CHAPITRE YI
ANALOGIES ENTRE LA DYNAMIQUE DES MOUVEMENTS DANS LE PLAN ET LA THÉORIE DES LIGNES GÉODÉSIQUES.
Équations du mouvement dans le plan. — Définition d'une famille de trajectoires. — Equation aux dérivées partielles de Jacobi. — Usage que l'on peut faire d'une solution particulière, d'une solution complète. — Théorèmes fondamentaux de Jacobi. — Détermination des solutions de l'équation aux dérivées partielles par différentes conditions initiales. — Des systèmes orthogonaux formés avec une famille de trajectoires. — Application au mouvement des corps pesants. — Théorème de MM. Thomson et Tait. — Principe de la moindre action pour le cas des mouvements plans. — Principe d'Hamilton. — Correspondance établie entre le plan et une surface de telle manière que les trajectoires du mobile dans le plan correspondent à des lignes géodésiques de la surface. — La solution de tout problème de Mécanique fait connaître une infinité de systèmes orthogonaux dans le plan. — Brachistochrones. — Quelques résultats généraux relatifs aux cas où l'on associe des trajectoires qui ne correspondent pas à une môme valeur de la constante des forces vives. — Généralisation de ces résultats et application à la théorie des surfaces minima.
538. Dans les deux Chapitres précédents, nous avons établi un ensemble de propriétés des lignes géodésiques. Nous les avons définies d'abord par la propriété de leur plan osculateur, ce qui revient à les considérer comme les trajectoires d'un point qui se meut sur la surface sans être soumis à l'action d'aucune force; puis, par des considérations entièrement élémentaires, nous avons rattaché à cette définition les propriétés d'orthogonalité et de minimum. Il nous a paru intéressant d'appliquer la même méthode à l'étude de tous les problèmes de Mécanique dans lesquels il existe une fonction des forces. Pour mettre en évidence la simplicité des raisonnements, nous commencerons par les mouvements qui s'effectuent dans un plan.
On a alors les équations
dont la dernière est l'intégrale des forces vives. Si nous regardons ta constante des forces vues comme donnée, les intégrales des équations précédentes admettent seulement deux constantes arbitraires, en dehors de celle que l'on peut ajouter au temps. En d'autres termes, la trajectoire du point matériel sera déterminée par la condition de passer par un point et d'y avoir une tangente donnée. En effet, si l'on compte le temps à partir du moment où le mobile passe en ce point, la condition énoncée
détermine les valeurs initiales de x, y, ~; et, comme l'équation des forces vives donne les valeurs de ^ , di ^^ fonction de ^» on peut calculer les valeurs initiales de ^j ^ • Le mouvement est donc complètement détermine. Kemarquons que i on a pour^,
— deux svstèmes de valeurs égales et de signes contraires, qui
dt "
correspondent à la même trajectoire, parcourue dans les deux sens. On peut, du reste, obtenir par un calcul facile Féquation différentielle des trajectoires. On trouve, en effet, en combinant les équations (i),
dxd^-y-dyd*-x = (^^da:-^^ dyj dfl,
et, en remplaçant dt- par sa valeur tirée de l'équation des forces vives,
(3) dxd^y-djrd^-ar^i^-dx-^djrj-^^^—^.
Cette relation ne change pas de forme, on le reconnaît aisément, quand le temps cesse d'être la variable indépendante; elle constitue donc l'équation différentielle des trajectoires qui correspondent à une valeur donnée de la constante des forces vives. Comme elle est du second ordre, on voit que les trajectoires dépendront de deux constantes seulement; mais elle est de plus linéaire par rapport aux différentielles du second ordre et, par conséquent, une trajectoire sera pleinement déterminée par la condition de passer en un point et d'y avoir une tangente donnée.
