OU 0V

quel on peut ramener tous ceux où la fonction contient plusieurs constantes ou une fonction arbitraire), on pourra, par de simples dérivations, obtenir a- et 9| et, par suite, les équations finies

des lignes géodésiques qui sont les trajectoires orthogonales des courbes & = const.

Reprenons, en effet, Tidentité

Cette équation a lieu entre cinq variables : u, t\ du, dv et la constante arbitraire qui entre dans 9 et que nous désignerons par a. Différentions par rapport à « en traitant les quatre autres variables comme des constantes. La différentielle de ^

deviendra

rfO = — du— —dv du dv

du -^ T — — dv — d-— y

da du da dv da

et l'on aura un résultat analogue pour 9,. Nous aurons donc, puisque ds- ne contient pas a,

L'équation précédente nous montre que c?9,, fonction linéaire de du, dv, doit diviser soit c^, soit d[-^j ■ Or rfQ, ne peut diviser c?8, car alors 9, serait fonction de Ô. Ilfaut donc que û?Q, divisée?^; 0, est une fonction de ^5 et l'on peut prendre, par conséquent,

dfi

da

Avant de déduire d'autres conséquences de r4quation(7), nous allons nous arrêter à ce premier résultat. Nous voyons que les lignes géodésiques qui coupent à angle droit les courbes 0 ^= const. ont pour équation

(8) — =const. = a,

et de plus leur arc, compté à partir de l'une de leurs trajectoires, est précisément égal à H.

L'équation (8) contient deux constantes arbitraires dont on pourra disposer de manière à faire passer la ligne géodésique par

un point quelconque et à lui donner en ce point une tangente quelconque. Pour établir en toute rigueur ce point essentiel, nous montrerons qu'on peut faire passer une des courbes

G = const.

par un point quelconque (mqi ^'0) et lui donner en ce point une tangente déterminée.

Remarquons d'abord que le rapport

au ' ôv

ne saurait être indépendant de a. En effet, s'il en était ainsi, si l'on avait

du dv' '

enjoignant cette équation à la suivante