d'An gel o, Le Tach. et ses appl
résultat cherché, on procède dans la pratique de la manière simple que voici :
On installe l'instrument sur un terrain horizontal et Ton place la stadia à une distance L exactement mesurée à partir de l'objectif de la lunette: on visa les graduations de la stadia et on mesure exactement la longueur H comprise entre les fils du réticule projetés sur la stadia. On peut écrire alors cette relation :
On transporte ensuite la stadia à une autre distance L, exactement mesurée à partir de l'objectif, soit H, la longueur comprise entre les fils du réticule sur la stadia. On a également :
f De ces deux relations on tire
d'où enfin la valeur cherchée :
h H/ — Ha
Équation de la stadia. Évaluation de la distance à partir de Tobjectif. — On peut obtenir l'expression de cette distance en ajoutant simplement la valeur de la distance focale f à la formule (1), on a alors la distance à partir de l'objectif donné par :
mais on arrive au même résultat directement :
Soient L',r(fig. 20) respectivement la distance de la stadia à partir de l'objectif et sa distance conjuguée; H, h la longueur
Fig. 2o comprise entre les projections des fils du réticule sur la stadia est l'écartement de ces deux fils, f la distance focale principale de l'objectif. Les deux triangles semblables AOB, àOb nous
donnent — ,- = -j- Mais V n'est pas rigoureusement constant, cette 1 h
distance varie suivant la loi
Il suffit par conséquent d'éliminer la variable 1' entre ces deux dernières équations et Ton a :
Cette équation qui exprime la distance mesurée par une lunette a partir de l'objectif s'appalle éqiuition de la stadia. Elle se compose
f de deux termes î^^- H, qui, comme nous Tavons vu, est la distance
à partir de l'objectif et f, la distance focale principale de l'objectif.
: Calcul de la distance focale. — Nous avons trouvé prati-
quement la valeur du rapport-^ = zf^ ~ $ qui nous permet
h Hj — riz
de calculer avec exactitude la formule fondamentale (\) :
L == — H distance à partir du foyer antérieur ; il nous reste à
trouver aussi l'expression def en fonction de L^ L^ Hj H, qui nous permettra le calcul de (9). A cet effet, on substitue dans (5) la valeur :
et l'on a
h Hz — H.
d'ouf = L. —^ ^- H. = 5 (10)
Nombre générateur. — M. Porro appelait nombres générateur les trois éléments qui concourent à la détermination d'un point dans l'espace, c'est à dire \q,s coordonnées polaires \ 2ii\g\e^ diZimnidl, angle zénital, distance du centre de station à la stadia. Mais ordinairement on appelle nombre générateur le nombre n de divisions de la stadia interceptées entre les deux fils extrêmes du réticule, c'est-àdire la distance du centre de station à la stadia, évaluée par les procédés stadimétriques.
Pour que cette évaluation puisse s'effectuer d'une manière simple et rapide, il faut en général- que le nombre de divisions comprisjes dans l'angle stadimétrique soit dans un rapport simple avec ladistance à mesurer.
-Si X représente la largeur d'une division, on aura H = nXetla formule :
2tg-
devient :
L = -7- n = n. Il faut attribuer à
2tg^
Xf , X , , .,11,-
-r-,ou a des valeurs simples -r » ^^ ' A» 2.
h ^. lu '^ 4 2
2tg^
Dans le cas du rapport égal à Tunité, le nombre de divisions lues sur la stadia correspond au nombre de mètres contenus dans la distance L et Ton n'a plus besoin pour connaître la distance à parti r de Tobjectif qu'à ajouter à L la distance focale.
Remarquons toutefois, que quelle que soit la largeur des divisions de la stadia, elle pourra toujours servir, dès qu'on l'aura mesurée, à l'évaluation exacte de la distance.
Mais en pratique l'opération est rendue plus facile en adoptant les mesures métriques, multiples et sous-multiples du mètre pour effectuer la graduation de la stadia. On adopte comme unité de largeur 1 centimètre, 2 centimètres et M. Porro a donné la préférence à l'unité de 4 centimètres.
Cette dernière division, en raison de la facilité et de la rapidité des lectures et des moyens de contrôle, donne des résultats d'une très grande approximation, ce qui fait qu'elle est la plus généralement employée dans la pratique.
