigé vers le centre O du tourillon, pendant que, à son extrémité inférieure, il reste fixé au curseur par le pivot a.

3° La plaque élastique^, portant le vernier, dont le zéro correspond, (la bielle étant dans la position verticale^, à l'origine des graduations faites sur le coulisseau. Cette plaque est fixée à la coulisse par trois vis de réglage et recouvre le coulisseau en le pressant lé-

flg. 105

gèrement ; elle indique sur celui-ci les allongements de la bielle quand elle oscille à gauche ou à droite de la verticale.

Règle altimétrique — La règle altimétrique R est fixée sur le cercle supérieur, au dessous de la bielle et parallèlement au plan de révolution vertical de la lunette.

Elle est évidée intérieurement et coupée à sa partie supérieure et sur toute sa longueur par une coulisse R' servant de guide au curseur. Elle est graduée à sa face extérieure pour indiquer la longueur des déplacements du curseur.

Curseur. -— Le curseur indique sur la règle altimétrique l'amplitude des mouvements d'oscillation de la lunette, par l'intermédiaire de la bielle, tout en maintenant le pivot inférieur de celle-ci à une distance constante de la règle R.

Il est composé d'un châssis rectangulaire allongé glissant sur la règle au moyen de guides et de ressorts engagés dans la coulisse de cette règle.

Ce châssis est relié à la bielle par un pivot a, supporté au moyen d'une plaque, dont on peut régler et fixer exactement la hauteur au moyen de ses vis d'attache a'.

Il porte, sur sa face longitudinale et fixé à lui par des vis de réglage e, un double vernier servant à la lecture sur la règle altimétrique.

Le curseur est muni d'une pince b et d'une vis de rappel b' permettant de le fixer et de rectifier ensuite sa position. Cette pièce est placée à l'intérieur du châssis c', où elle est guidée par un plus petit cadre ou étrier qui l'enveloppe complètement tout en lui laissant im espace libre limité, à son extrémité avant, par la paroi même de l'étrier et à son autre extrémité, par les deux vis d et d'.

Un ressort à boudin fixé à l'étrier du côté arrière, où sont placées ces vis presse la pince b contre le fond opposé.

Une vis c' concentrique à la vis b', traversant l'étrier et s'y appuyant, permet d'exercer sur la pince b une poussée qui fait avancer le curseur en ré luisant l'espace libre entre cette pi»5ce et les vis detd'.

Il résulte de ces dispositions que la pince c, étant serrée et immobilisée, on peut encore produire un déplacement du curseur et rectifier le pointé, soit avec la vis de rappel b', soit avec la vis de réduction c'.

Dans le premier cas le grand châssis se déplace seul en avant ou en arrière ; dans le second le curseur tout entier, sauf la pince, avance de toute la longueur de pénétration de la vis c\

Divielon de la bielle et de larègle.— Les divisions de la bielle et celle de la règle sont faites en demi-centimètres de la distance séparant les axes a et o des deux pivots extrêmes de la bielle dans sa

position verticale.

Les verniers qui servent à leur lecture, étant de 50 divisions, permettent d'apprécier les cinquantièmes (^) des demi-centièmes

(m) ' '°" '^ ^^^ millièmes (^ôiôôô)'

Déclivité-— Pour faire un pointé selon une inclinaison quelconque, pente ou rampe, on fait parcourir au curseur, sur la règle, une ligne horizontale correspondante qui représente la déclivité du pointé par unité quelconque de distance horizontale.

Le tachéomètre Charnot fournit, pour une ouverture d'angle quelconque projetée sur le limbe vertical, la valeur de toutes les lignes trigométriques : La tangente directement sur la règle, la sécante directement sur la bielle, la cotangente en divisant 1 par la tangente de la règle, la cosécante en multipliant la cotangeante par la sécante de la bielle, le sinus en divisant la tangente de la règle par la sécante de la bielle et ainsi de suite.

Distance horizontale. — Après avoir fait le pointé sur une mire placée verticalement, si Ton avance le curseur d'une longueur quelconque, les angles verticaux ainsi formés sont respectivement égaux à ceux qu'a décrits la bielle par les mouvements du curseur.

