NOTIONS GENEBALES SUR LES CONGRUENCES. II

dans un plan quelconque. Le système des normales à l'ellipsoïde forme une congruence d'ordre 6 et de classe 2.

Sur chaque droite il j a, en général, deux points focaux réels ou imaginaires. Quand la droite se déplace, ces deux points focaux décrivent les deux nappes de la surface focale. Les droites de la congruence sont des tangentes doubles de cette surface focale, mais la réciproque n'est pas vraie, en général : toule tangente double de la surface focale n'est pas une droite de la congruence. Par exemple, la surface des centres de courbure de l'ellipsoïde admet bien comme tangentes doubles les normales de l'ellipsoïde-, mais elle admet aussi d'autres tangentes doubles qui ne font pas partie de la congruence des normales.

Soit (d) une droite quelconque de la congruence, touchant en M la première nappe et en M' la seconde nappe de la surface focale (F). Soient (P), (P') les plans tangents en M et M' à (F). Si Ton veut assembler les droites de la congruence de telle manière qu'elles aient une enveloppe, c'est-à-dire qu'elles engendrent une surface développable, les arêtes de rebroussement de toutes les développables ainsi obtenues devront, d'après les propositions générales établies précédemment, se trouver sur l'une ou l'autre des nappes de (F). 11 suit de là que la droite (d) fera partie de deux développables seulement, l'une avant son arête de rebroussement sur la première nappe et tangente en M à la droite {d), l'autre ayant son arête de rebroussement sur la seconde nappe et tangente à (d) en M', La détermination de ces deux séries de développables exigera d'ailleurs l'intégration de deux équations différentielles du premier ordre et du premier degré ou, ce qui revient au même, celle d'une équation du premier ordre et du second degré.

Toutes les surfaces réglées engendrées par des droites de la congruence et contenant la droite (d) seront tangentes les unes aux autres aux deux points focaux M et M'. Il faut cependant faire une remarque particulière relativement aux deux développables qui admettent (<^) pour génératrice. Celle, par exemple, qui a son arête de rebroussement passant en M et située sur la première nappe de la surface focale, admet en M', et par conséquent en tous les autres points de (d), le plan tangent en M' à seconde nappe de la surface focale. Ce plan n'est pas, il est vrai, tangent en M à la première nappe; mais cette exception au théorème général, qui se

présenterait aussi pour les congruences les plus générales, disparaît si l'on remarque que l'arête de rebroussement d'une surface développable est une ligne multiple en tous les points de laquelle le plan tangent doit être regardé comme indéterminé.

319. Désignons par les lettres (G), (C) les arêtes de rebroussement, situées respectivement sur la première et la seconde nappe, des deux séries de développables que nous venons de définir. Les premières développables, ayant pour arêtes de rebi'oussement les courbes (G), touchent la seconde nappe suivant des courbes (D'). Les secondes, ayant pour arêtes de rebroussement les courbes (G'), touchent de même la première nappe suivant des courbes (D). Il y a une relation géométrique à peu près évidente, mais très essentielle, entre les deux familles de courbes tracées sur la même nappe (G) et (D) ou (G') et (D'). Les tangentes aux différentes courbes (G) aux points où ces courbes rencontrent une même courbe (D) engendrent, par hypothèse, une surface développable ayant son arête de rebroussement sur la seconde nappe. Donc les courbes (G) et (D) forment un système conjugué sur la première nappe ; et, de même, les courbes (G') et (D') forment un système conjugué sur la seconde nappe. Ainsi :

Sur chaque nappe de la surface focale, les courbes correspondantes aux deux séries de développables forment un système conjugué. Les unes sont les arêtes de rebroussement de l'une des deux familles de développables ; les autres sont les courbes de contact des développables de l'autre série.

320. L'étude détaillée des relations précédentes est très féconde en conséquences et elle permet de résoudre différentes questions. Proposons-nous, par exemple, le problème suivant :

On considère sur une suif ace (S) une famille de courbes (G). Les tangentes à ces courbes forment une congruence dans laquelle on connaît déjà une des deux familles de développables, celles qui sont engendrées par les tangentes aux diverses courbes (G). On propose de définir les développables de l'autre famille.

NOTIONS GKNKRALES SLR LES CON G R L EN CES. l3

11 est clair, d'après ce qui précède, qu'il faudra associer aux courbes (C) leurs conjuguées (D) sur (S). Les tangentes aux courbes (C) en tous les points d'une courbe (D) engendreront les développables de la seconde famille. La détermination de ces développables exigera l'intégration d'une équation du premier ordre et du premier degré, celle des courbes (D).

La construction précédente montre immédiatement que, si les courbes (G) sont des lignes asvmptoliques, et seulement dans ce cas, elles coïncident avec les courbes (D). Ainsi les congruences dans lesquelles les deux points focaux sont constamment confondus, les deux nappes de la surface focale se réduisant à une seule (S), sont formées de l'un des deux systèmes de tangentes asymptotiques de (S). Ce résultat est en parfait accord avec celui qui a été démontré au n" 316.

321. Les propositions précédentes subissent des modifications qu'il est aisé de prévoir dans le cas où l'une ou l'autre des deux nappes de la surface focale se réduit à une courbe. Alors les développables qui avaient leur arête de rebroussement sur cette nappe se réduisent aux cônes engendrés par les droites de la congruence qui coupent en un même point la courbe à laquelle se réduit la nappe considérée.

