Supposons l'élément linéaire de la surface exprimé en

fonction des variables 0 et 9, = — • Nous avons vu (n" o24) que

l'expression de la courbure totale sera donnée par la formule de Gauss

RK' ^ ~ dp ■

Dans l'élude approfondie du plus court chemin entre deux points d'une surface, nous aurons à considérer l'équation différentielle du second ordre

La formule, précédente nous fait connaître une première intégrale particulière

de cette équation. Une autre intégrale sera donc donnée par la formule

où l'on effectue la quadrature en supposant 9| constant. On aura D. - II. 28

434 LIVRE V. — CIIAP. V.

donc

-T— du -\ — r- dv = 0\ ou ov

si l'on remplace, dans l'expression (i4) de i^ -^ ^ —^ par les quantités proportionnelles — dv, dii^ il vient

ai = —

et, par suite,

rdh r ,d^() à^-^

La deuxième intégrale de l'équation linéaire (20) sera donc

comme on peut le vérifier directement.

536. Les propositions que nous venons d'établir ont été obtenues par la considération des systèmes orthogonaux formés avec une famille de lignes géodésiques. En terminant ce Chapitre, nous indiquerons rapidement une méthode toute différente, qui repose sur le calcul des variations et qui offre l'avantage de bien mettre en évidence un élément très important dans la théorie des lignes géodésiques.

Considérons un segment de ligne géodésique terminé à deux points M, Mo- Si les coordonnées u et v d'un point quelconque de ce segment sont exprimées en fonction d'une autre variable t, la longueur 9 de ce segment sera donnée par la formule

f \/Eu'^-h'iFu'v'-^Gv'^ dt,

u' et v' désignant les dérivées de u et de ç.

Si les points M, Mq se déplacent en décrivant des courbes quelconques, l'application des méthodes du calcul des variations nous donnera immédiatement la variation de 6 par la formule

^„ r(Ett'H-Fp')SM-t-(FM' + Gp')o^1"

(22) oO = , == '

L vEu'^ -+- 'iFu'v' -i- Gv'^ JMo

la notation précédente indiquant qu'il faut prendre la différence des valeurs de l'expression pour les points M et Mo- D'après la relation (lo), déjà donnée [I, p. i54], on peut écrire la valeur de 9 sous la forme

(23) 08 = [o*cos(rf*, 0*)]'',

et l'on retrouve ainsi, par une voie entièrement analytique, la relation déjà établie au n" o2o. Mais nous allons enN-isager d'autres conséquences de l'équation (22).

Soient M, (•; u^, i'o les coordonnées des points M, Mo. La valeur de 6 peut évidemment s'exprimer en fonction de m, s;, Moj ^0 ; ce sera même, d'après les résultats du n" 0I8, une fonction parfaitement déterminée de ces quatre variables tant que les points M et M,, seront suffisamment voisins, si l'on convient de prendre la ligne géodésique la plus courte réunissant les deux points. Nous désignerons dans la suite cette fonction h sous le nom de distance géodésique des deux points M, M^.

Or, si l'on désigne par £„, Fo, Go les valeurs de £, F, G au point Mo, c'est-à-dire pour u = Uo, v = Pq, la formule (22) peut être écrite comme il suit :

( Eo «0 -4- Fq t>'o ) G«o -4- ( Fq u'o -h Gq p'o ) CVq

V Eo «o" — "i Fo «0 *-'o -^ Go Vo'

et elle nous donne, par conséquent, les quatre équations

— = Ea^^Fi>' ^^^ pd^

— = Fu'^Gv' -Y— —G — ^^ /Ett--^2FaV'-rG4^'- ~ ds ds" <W Eott'o H- FoP'o

H"» V^Eo«o^-.-.Foa>; + GoV ^'^^^'^^ ''"(^)o'

1^^ FoMq + GoPq ^ ^ /du\ ^ /dv\

! '^''o /Eotto' + ^Foa'o^-o-^Gov'o* '[ds/o "U*/o'

d'où l'on déduit immédiatement, en éliminant «', v' et a'^, v' les

deux équations