AO
on pourrait déterminer des valeurs de -—> — qui seraient, 1 une et
'^ au ôv '^
l'autre, indépendantes de «, ce qui est contraire à l'hypothèse. Cela posé, considérons la courbe (8) définie par l'équation
Elle passe évidemment par le point (?^o, t^o)? et la direction de
sa tan":cntc en ce point dépend du rapport -- ! t — L-omme ce
" ^ ^ ^^ OU^ OV(i
rapport n'est pas indépendant de a, il pourra prendre toutes les valeurs possibles. Ainsi les courbes 9 = const. peuvent passer en un point quelconque de la surface et y admettre une tangente quelconque; il en sera donc de même des lignes géodésiques représentées par l'équation (8), qui sont leurs trajectoires orthogonales. Comme une ligne géodésique est déterminée par la condition de passer en un point et d'y admettre une tangente donnée, nous pouvons dire que l'équation (8) représente toutes les lignes géodésiques et énoncer le théorème suivant :
Pour déterminer les lignes géodésiques, on considère V équation aux dérivées partielles
Ae = I.
Toute solution de cette équation, égalée à une constante, déterminera une famille de courbes parallèles.
Si l'on a une solution cotnenant une constante arbitraire a, l'équation de la ligne géodésique la plus générale sera
ôa
et Varc compris entre deux points de cette ligne géodésique sera égal à la différence des valeurs de 6 relatives à ces deux points.
Réciproquement, supposons que l'on ait déterminé par un procédé quelconque les lignes géodésiques ; nous allons montrer qu on saura intégrer l'équation
AO=i.
Cherchons, par exemple, la solution Ô de cette équation qui est égale à zéro en tous les points d'une courbe (G) donnée à l'avance. On construira toutes les lignes géodésiques normales à (C). L'arc de Tune de ces lignes, compté à partir de (G), sera une fonction des coordonnées de son extrémité que l'on obtiendra par une quadrature et qui sera la solution cherchée. Gette remarque, convenablement étendue, est très importante pour la théorie des équations aux dérivées partielles; ici, du moins, elle nous permet de reconnaître que la méthode de recherche des lignes géodésiques instituée par le théorème précédent n'introduit aucune difficulté étrangère à la question.
533. Nous signalerons en premier lieu les conséquences suivantes de la théorie générale que nous venons de développer. Imaginons que l'on connaisse une équation différentielle
(9) rfii =*'=?("'*''''
dont toutes les intégrales particulières soient des lignes géodésiques et cherchons l'équation différentielle de leurs trajectoires orthogonales. En appliquant la formule
E duou-i- F (du ov -^ dv ou) ^ G dv ov = o.
43o LIVRE V. — CHAP. V.
qui exprime l'orthogonalité de deux directions, on obtiendra l'équation cherchée sous la forme
(lo) {E-}-Fv')du-^{F-hGv')dç ^-o,
v' devant être remplacé par sa valeur tirée de l'équation (9).
Or on sait que l'on peut trouver un facteur \ tel que le produit
soit la différentielle d'une fonction Q satisfaisant à l'équation
AO = I
Si donc on pose
ou ^ ' di> ^ '
et si l'on exprime que l'équation aux dérivées partielles précédentes est vérifiée, on obtiendra la valeur de \ qui est
v/E + aFo'-f-Gt''^
On peut donc énoncer le théorème suivant, qui a d'ailleurs été établi sous une autre forme au n° 523.
Si V équation différentielle
représente des lignes géodésiques, l'expression
{E-\-¥v') du-^{F -+- Qv')dv
\/Eh-2Fp'+Gp'2
est la différentielle exacte d'une fonction 0; l'équation
0 = const.
représente les trajectoires orthogonales des lignes géodésiques satisfaisant à V équation différentielle proposée, et 8 désigne la distance géodésique d'un point ciuelconque de la surface à l'une de ces trajectoires orthogonales.
Cette proposition va nous conduire à un beau théorème de Jacobi :
LES FAMILLES DE COURBES PARALLÈLES. 43l
Si l'on connaît une intégrale première de V équation différentielle des lignes géodésiques, on pourra obtenir V équation en termes finis de ces lignes par une simple quadrature.
Soit, en effet, (il) v'=o(u,v,a)
rintégrale première, contenant la constante a. La fonction
(E -^ Fp') rfM — ( F -f- Gv') dv
qui, d'après ce que nous venons de démontrer, satisfait à l'équation AÔ = I, contiendra la constante arbitraire a. Donc l'équation des lignes géodésiques sera
^ da
En prenant la dérivée par rapport à a sous le signe d'intégration, on trouve
(i3) 5^= / 3(rfp-p'tfa),
J (E — 2F(''-^Gp")*
ce qui permet d'énoncer le théorème suivant :
Quand on aura obtenu, par un moyen quelconque, une in tégra le preni ière
de l'équation des lignes géodésiques, on en déterminera immédiatement un facteur; de sorte que
(EG-F*)^' , {dv — v' du)
(E^2Ft'-:-Gi''-)*
sera une différentielle exacte après que Von aura remplacé c' par sa valeur z>\^u^ r, a).
534. Nous allons maintenant indiquer quelques conséquences moins importantes des résultats obtenus et, en particu-
pp H . nar
da
lier, de l'équation ('y). Si l'on y remplace 9, par — et si l'on
divise par <i9^, elle prend la forme
oa aa aa^
Cette relation devant avoir lieu pour toutes les valeurs de du et
de dv, on peut y remplacer du, dv respectivement par - — — -,
— ; si l'on désigne, pour abréger, par (a, ^) le déterminant
fonctionnel
du dv dv du de deux fonctions quelconques a, [i, on aura
et, par suite,
■\ ' àa / \ da^ ' da /
' da
dQ d-^b\ [dâ' dâ^)
L'expression de l'élément linéaire deviendra donc
/'fi ^\
da da-
et, sous cette forme nouvelle, il ne reste aucune tracede V expression primitive de cet élément; la formule ne contient cjue^ et ses dérivées.
Nous signalerons également les formules
da (.7) ,'(e,^^)'=EG-F',
que l'on déduira aisément des relations (2); mais elles se distinguent de la précédente en ce qu'elles contiennent à la fois les coefficients E, F, G et les dérivées de 9.
La combinaison des formules (i 4) et (17) nous donne la relation
nouvelle
le,
\da' da-
et, si l'on prend la dérivée logarithmique des deux membres par rapport à a, on obtient l'équation
qui ne contient plus E, F, G. Cette relation, à laquelle on pourrait parvenir de différentes manières, doit être regardée comme une équation aux dérivées partielles du troisième ordre à laquelle doit satisfaire 9, considérée comme fonction des variables u, v et a. Son intégration complète ferait donc connaître toutes les surfaces sur lesquelles on saura déterminer les lignes géodésiques.