Parmi tous les mouvements correspondants à une même valeur de /i, considérons tous ceux dont les trajectoires satisfont à une
440 LIVRE V. — CIIAP. VI.
condition, par exemple passent par un point, sont normales à une courbe, etc. Ces trajectoires formeront une famille de courbes qui dépendra d'un seul paramètre; il en passera un nombre limité par chaque point du plan. Soit
M dx -^-1^ dy = o
l'équation différentielle de cette famille de courbes. En tenant compte de l'équation des forces vives, on pourra exprimer -y-, -Jen fonction de ^ et de jk; on aura
dx dy dt\Ji{\} -f- h)
On peut donc considérer -t-> -4t comme des fonctions de x et
dejK- En les substituant dans les équations (i) et (2) et en les désignant, pour abréger, par x^ e^y', on aura
dx' dU dt dx
dy' dU ^ dt ~ dy'
ou, en remarquant que x' , y' sont exprimées en fonction de ^ et de j.
dx' , dx' , dU
dx dy dx
dy' , dv' , dV
dx dy "^ dy
L'équation (4) nous fournit, par la différentiation, les valeurs
, d\J d\] suivantes de -r— » 3—
dx dy
,dx'
, ,ày'
dV , dx'
,dv'
dy ~^ dy'
Si nous portons ces valeurs dans les équations (5), nous aurons
, / dx ày' \ , / dx' dy' \
\dy dx J ' \dy dx J
Ces deux équations, qui se ramènent l'une à l'autre, expriment que oc', y, considérées comme fonctions de x et dejK, sont les dé-
LES MOUVEMENTS DANS LE PLAN. 44l
rivées d'une même fonction. On peut donc poser et 9 devra satisfaire à Vunique équation
Les équations (6) nous montrent que les trajectoires du mobile coupent à angle droit toutes les courbes 9 = const. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Etant donnée une famille quelconque de trajectoires du mobile, les courbes qui les coupent à angle droit sont définies en égalant à une constante une solution de l'équation {']) et les composantes de la vitesse du mobile sont données en chaque point par les formules (6).
Réciproquement, toute solution de l'équation (-) définit une famille de trajectoires qu'on obtiendra par l'intégration de l'équation
539. Si l'on n'a qu'une solution particulière, sans constante arbitraire, de l'équation aux dérivées partielles, on n'obtiendra qu'une famille de trajectoires. Pour trouver toutes les trajectoires du mobile, il faut donc connaître une solution 0 contenant au moins une constante arbitraire. Nous allons montrer ici encore qu'étant donnée une telle solution il n'y aura aucune intégration à faire pour obtenir toutes les trajectoires.
Soit, en effet,
une solution de l'équation (-), contenant une constante arbitraire a qui figure dans l'une au moins des deux dérivées y t-* On aura, en différentiant l'équation (^) par rapport à a,
dx dadx dy da dy
Cette équation exprime que les courbes
dû 0 = const., -r- = const.
oa
se coupent à angle droit. Donc les trajectoires du mobile auront pour équation
(lo) - = a.
On le verrait encore en remarquant que l'identité (9) peut aussi s'écrire
d'-Q dx dn dy d /dO\
da dx dt da dy dt dt \da j
Différentions maintenant l'équation (y) par rapport à A, nous aurons
dh dx dx dh dy dy '
OU encore, en vertu des équations (6),
d''-û dx d^û dy
dh dx dt dh ôy dt
L'intégration des deux membres nous donne
(II) ^=^ + ^'
T désignant une constante arbitraire. On reconnaît les propositions fondamentales de Jacobi.
En résumé, si l'on veut déterminer le mouvement défini par
les équations
d'^x dVi d'-y d\]
dt'^ dx dt'^ dy
on considérera l'équation aux dérivées partielles
(dûy /dû Y ^^ ,
Toute intégrale de cette équation, égalée à une constante, donnera une famille de courbes dont les trajectoires orthogonales seront des trajectoires du mobile correspondantes à la valeur h de la constante des forces vives, et que l'on obtiendra en intégrant
les deux équations
dx d<i dy (?9
'dt ~ dx' dt ~ dy'
Mais, si l'on connaît une intégrale de Téquation aux dérivées partielles contenant une constante «, on aura les équations finies de la trajectoire et le temps par les formules
^ ' ^ da ' dh
On obtient ainsi l'interprétation géométrique de la méthode de Jacobi. Elle consiste à former des systèmes orthogonaux dont une des familles est composée de différentes trajectoires du mobile, correspondantes toutes à la même valeur de la constante des forces vives.