Correction de Reiohenbach. — La formule (2) L =7-^
nous donne, comme nous avons vu, la distance à partir du foyer
f antérieur de l'objectif ; la formule (9) L'=— rH-ff, la distance à
partir du centre optique de l'objectif. Mais notre but essentiel est de connaître la distance de la stadia à partir de la verticale passant par le centre M de la station. De sorte qu'il faut tenir compte d'une deuxième correction pour obtenir la véritable distance, c'est-à-dire, il faut ajouter à L' une deuxième constante k égale à la distance entre le centre optique de l'objectif et le centre P de l'instrument. Dans ces conditions la distance cherchée S est exprimée par l'équation suivante :
Comme on voit, d'après ce dernier résultat, la détermination de la distance S comporte deux opérations distinctes : la lecture sur
f la stadia d'abord, pour l'évaluation de -r- H, et l'addition à cette
valeur de f -)- k qui est une constante pour chaque instrument et dont la valeur varie de 4 à 5 décimètres.
On peut procéder par le calcul pour introduire cette correction { -\-k, qui est connue sous le nom de correction de Reichenbach, mais il en résulte un surcroît de travail qui rend peu pratique cette méthode.
Le colonel Goulier, par contre, a suggéré des procédés plus simples que voici :
» Réglons l'appareil de telle sorte,dit M. Goulier, qu'à 100°* + f de l'objectif, cent divisions soient interceptées entre les fils, et l'on aura toujours la distance en mètres de l'objectif à la- stadia, en ajoutant la distance focale principale f au nombre de mètres indiqué
par celui des divisions de la stadia, ou bien, en ajoutant -^ f, la
distance entre la mire et le milieu de la lunette qui dans les observations avec les instruments topographiques, correspond généralement au point de la station.
» Cette addition de — f à la hauteur de la stadia peut s'obtenir de
trois manières différentes :
» 1** Numériquement;
» 2° En laissant entre le zéro des divisions principales de l'échelle sur laquelle on prend les distances à porter sur le plan et le zéro
de la subdivision un intervalle qui représente : — f ;
» S^ En faisant, vers le milieu de la stadia, une division plus petite
que les autres de la quantité qui représente sur elle — f. Cette divi-
sion devra toujours dans les observations, être comprise entre les fils mesureurs. »
Or, sans parler du premier moyen qui doit être exclu a priori à cause du surplus de travail et des pertes de temps qu'il occasionne, les deux derniers procédés de corrections obligent l'opérateur à s'assurer que les divisions supplémentaires de la stadia restent comprises entre les fils du réticule. C'est donc une sujétion et une gêne
très grande, qui donne lieu, en outre, à une sensible perte de temps vu Tensemble des opérations sur le terrain, sans pouvoir d'ailleurs être certain après tout qu'aucune erreur attribuable à la négligQncQ soit échappée.
Une solution par conséquent s'imposait que d'un coup résolut tous ces inconvénients.
La solution la plus élégante et celle qui a le plus contribué à rendre pratique et exacte la Tachéométrie, a été donnée par M, Porro lui-même, qui par Tadjonction d'une lentille supplémsntaire produit ce qu'il appelle Vanalldtisme, c'est-à-dire ramène les lectures au centre de la lunette.
§ 2 ANALLATISME
M. Porro construisait antérieurement ses lunettes en ramenant le centre de l'angle invariable du foyer antérieur au centre optique de l'objectif par l'adjonction d'une deuxième lentille achromatique. En 1852 dans un d^ ses mémoires, faisant allusion à l'anallatisme il s'exprime ainsi : « Il y a donc un point anallatique dans les lunettes ordinaires à oculaire positif : mais ce point est en dehors de la lunette, au foyer antérieur de l'objectif. Il ne serait pas commode pour la pratique de rapporter ainsi les distances à un point pris en dehors de l'instrument, en avant de l'objectif. C'est à l'objectif même et plus souvent encore au centre de rotation de l'instrument qu'on a besoin de les rapporter. C'est là ce que j'obtiens sans altérer la constance de l'angle avec un système objectif, composé de deux verres (l'objectif achromatique ne compte que pour unj tel que le foyer du système soit en . dehors de la distance qui sépare les deux verres un peu au delà du deuxième verre. »
En d'autres termes M. Porro imagina un dispositif ayant pour résultat le déplacement du centre anallatique du foyer antérieur de l'objectif dans l'intérieur de la lunette, à une distance déterminée de l'objectif, notamment au centre de la lunette, au moyen de l'adjonction d'une lentille convergente dans l'intérieur de la lunette.
Cette lentille supplémentaire fut appelée par Porro lentille anallatique. On l'appelle aussi verre anallatisetir ou verre centraliseur.
Dans la théorie de la lunette anallatique on suppose les lentilles comme étant infiniment minces et constituant un système dyoptiqùe centré, c'est-à-dire que les axes optiques des deux lentilles sont disposés sur le même axe xy qui constitue d'autre part l'axe optique ou la ligne de coUimation de la lunette.
