FRANGES DE LAMES MINCES EN LUMIÈRE NON PARALLÈLE

J'ai montré que si l’on concentre sur une surface déterminée le flux lumineux issu d’une source, en formant sur cette surface l’image de la source au moyen d’un système optique de deux lentilles, l’illumination produite était, en première approximation, fonction seulement de l’ouverture des pinceaux lumineux.

Lorsque la surface éclairée est une lame mince, à l’intérieur de laquelle se produisent des interférences, les incidences diverses des faisceaux élémentaires, qui constituent les cônes de lumière, superposent une série de systèmes de franges. Il en résulte, en chaque point, une intensité lumineuse parfaitement déterminée, fonction seulement de l’épaisseur de la lame et des éléments de définition des pinceaux.

La précision avec laquelle pourront être évaluées Îles variations d'épaisseur de la lame dépendra uniquement de celle avec laquelle on pourra repérer les positions successives d’une même intensité lumineuse, en un mot, de la précision des pointés sur les maxima ou les minima. La convergence de la lumière interviendra pour étaler ceux-ci en diminuant celle-là. On peut se rendre compte, de la façon suivante, de l'importance de ces effets.

Soit e l’épaisseur de la lame en un point A. Le cône de lumière qui tombe en À a pour base la dernière lentille du système optique d'éclairage. Désignons, comme plus haut, par « l'incidence axiale de ce pinceau et par e son demi-angle au sommet.

Du point À pris comme centre, je décris une sphère de

rayon 1. Soient Z et M les intersections respectives de cette sphère avec la normale en À et avec l'axe du pinceau. Celui-ci découpe sur la sphère une surface lumineuse S dont chaque élément d’aire ds rayonne vers le point À et sous une incidence 4 un flux lumineux.

(1) db = E ds.

Soit N le point figuratif de cet élément d’aire. Dans le triangle sphérique ZM N j'ai :

(2) cosÜ = cosy cosa + sing sinz cosy,

Fig. 44.

relation qui détermine 6 en fonction des coordonnées

‘ et Y d’un point de la surface lumineuse S. L'élément d’aire, avec ce système, est d'ailleurs :

ds = sing do dy. :

Le flux lumineux éclairant le point A est :

(3) &= ff Esine de dy.

On peut admettre qu’un flux lumineux élémentaire Edo, tombant en À avec une incidence 8, produit en ce point,

après interférence, un éclairement proportionnel à Eds et fonction de la différence de marche en A sous l’incidence 4, de la nature des surfaces interférentielles, ete.,

di = Ef(e, 0) do.

L’'éclairement total en A, somme des énergies lumineuses développées en ce point par les faisceaux élémentaires, sera

(4) 1= ff Ef(e,0) de.

Lorsqu'on connaît een fonction des coordonnées des divers points de la lame, la formule précédente exprime la distribution de l'intensité lumineuse à la surface de celle-ci.

S1 chaque point recevait le même flux lumineux ®, mais en lumière strictement parallèle, la distribution de lintensité lumineuse aurait la forme simple

(5) la= P f(e, à).

La précision d’un pointé sur un maximum ou sur un minimum dépend de la vitesse de variation de l'intensité lumineuse de part et d’autre de ceux-ci. La dérivée seconde de l'intensité peut donc, à défaut de la dérivée première qui est nulle, servir de mesure à la précision des pointés et l'influence de la convergence + pourra être définie par le coefficient :

o?1 mods RAI dec

1% Ja de? (pour de — o)

Tant que ce coefficient restera voisin de l'unité, la

(6) Ke

précision des mesures ne sera pas altérée par l'emploi d’une lumière non parallèle. Ces formules résolvent le problème dans sa généralité.

Pour poursuivre utilement la discussion, il est indis-

pensable d’en préciser les conditions particulières d’application. Je supposerai que les pinceaux lumineux peuvent être assimilés à des cônes dont le demi-angle au sommet e est petit et que l’intensité lumineuse est uniformément répartie à leur intérieur —E constant. Dans ces conditions, la surface lumineuse S est limitée par un cercle de rayon sphérique e. Je balaierai cette aire en attribuant à © et y des valeurs comprises entre les limites suivanLes :

DAPSCAM OS)

Le flux lumineux ® à pour valeur

27 e (D) = f dx. E sin de = 27E(1 — cose) = rEe?, 0 0 L’équation (5) s’écrit (8) = ÿf(e,a) = TrEf(e,a)e.

Comme on aura toujours p Le, [f—al<e,

je pourrai développer certaines fonctions suivant les puissances croissantes de © ou de (0 — x). En particulier, je pourrai mettre équation (3) sous la forme

Rose Jeu a) Fra te set AC SEEN

(9) Fee a)e?+E UE ee 2 L [for te

Le premier terme du second membre n’est autre, d’après l'équation (8), que l’intensité qui résulterait d’un éclairage en lumière strictement parallèle.

Les termes suivants définissent donc les effets de Ja convergence des pinceaux. On en déduit immédiatement les deux conclusions suivantes :

1° La distribution des intensités lumineuses à la surface de la lame est modifiée ;

2° Les maxima et les minima sont déplacés.

Le calcul du coefficient K exige l'intégration des divers termes de l'équation (9).

Dans le cas d’une incidence quelconque, sauf pour 3Zs< les calculs pourront être conduits de la façon suivante. L’équation (2) permet de calculer Ü et ses dérivées successives pour ® — 0.