Proposons-nous de déterminer, dans ce cas spécial, la second»' famille de développables de la congruence. Donnons-nous les équations de la courbe yocrt/<? sous la forme

les équations qui déterminent une droite de la congruence seront de la forme

X, Y, Z étant les coordonnées variables et u. une fonction de a et de ;; déterminée par la définition de la congruence. Pour obtenir les développables, nous exprimerons que la droite représentée par les équations précédentes est rencontrée par une droite infiniment voisine de la congruence; c'est-à-dire que nous associerons aux

l4 LlVIUi IV. — CH.VP. I.

deux équations précédentes les suivantes

dx -••- dXiJL z') \ dz — o, dy -r d\i.{JL — z) -- \i. dz --- o,

que l'on obtient en faisant varier infiniment peu \ et z. Si nous éliminons Z — z, nous obtiendrons l'équation différentielle

( dx — \ dz) d[). — { dy — \t.dz) d\ ^^ o,

dont l'intégration fera connaître les développables de la congruence. On aperçoit immédiatement une première solution

dx — dy - r/^ = o ;

elle correspond au cône formé par toutes les droites de la congruence qui passent au même point de la courbe focale. Si nous écartons cette solution évidente, et déjà signalée, et si nous remplaçons d\x par sa valeur -^-dz-\r -z- d\, nous serons conduits à •^ ' ' ^ ôz c'a '

l'équation différentielle du premier degré , , d\ (^-•^)^1

(lO) — z= ,

dont l'intégration paraît impossible dans le cas général.

Si l'on suppose que toutes les droites de la congruence qui passent au même point de la courbe focale y forment un plan, la seconde nappe de la surface focale sera évidemment la développable (A) enveloppe de ce plan. Dans ce cas, la relation entre ui, )v, z prendra la forme

;x = AX- B,

A et B étant des fonctions de :;, et l'équation (lo) se réduira à la

dl __ (l — x')(X'l-A-n') dz Ax' -h B — y'

qui est une équation de Riccati. Ainsi :

La détermination de toutes les courbes, tracées sur une développable (1), dont les tangentes vont rencontrer une courbe

NOTIONS GENERALES SIR LES CONGR lENCES. li

donnée quelconque (K), dépend de l'intégration d'une équation de Riccati.

Par conséquent, elle pourra être elTectuée (n*** 16 et 17) par 3 — n quadratures, dès que l'on connaîtra n courbes particulières donnant une solution du problème. Le lecteur fera de lui-même l'application au cas où la développable (A) est l'enveloppe des plans normaux à la courbe (R)- Les courbes cherchées deviennent alors les développées de (R); on peut d'ailleurs obtenir deux de ces courbes sans aucune intégration : ce sont les arêtes de rebroussement des deux nappes de la développable circonscrite à la courbe (R) et au cercle de linlini. Par suite, les développées les plus générales peuvent se déterminer par une simple quadrature, ce qui est conforme aux résultats du n" 12 [I, p. i8].

Si la courbe (R) est plane, son plan coupe (A) suivant une courbe plane dont les tangentes rencontrent (R); on connaîtra donc une solution du problème et, par suite, on obtiendra l'intégrale générale au moyen de deux quadratures.

Si, la courbe (R) étant quelconque, la développable (A) est un cône de sommet A, on connaîtra aussi une solution particulière fournie par le cône de sommet A, contenant la courbe (R). Ainsi on peut déterminer au moyen de deux quadratures seulement les courbes, tracées sur un cône quelconque, dont les tangentes vont rencontrer une courbe tout à fait arbitraire.

L'équation (lo) permet de reconnaître les cas dans lesquels les deux points focaux de chaque droite de la congruence sont confondus; pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que l'équation se réduise à •

dz = G,

c'est-à-dire que l'on ait

En intégrant, on a

h étant une fonction de c. L'interprétation géométrique de ce résultat conduit au théorème suivant, compris d'ailleurs comme cas particulier dans celui qui a été établi au n° 317.

Les droites qui rencontrent une courbe (C) et font partie

l6 LIVUK IV. — CUV P. 1.

d'une congruence n'ont leurs deux points focaux confondus que dans le cas où toutes celles cjui passent en un point de (C) y engendrent un plan tangent à, ((^).

322. Telles sont les propriétés les plus simples des systèmes de rayons reetilignes. On voit que, si un tel système est défini, il sera toujours possible d'obtenir par des calculs algébriques l'équation de la surface focale; mais la détermination des deux familles de développables dans lesquelles on peut distribuer toutes les droites exigera, en général, l'intégration de deux équations différentielles. L'intégration de ces équations différentielles entraînera la connaissance d'un système conjugué sur chacune des nappes de la surface focale.

Réciproquement, toutes les fois que l'on connaîtra sur une surface (S) un système formé de deux familles de courbes conjuguées

(C) et (D), on en déduira deux systèmes différents de rayons rectilignes pour lesquels on connaîtra les deux séries de développables. Considérons en effet les tangentes à toutes les courbes de l'une des familles, aux courbes (C) par exemple. Elles formeront une congruence pour laquelle les deux séries de développables seront connues : les unes seront formées parles tangentes en tous les points d'une même courbe (G), les autres par les tangentes aux différentes courbes (C) aux points où elles sont coupées par une même courbe (D) de la seconde famille. De là résulte cette nouvelle propriété :

Toutes les fois cjue l'on connattra^un système conjugué sur une surface (2), on pourra obtenir- une suite, en général illimitée, de surfaces sur lesquelles on connaîtra également ait système conjugué.

Conservons en effet les notations précédentes et soient (C) et

(D) les deux séries de courbes conjuguées tracées sur (S). Les tangentes aux courbes (C) forment une congruence dont la surface focale se compose de (S) et d'une autre surface (S,) qui, en général, ne se réduit ni à une courbe ni à une surface développable. Aux courbes (C) et (D) de (S) correspondent des courbes (D,) et (C,) de (S,) formant sur cette surface un réseau conjugué ;