L'adjonction de la lentille anallatique dans la lunette astronomique doit en outre satisfaire les deux conditions suivantes pour que le but que l'inventeur se propose soit réalisé :
l** La distance entre les deux lentilles fobjectifet verre anallatiseur) doit être moindre que la distance focale principale.
2° Le foyer principal antérieur de la lentille anallatique doit coïncider avec le point de rencontre sur Taxe optique du système des rayons réfractés traversant Tobjectif, et provenant des points de l'objet visé ayant leurs images sur les fils du réticule.
Cela posé examinons la constitution d'une lunette anallatique et la marche des rayons satisfaisant les conditions ci- dessous.
Constitution d'une lunette anallatique et marohe des rayons. — Soient Oj l'objectif, 0,1a lentille anallatique placée à une distance p de O^, moindre que la distance focale principale de l'objectif ; A,B deux points symétriques d'une mire parlante installée à uns distance D du point C, centre anallatique déterminé sur l'axe optique par le prolongement des rayons A a et B b ; uj l'angle anallatique b C a.
Fig. 21.
Des rayons lumineux issus des points A,B, incidents sur l'objectif, divergent suivant les directions aai , bbi , et se coupent en un point F de l'axe optique plus près de Oi que ne l'est le point C.
Supposons que la lentille Oa soit disposée de manière que son foyer principal antérieur coïncide avec le point F, tous les rayons qui, comme ceux émanant de A, B réfractés en traversant l'objectif passent par F, subissent une deuxième déviation en rencontrant la lentille O et d'après les principes élémentaires d'optique sortentparallèles à l'axe optique et dans notre cas suivant ai a^ aj ,bi ba h^
Si ag , h^ sont les fils du réticule amené au plan de l'image, c'est que a3 , h^ sont les images respectivement de A, B, c'est-à-dire que la projection des fils du réticule et l'image de A B coïncident dans un même plan.
Réciproquement les rayons ag slz slz , b3 ba bi parallèles à l'axe optique,issus des fils du réticule, en traversant la lentille anallatique convergent vers le point F et ensuite sont réfractés par l'objectif suivant les directions a A, b B.
Les distances du centre d'anallatisme à la stadia sont proportionnelles aux longueurs de stadia interceptées par les fils.
Soient Q,^,h^ (fig. 21) la position initiale des fils du réticule sur lesquels se projettent les points A,B de la stadia après la mise au point de la lunette. Déplaçons la stadia : soient Ai Bj et a, b^ respectivement la nouvelle position de la stadia et des fils établie dans les mêmes conditions de vision distincte.
En suivant la marche des rayons, les points d3 la stadia, dans la nouvelle position, ayant leurs images sur les fils a, ba se trouvent évidemment en A B sur les prolongements dos rayons aA, b B réfractés par l'objectif et on a donc par la similitude des deux triangles A CB,AzC Bx :
Distance horizontale. — L'expression de la distance horizontale D, comptée à partir du point C est semblable à celle que nous avons trouvée précédemment. En effet le triangle A C B nous donne (H étant la grandeur de la mire interceptée entre les fils du réticule^
H^D-^ H=2Dtg^ d'où:
TT
(i) D== et si nous
2tg-
désignons par X la largeur d'une division de la mire, et par n le nombre de divisions interceptées, comme H ^= n X,
2tg^
^ ^^ tg— choisis de manière que le rapport soit un nombre
2tgf
simple.)
La position du centre d'anallatisme est indépendante de l'angle stadimêtrique et par conséquent de l'écartément des fils du réticule. — Soient (fig.22) p la distance des lentilles ; Pi la distan:e focale de l'objectif ; pa" la distance ^focale delà lentille anallatique.
- La réalisation de l'anallatisme est possible à la condition suivante : pi >p>p^ (3)
Remarquons d'autre part que point F est l'image virtuelle de C, centre d'anallatisme : ces deux points sont conjugués par rapport à
l'objectif et, d'après la loi fondamentale des lentilles, le point F est déterminé par la relation :
p. Ox F 0^ C 1 h p-Pi U
Dans la pratique on fait Oi C =It =-^ et dans ce cas (4) devient :
?. d'oùp=-^+p.
Pt 3
Mais p < Pi , pivr conséquent on a successivement:
Pi > p..> Y + P» ; P» < P.
Px ^2
— ., st UJ
D autre part, — =2Ii tg— -
Et portant dans cette équation là valeur de li tirée de (4)
c. à d., il = . (')j on obtient :
3t = 2 P'(P-,P^) tg^ (8) ,mais st ^ h JL^h^^P^ i (9)
P^ — P +P2 par conséquent :
2 Pi (p — Pz) ^ m ^^ P-Pi Pi — P + Pï 2 p.
d'où
tg
^.-Jlp. -P+P2
p. Pî
Nous avons trouvé D = (10) devient
2tg-^
