LIVRE IV

Cette condition s'interprète aisément; elle exprime que les tangentes à toutes les eourbes de la congruence transformée qui coupent au même point l'axe des x sont dans un même plan passant par 0.r. En étendant cette conclusion à la congruence primitive, nous obtenons le résultat suivant :

Quand les courbes de la congruence rencontrent une courbe fixe (iv), les points cV intersection sont des points focaux simples, à moi/is que les tangentes à toutes les courbes de la congruence qui passent en un point quelconque de (K) ne soient toutes situées dans un plan passant par la tangente en ce point à la courbe (K).

Si l'on étend ce mode de recherches au cas où toutes les courbes de la congruence passent par un point fixe, on démontrera de même que ce point fixe, qui tient lieu, comme nous l'avons vu, de deux points focaux au moins, ne pourra avoir un ordre de multiplicité supérieur que si les tangentes menées en ce point à toutes les courbes de la congruence forment un cône, d'ailleurs quelconque, au lieu de remplir l'espace. Nous laisserons également au lecteur le soin d'établir, par une simple application des méthodes précédentes, une élégante proposition qui nous a été communiquée par M. G. Kœnigs :

Si une congruence est telle cfue chacune des courbes qui la composent soit rencontrée par toutes les courbes infiniment voisines de la congruence, les différentes courbes de la congruence sont tangentes à une ou à plusieurs courbes fixes ou bien elles passent par un ou plusieurs points fixes ( ' j.

318. Appliquons les propositions précédentes aux congruences de droites ou systèmes de rayons rectilignes. Le nombre des droites de la congruence qui passent par un point quelconque de l'espace a reçu dans ce cas le nom à^ ordre de la congruence; on appelle classe de la congruence le nombre des droites qui sont

(') On laisse de côté le cas exceptionnel où toutes les courbes de la congruence seraient tracées sur une même surface et où, par suite, tous leurs points satisferaient à la définition des points focaux.