NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES CONGRIENCES. I

et les droites de la congruence considérée sont tangentes aux courbes (C,). Construisons maintenant les tangentes aux courbes (D,)de(I,); elles touchent en même temps que (I,) une autre surface (So) dont la relation à (S,) sera la même que celle de (S,) à (S). On pourra continuer indéfiniment ces opérations tant que l'on ne parviendra pas à une surface qui dégénère en une courbe ou en une développable, et l'on obtiendra ainsi une suite de surfaces

que l'on pourra, en général, prolonger indéfiniment.

Revenons maintenant à la surface (S). Si, au lieu des tangentes aux courbes (C), on mène les tangentes aux courbes (D), en opérant comme nous venons de l'indiquer, on obtiendra une série de surfaces

qui ne se terminera pas, en général. Si l'on réunit les deux séries pour en former une suite unique

.... (!,), (S-,). (V), rv ), (v^), ...,

chacune des surfaces obtenues se déduira de la suivante ou de la précédente par une construction uniforme, et l'on connaîtra sur chacune d'entre elles un système conjugué correspondant au système primitif de (S):

Ainsi, toutes les fois que l'on aura intégré les équations différentielles qui déterminent les développables formées avec les droites d'une congruence donnée, la méthode précédente fournira une série de congruences nouvelles dont les développables se détermineront sans nouvelle intégration. Ajoutons même que, pour définir toutes ces congruences, il ne sera nullement nécessaire d'avoir trouvé les développables de la première. Car, si M désigne un point quelconque de la surface (2) et M/ la droite de la congruence tangente en M à (2), on peut toujours construire la tangente conjuguée de celte droite et définir, par conséquent, la congruence nouvelle qui doit succéder à la précédente.

323. Nous allons chercher la traduction analvtique des opérations géométriques qui précèdent. Pour cela nous emploierons D. — II. o

i8 Lrvni: I V. — ciiap. i.

les coordonnées homogènes; nous désignerons par ^, jk, z, i les coordonnées d'un point quelconque de (S) et nous prendrons pour variables indépendantes les paramètres p, p) des deux familles de courbes conjuguées (C) et (D). INous savons (n° 98), [I, p. 122] que X, JK, -3, t sont quatre solutions particulières d'une équation linéaire de la forme

(il) y-T r-a—^ft- uc0=O.

âp opi dp âpi

Considérons la congruence formée par les tangentes aux courbes (C); ces tangentes à (S) vont toucher une autre surface (2() qu'il s'agit de définir analytiquement. Pour cela nous prendrons un point quelconque M.(x.,y, -S, t) sur (S). Il passe en ce point une courbe (G); on définira un point quelconque P de la droite M^ tangente en M à cette courbe par les formules

(il) \~Ax-i--—-, Y — Ar-i--— , Z = Az-^-—, T = Xt -{--—, àpi Opi opi dpi

OÙ \ désigne une arbitraire dont la variation donnerait tous les points de cette tangente. Pour déterminer )., il faut exprimer que le point P décrit une courbe tangente à la droite M^ sur laquelle il se trouve, quand le point M se déplace sur la courbe (D), c'està-dire lorsque le paramètre p varie seul. Cette condition se traduit par des équations telles que les suivantes

où p el q sont des indéterminées pouvant recevoir des valeurs quelconques. Considérons seulement l'équation relative à X et

remplaçons-y -r- par sa valeur tirée de la première équation (12) :

nous aurons

âX ^ d.r d'^x d.T

x— -^k-- ^ =px-^-q —-,

dp dp dp dpi dpi

ou, en substituant à sa valeur tirée de l'équation (i i),

/dl \ àx . , dx

Cette équation doit subsister quand on y remplace x par y, Zj

-rp^p""

dp '