340. Nous voyons, d'après ce qui précède, que lorsqu'on aura trouvé une solution, contenant une constante arbitraire, de l'équation aux dérivées partielles en 6, on pourra obtenir la solution complète du problème de Mécanique considéré. Réciproquement, si l'on a obtenu par un moyen quelconque les équations en termes finis de toutes les trajectoires correspondantes à une valeur déterminée de /i, on peut montrer que toutes les solutions de l'équation aux dérivées partielles s'obtiendront par une simple quadrature. Cherchons, par exemple, celle de ces solutions qui s'annule sur une courbe (C) donnée à l'avance. Nous déterminerons toutes les trajectoires du mobile qui sont normales à la courbe (C) et nous exprimerons x' , y' en fonction de x et de j'. L'expression
x' dx -4- y dy
sera, nous l'avons vu, la difierentielle exacte d'une fonction de deux variables et la fonction
(12) . ^^/ i^x'dx-^y'dy).
où Xo, J'o désignent les coordonnées d'un point quelconque de la courbe (C), sera éWdemment la solution cherchée. Comme on peut prendre pour a?', y deux systèmes de valeurs égales et de
signes contraires, on aura deux valeurs de 9 ne différant que par le signe.
On sait que l'on peut, d'une infinité de manières, ramener l'intégration d'une différentielle à plusieurs variables à celle d'une différentielle ordinaire. Appliquons ici cette remarque. Supposons que l'on se déplace sur la trajectoire normale à la courbe (G) passant par le point (x^y); dans ce cas, Xq^ y^ seront les coordonnées du point de départ de cette trajectoire; on aura
x' dx -T- y dy = {^x"'- -\- y"'- ) dt ^= 2 ( U + /i ) dt.
Calculons l'intégrale
2{\J -h h)dt,
en remplaçant x et y en fonction de t. Le résultat sera une fonction de t et du paramètre qui fixe la position du point {xq, y^) sur la courbe (G). Il suffira de l'exprimer en fonction de x et de y seulement pour obtenir la fonction 0. Si l'on suppose que la courbe (G) diminue indéfiniment et se réduise à un point, cette seconde méthode coïncide avec celle qui a été donnée par Jacobi; car alors toutes les trajectoires normales à (G) se transforment dans les trajectoires passant par un point fixe du plan.
541. Les systèmes orthogonaux que nous venons de définir, et dont une des familles est formée d'une série de trajectoires du mobile, jouent un rôle important dans l'étude de certaines questions, comme nous allons le montrer. Mais, auparavant, nous indiquerons comment on peut les obtenir tous sans intégration nouvelle lorsqu'on connaît une solution complète de l'équation aux dérivées partielles (7).
Soit
(i3) (i=fix,y,a) + b
une telle solution. Voici la méthode prescrite par Lagrange pour obtenir la solution la plus générale. On posera
b = cp(a), ^{a) désignant une fonction quelconque de a; le résultat de l'éli-
minalion de a entre les équations
fournira la solution demandée. Nous pouvons ajouter ici la remarque suivante, que Ton vérifiera aisément. Soit
la solution ainsi obtenue ; les trajectoires orthogonales des courbes
6 = const.
seront définies par la seconde des équations (i4) (i5) ^-T-o(a)=o,
où l'on donnera à la constante a toutes les valeurs possibles.
oi2. Ces points étant admis, supposons que l'on veuille déterminer le système orthogonal dont une des familles est composée des trajectoires normales à une courbe donnée (C).
