EXEMPLE NUMÉRIQUE
Cet exemple a pour but de montrer, au moyen de données numériques, qu'un aéroplane peut à la fois s'élever et progresser contre le vent, pourvu que la vitesse du vent soit variable.
Pour plus de simplicité et pour nous placer dans les mêmes circonstances que celles qui ont trait à la figure 18, on supposera que l'air est alternativement en repos et en mouvement, chacun de ces états correspondant à une période de temps définie et la vitesse de l'air étant constante lorsque celui-ci est en mouvement; autrement dit, au lieu de supposer que la vitesse du vent varie d'une manière continue suivant une certaine loi, nous admettons que cette vitesse passe brusquement de la valeur zéro à une valeur finie, (de 12 mètres par seconde par exemple), qu'elle conserve pendant un certain temps, puis passe de nouveau brusquement de cette valeur finie à zéro, le calmç subsistant pendant quelques instants, pour faire place ensuite à un nouveau coup de vent, et ainsi de suite.
Si on laisse choir un aéroplane dans une atmosphère complètement calme, il peut arriver que l'aéroplane après être tombé d'une certaine hauteur remonte par suite de la résistance de Tair, qui croît avec la vitesse, mais même dans les circonstances les plus favorables, il ne pourra jamais revenir au même niveau que son point de départ, si sa vitesse initiale est nulle.
Afin de faire mieux ressortir l'effet des coups de vent successifs sur l'ascension de l'aéroplane, il est bon de rechercher d'abord jusqu'à quel niveau celui-ci pourrait remonter dans une atmosphère calme.
Données numériques : (Voir le texte se rapportant à la fig. 18).
Surface de l'aéroplane : A == 1 mètre carré.
Poids de l'aéroplane : mg = 2 kilogrammes.
Poids spécifique de l'air : S = 1,293.
Ces données ont été choisies de manière à correspondre à l'exemple men-
tioniié précédemment dans ce mémoire, et non de manière à donner les résultats les plus favorables.
L'angle a devant rester petit, nous lui assignerons comme limites: Oet 7°.
D'après les résultais expérimentaux représentés graphiquement (1), la constante h doit être prise égale à 3,322 pour représenter convenablement la fonction /(a) entre et 7 degrés. On a donc dans ces limites, /(a) = 3,322 a.
Dans l'équation a = —j, la constante c doit maintenant être choisie de
manière que l'angle a ne dépasse jamais 7 degrés. On verra que cette condition se trouve remplie en prenant c = 7,808.
On peut maintenant calculer K = et Ton trouve K = 16,769.
La vitesse initiale de l'aéroplane est nulle; comme a = "y^il en résulte
que l'angle a est infini au point de départ tandis qu'on a vu que les formules ne s'appliquent qu'au cas où a est plus petit que 7 degrés. Mais il sufïît, pour tourner cette difficulté, de supposer que l'aéroplane, maintenu verticalement, tombe sous l'influence de son poids jusqu'à ce qu'il ait acquis une vitesse finie; dans ces conditions, l'air n'oppose pas de résistance au mouvement de l'aéroplane et celui-ci tombe en ligne droite ; lorsque la vitesse acquise est suffisamment grande, l'aéroplane peut alors, sous l'influence de la main qui le guide, faire varier son angle d'inclinaison a de manière à satisfaire à la fois
à la relation a= r^ et à la condition a<7**. L'aéroplane suit alors une trajectoire que l'on peut déterminer au moyen des équations données plus haut; cette trajectoire s'infléchit vers le haut et en un certain point B' la tangente est verticale. Si maintenant l'aéroplane, toujours sous l'influence de la main qui le guide (2), est ramené à une position verticale, l'air n'offre plus de résistance puisque l'aéroplane se présente par la tranche, et ce dernier montera en ligne droite; comme d'autre part la vitesse en B' est connue on pourra facilement calculer la hauteur maxima pouvant être atteinte par l'aéroplane dans une atmosphère calme.
En résumé la trajectoire se compose de trois parties (fig. 21) : de A à A' l'aéroplane tombe en ligne droite et a = ;
de A' à B' l'aéroplane suit la courbe A'GB' et a = r^;
de B' à B l'aéroplane remonte en ligne droite et a = 0.
11 s'agit de trouver la position du point B relativement au point A.
1®) De A à A', l'aéroplane est sollicité uniquement par son poids; on a donc : -j- = g^ d'où V= ^/ et S = y gt"^. En éliminant ^ on a aussi : S =
Y — . Si l'on suppose que l'aéroplane tombe en ligne droite jusqu'à ce qu'il
acquierre une vitesse de 10 mètres à la seconde, on trouve :
AA' = 5ni 097465
Vitesse en A zz:
Vitesse en A' = 10™ par seconde.
(2) Les changements d'orientation de l'îiéroplnnc nécessitent une certaine dépense d'énergie, dont il n'est pas tenu compte ici, cette dépense étant très faible.
6= — ^ et, par suite : cos i == et
2**) De A' à B' les éléments de la trajecloire sont fournis par les équations établies précédemment, en introduisant les conditions initiales actuelles du
mouvement, qui sont : Vq = 10
sin b = — 1.
Pour trouver la vitesse au point C, le plus bas de la courbe, on posera g = dans l'équation (3), ce qui donne après avoir remplacé toutes les constantes par leur valeur numérique : Vc = 22™, 1607.
De même on trouvera la vitesse au point B', en posant g = -~ ce qui donne VBf = 8" 31924.
Nous avons dit plus haut qu'en prenant c = 7,808, l'angle a ne dépasse jamais 7 degrés ; en effet le maximum de a correspond au minimum de V
qui est 8™319, et est donné par la formule a == -û^ == "F^TôTi ^^^ 6^^^' environ, ce qui justifie la valeur attribuée arbitrairement à c.
Gomme K>G dans l'exemple numérique, l'ordonnée y s'obtiendra au moyen de la formule (4); ainsi pour trouver l'ordonnée du point C on remplacera, dans cette formule, V par 22,1607 et (3 par 0,* on trouve ainsi :
De même en posant dans la même formule V = 8,319 et (3= | on obtiendra pour ordonnée du point B'
Ces deux ordonnées sont relatives au point A' pris comme origine.
3*^) De B' à B, l'aéroplane est sollicité par son poids, lequel retarde son mouvement ascendant, on a donc :
^J^ = — g d'où v = VB.-ê^/ et ?,=y^a — \gr-
Au point B, V= 0, d'où ^^=VBf. Eliminant t entre cette équation et celle qui donne S, on trouve :
Rapprochant tous les résultats obtenus jusqu'ici, on a pour les différentes distances verticales parcourues :
