Une fois obtenue l'équation

(•>.8) AO = i,

on pourra traiter le problème des lignes géodésiques comme tout autre problème de Mécanique et lui appliquer, sans aucune modification, les méthodes d'Hamilton et de Jacobi. On retrouvera ainsi tous les résultats précédents. Nous étudierons d'une manière approfondie, dans les Chapitres suivants, les relations qui se présentent ici entre la théorie des lignes géodésiques et les méthodes de la Mécanique analytique; et nous nous contenterons maintenant d'indiquer comment on détermine la distance géodésique lorsqu'on connaît une intégrale complète, d'ailleurs quelconque, de l'équation aux dérivées partielles (28).

Soit

cette solution. Les lignes géodésiques de la surface qui passent par le point (wq, ^'o) seront déterminées par l'équation

et leur arc compris entre les points («o, ^^o), («, ^) aura pour ex-

pression (n° 532)

Il suffira de porter dans cette expression la valeur de a tirée de l'équation (29) pour obtenir la distance géodésique cherchée. Ainsi :

Lorsqu'on connaîtra une intégrale avec constante

de V équation

AO = I

la distance géodésique des deux points (u, v), {uo, t^o) s'obtiendra en éliminant a entre l'équation

8 = f(u,v,a)—/(uo,Vo,a) et sa dérivée par rapport à a.

Cette proposition pourrait aussi être établie par la Géométrie ; car la règle qui y est indiquée revient à prendre l'enveloppe de toutes les courbes parallèles

/(a, r, a) = const.

qui passent à une même distance h du point (uo, Vq).

438 LIVRE V. — CIIAP. VI.