CHAPITRE Y

Méthode générale de recherche des lignes géodésiques. — Définition du paramètre différentiel A9. — Toute fonction dont le paramètre est égal à i fait connaître une famille de courbes parallèles. — Lorsque cette fonction contient une constante arbitraire, on peut déterminer les lignes géodésiques de la surface. — Proposition réciproque; lorsqu'on connaît les lignes géodésiques, on peut intégrer, par une simple quadrature, l'équation A9 = i. — Théorème de Jacobi : Lorsqu'on a obtenu une intégrale première de l'équation diiïérentielle du second ordre des lignes géodésiques, on peut toujours déterminer un facteur de cette intégrale. — Conséquences diverses. — Expression de l'élément linéaire de la surface au moyen de la fonction 9 et de ses dérivées par rapport à la constante arbitraire a. — Équation du troisième ordre à laquelle satisfait la fonction 9. — Indication d'une autre méthode permettant d'établir les résultats précédents. — Distance géodésique de deux points. — Propositions relatives à cette distance.

531. Les propositions établies dans le Chapitre précédent conduisent à une méthode élégante de recherche des lignes géodésiques, que nous allons exposer avec tous les détails nécessaires.

Considérons une géodésique quelconque de la surface; on peut évidemment lui associer une infinité d'autres géodésiques, par exemple toutes celles qui passent en un de ses points, et constituer avec les trajectoires orthogonales de ces lignes un système de coordonnées curvilignes pour lequel l'élément linéaire prendra la forme

On sera donc assuré d'obtenir toutes les lignes géodésiques si l'on sait résoudre dans toute sa généralité le problème d'Analyse suivant :

Etant donné l'élément linéaire d' une surf ace sous sa forme la plus générale

ds^ = E diû -\- iF du dv -i- G dv"^,

déterminer trois fonctions ^. 7,^, de ii et de v, telles que l'on ait identiquement

( ,) E ^«* — 2 F du dv — G dv-^ = dV- — j* f/0 J .

Cette équation se décompose évidemment dans les trois suivantes :

<je ae ^ ^ ^ ae,

~~ du dv du dv

entre lesquelles on pourra éliminer a- — î^ et 3- -— ^ • On est ainsi conduit à la relation

que l'on obtiendrait d'ailleurs immédiatement en écrivant que le polynôme homogène en du, dv

dsi — ^î est un carré parfait. Si l'on pose, pour abréger,

. \du ! du dv ^ dv j

l'équation (3) pourra s'écrire encore

(5) Ae = i.

Nous rencontrerons fréquemment dans la suite la fonction A9, à laquelle nous donnerons, avec M. Beltrami, le nom de paramètre différentiel du premier ordre de 0.

Réciproquement, il est aisé de démontrer qu'à toute solution de l'équation (5) correspond une famille de courbes parallèles, c'est-à-dire de courbes dont les trajectoires orthogonales sont des lignes géodésiques.

En effet, l'équation (5) exprime, nous l'avons vu, que ds- — d^estun carré parfait; on aura donc, quelles que soient les diffe-

4^6 LIVRE V. — CIIAP. V.

rentielles du^ dv,

ds^- — d^^ = {m du ~ n dvf,

m et n étant des fonctions de u et de t^. Or on peut toujours ramener la fonction linéaire mdii-\-iidv à la forme ar/O,. On aura donc

9, sera d'ailleurs une fonction distincte de 9, car autrement ds^ serait un carré parfait. Notre proposition réciproque est donc établie, et toute solution de l'équation (5) nous donne une famille de courbes parallèles.

532. Cette équation (5) a, comme on sait, des solutions d'espèces très différentes. On peut en trouver qui ne contiennent aucune constante arbitraire; d'autres qui contiennent une ou plusieurs constantes arbitraires, ou même une fonction arbitraire. Au point de vue de la question qui nous occupe, il est essentiel de considérer successivement ces diverses solutions.

Si l'on a obtenu une solution de l'équation (5) ne contenant aucune arbitraire, l'application de la méthode précédente, qui prescrit de mettre la différentielle mdu-\-ndv sous la forme <7<i9,, exige l'intégration de l'équation

(6) m du -^ n dv = o,

qui est celle des lignes géodésiques trajectoires orthogonales des courbes 9 =: const. On ne connaît aucune proposition qui permette d'effectuer l'intégration de cette équation ou qui la rende plus facile.

Supposons, au contraire, que l'on ait obtenu une solution de l'équation aux dérivées partielles (5) contenant une constante autre que celle qui peut toujours être réunie à 9 par addition, constante qui devra figurer par conséquent dans l'une au moins

des deux dérivées -^ ^ — Nous allons voir que, dans ce cas (au-