De la longueur diastimométrique, on déduit la distance horizontale, qui est égale à autant de fois la longueur diastimométrique que le déplacement horizontal du curseur est contenu de fois dans la distance oa.

Le curseur est construit de façon à pouvoir régler à volonté le rapport de la longueur de sa course avec la distance oa.

Pratiquement, grâce au dispositif des deux bouttoirs placés à l'intérieur du curseur, on peut choisir à volonté comme rapport de la hauteur de mire à la distance : 1/100, 1/10, ce dernier rapport réservé pour les petites distances.

Mire. — Toutes les mires parlantes peuvent être employées avec le tachéomètre Charnot, mais on retire de sérieux avantages avec la mire spéciale dont le modèle est donné à la fig. 106 et qui permet d'élever et de fixer, pour la durée de chaque station, le zéro des divisions au dessus de chaque talon à une hauteur égale à celle du centre de la lunette, au dessus du sol.

En outre que, par cette propriété, elle simplifie les inscriptions au carnet, en rendant généralement inutiles les renseignements relatifs à la hauteur de la lunette, cette mire facilite

fig.io6

encore les opérations dans certains terrains'où les pointés sont gênés par les végétaux ou autres obstacles à la vue.

Elle se composejde deux pièces superposées de 3™00 de longueur. La pièce dej face à l'opérateur est divisée en centimètres l'autre [en doubles centimètres ; elle glisse dans les coulisses de la seconde, où-'elle peut être fixée au moyen dej la vis située à la partie supérieure,^ à j toutes les hauteurs jusqu'à plus de 2™,50, ce qui donne ainsi à l'ensemble de la mire une longueur de plus de 5°*50 ; des^divisions faites en centimètres à l'intérieur et entre les coulisses de la deuxième pièce permettent de placer la règle de face àja^ hauteur voulue, '^sans aucun mesurage.

Tachiéométre à projection Breithiaixpt

pour les levers à Féchelle de 1 : 1000.

La Maison Breithaupt, d'après les indications de M. l'ingénieur PuUer a construit un nouveau Tachéomètre à projection au moyen duquel on peut évaluer la distance horizontale et l'altitude sans calcul et enregistrer directement et graphiquement sur le terrain les résultats des observations. A cet effet, l'appareil est pourvu d'un cercle horizontal en magnalium, d'un diamètre de 0°*,425, sur lequel on applique un disque de papier-calque servant à marquer les points visés. Voici les formules dont M. Puller s'est servi pour établir la construction de cet important appareil : D'après la fig .107, le triangle o M u donne :

/ : M u = sin p : cos (a -{- P)

comme M u =

cos a

D = -^— ^cos (a -f- P) cos a, et sm p

h=^. D tg a =-: — z. cos (a + 6) sin a ** sin p ^ I f/

En désignant-: — r- par k, et tenant compte de la constante addi-

Fig.107 tionnelle c, on obtient les équations :

(1) D = [kl cos (a + p) + c ] cos a

(2) h == [kl cos (a -f- P) + c ] sin a

(3) H = (He + i-u)+h

Dans (3), Hs est Taltitude du centre de station, H, l'altitude du point visé, i la hauteur de Tinstrument et u la lecture inférieure de la mire.

Cela posé, l'appareil (fig. 108) comporte des organes essentiels du tachéomètre : lunette avec un objectif de 34 "/" d'ouverture, et micromètre, nivelle, etc ; il est muni en plus, d'un dispositif de projection matérialisant les formules (1) (2) (3), et composé de 3 règles AA, BB, CC. La règle A A, reliée à Taxe horizonlal de la lunette, suit les différentes inclinaisons de celle-ci ; la règle graduée BB, inclinée sous l'horizon de l'angle P, peut glisser sur une barre MM ; la règle graduée CC,reliée à la colonne par des supports peut se placer exactement suivant l'horizontale.

Deux curseurs : F, pouvant glisser le long d'une tige L parallèle à AA, et G, muni de vernier, se déplaçant sur la barre MM solidaire avec BB, sont reliés au moyen d'une tige E, qui se maintient toujours perpendiculaire à la règle AA ; le vernier H est monté sur pivot. Une barre en acier D, pivotant autour de et articulée sur la règle BB, reste toujours parallèle à E, de manière qu'à chaque inclinaison de la lunette, la règle BB est conduite par D.

Une équerre P, montée sur une roulette, se meut sur la règle CC; l'équerre porte les deux verniers I et K, ainsi que le dispositif (fig. 109) pour tracer sur le papier les points visés.

Fig. io8.

Le limbe est divisé en 1/3 de degré ; on fait la lecture au moyen de Talidade, la distance horizontale est lue sur le vernier K de réquerre P. Mais il est préférable, comme nous venons de le dire, de rapporter immédiatement les points sur le terrain.

Emploi de l'appareil. — On met l'appareil en station au moyen

d'un fil à plomb divisé (fig. 110) et on lit sur ce ruban la hauteur i. On amène ensuite, avec la vis de rappel, la division de réquerre P en regard du vernier I, de façon à pouvoir lire la hauteur (Hs + i — u). Si u est constant, soit p. e. 2 mètres pour xme même station, l'expression (Hg + i — u) restera invariable.

On opère de même pour chaque point visé : on dirige le trait inférieur du réticule sur la division 2 mètres de la mire parlante et l'on fait la lecture au trait supérieur (le trait inférieur se montre en haut dans la lunette);

frg. 109

fig. IIO fig. III

puis on amène le curseur G dans une position telle que le vernier voisin de G donne la longueur o .— u = o — 2 mètres : le mouvement lent sera fait par la vis de rappel S, après que le curseur a

été fixé sur L. Enfin on glisse Téquerre P sur la règle CC jusqu'au contact du vernier H. On marque le point sur le papier et Ton écrit en regard l'altitude qu'on a lue au vernier H. Soit par exemple :

Hs = 187°>47 Hs +i— u = 186,82 (fig. 111, vernier I) D = 161".8

u = 2°> H = 212.35 (fig, 111 vernier H)

En effet, soit MF (fig. 112 la ligne de visée par le trait inférieur du réticule faisant l'angle a avec l'horizon. Soit la droite AB reliée à MF par la perpendiculaire MA et inclinée sous l'horizon de l'angle p. BF est une droite perpendiculaire à MF.

On reconnait dans cet ensemble les axes principaux de l'appareil que nous venons de décrire ainsi qu'en KGN, le contour de l'équerre P.

Le vernier G qui pivote sur le point O est supposé distant du point F, d'une longueur G = 0,43 mill., la constante de la lunette étant C = 0°»,43.

wm^^

fig. 112

L'angle P est l'angle stadimétrique ; la stadia étant réglée au 1/1000, les traits extérieurs du réticule embrassent 1 mètre de la mire parlante à 100 mètres, c'est pourquoi la règle BB qui a une division de 200 mètres est inclinée sur la règle CC de 2 millimètres.

Il est facile de voir que si l'on fait AB = kl, on a :

AE = kl cos (a + P)

MO = kl (cos (a + P) + c)

MP -= MO cos a = |kl cos (a + P) + cj cos a =D

OP = MO sin a = [kl cos (a -f P) + cJ sin a -= h

Si rhorizontale MP se trouve à la hauteur H, + i — u, le point donne la hanteur :

Si la mire était couverte par des cultures élevées, on dirigerait le trait inférieur du réticule sur la division 3 mètres de la mire ; dans ce cas, il est nécessaire de diminuer l'altitude lue, de la différence de 3—2=1 mètre.

Pratiquement on trace d'abord la polygonale sur le terrain et on fait ensuite le lever graphique des détails dans chaque station, on oriente enfin les disques de papier à l'aide des points du polygone et l'on obtient le plan définitif.

Tachiéomôtre à, projection !Di*eitlia.iipt

pour les levers à l'échelle de 1 : 2500

Tenant compte que pour les' études des tracés de chemin de fer^ l'échelle de 1 : 1000 offre une exactitude excessive et superflue, la maison Breithaupt, d'après les données de M. PuUer, a construit im autre appareil plus simple qui permet de lever les plans à l'échelle de 1 : 2500.

fig. "3

Le principe sur lequel est basé la construction de cet appareil est

le même que le précédent ; il n'y a de différence que la valeur de

la constante k, qui est égale à 200, au lieu de 100, comme dans le

premier appareil et-en outre la constante c est négligée^ ce qui

fig.i24