Ce problème est évidemment équivalent au suivant : « Trouver une solution H de l'équation aux dérivées partielles qui prenne une valeur constante donnée, zéro par exemple, en tous les points de la courbe (C). » Soit
Téquation de cette courbe. Proposons-nous, d'une manière plus générale, de déterminer la fonction H qui se réduit à une fonction donnée {a(x) lorsqu'on a
En substituant les valeurs de H ei àe y dans les équations (i4)» on trouvera les équations de condition
qui feront connaître la fonction ç(a). H semble au premier abord que, pour résoudre la question posée, il faudra intégrer une équa-
446 LIVRE V. — Cil A P. VI.
tion différentielle; car, si l'on élimine x entre les deux équations (i6), on sera conduit à une équation de la forme
${a, oia), o'{a)) = o.
Mais, si l'on différentie la première des équations (i6), on trouvera, en tenant compte de la seconde,
11 est aisé de montrer qu'au système (i6) on peut substituer le
suivant :
/ f{x, 1, a) -f- o(a) = iiix),
Ces deux systèmes ont, en effet, une équation commune, et la différentiation totale de cette équation nous montre que la seconde équation de chacun d'eux est toujours une conséquence de la seconde équation de l'autre.
Or les deux équations (17) nous donnent, par l'élimination de x^ une relation qui fera connaître o(a) en fonction de a. La question proposée est donc résolue.
Il ne sera pas inutile, pour la suite, de remarquer qu'il y a deux intégrales distinctes, et deux seulement, prenant des valeurs données à l'avance en tous les points d'une courbe (G); car, si l'on veut déterminer, en chaque point de la courbe (G), les dérivées par rapport à ;r de l'intégrale cherchée 0, on devra joindre à l'équation aux dérivées partielles
la relation
qui doit avoir lieu pour tous les points de la courbe (G). Or les deux équations précédentes déterminent deux systèmes
de valeurs différentes pour les dérivées — ? j- prises en un point
quelconque de (G). Gomme. une intégrale est entièrement définie
quand on donne sa valeur et celle de ses dérivées premières en tous les points d'une courbe, on voit que la question proposée admettra bien deux solutions et deux seulement.
Dans le cas, que nous avons en vue, où la fonction 9 doit avoir une valeur constante, zéro par exemple, en tous les points de la courbe cherchée, on a
les deux solutions obtenues sont égales au signe près et ne peuvent pas être regardées comme réellement distinctes.
543. Comme conséquences des propositions précédentes, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Toutes les fois que l'on connaîtra une intégrale complète de V équation aux dérivées partielles {-), on pourra toujours déterminer sans intégration un système orthogonal dont une des familles contiendra une courbe quelconque (C) donnée à l'avance. L'autre famille sera formée des trajectoires du mobile qui coupent à angle droit cette courbe (G) et correspondent à une m.éme valeur de la constante des forces vives.
Dans le cas où la courbe (C) deviendrait infiniment petite et se réduirait à un point, on aurait le svstème orthogonal dont une des familles est composée des trajectoires du mobile qui passent par ce point. Si l'on remarque que, dans ce cas, l'équation (i5), qui représente toutes ces trajectoires, doit être vérifiée quand on V remplace x^ y par les coordonnées Xq, y^ du point considéré, on voit que l'on devra avoir
et, par suite, on pourra prendre
?(«) = — /(a?o,ro, a)- On aura alors
^ ^fi^ij', «) — /(aro, y^, a),
et, d'après la règle donnée au n" 312, il faudra éliminer a entre cette équation et sa dérivée par rapport à a.
Pour donner une application, considérons le mouvement des
448 LIVRE V. — CIIAP. VI.
corps pesants, dans lequel la fonction des forces est L'équation en 9 devient ici
Elle admet la solution suivante :
(20) -— - = ax -f- 1 sj y -\- h — a^ cly — ax -^ -^{y -^ h — a'^y -t- b. sj-ig J ^
Pour trouver les courbes coupant à angle droit toutes les trajectoires paraboliques passant par un point fixe, l'origine par exemple, il faudra, d'après la règle précédente, déterminer h par la condition que 0 s'annule en ce point 5 ce qui donne
puis éliminer a entre l'équation ("îo), où l'on a remplacé h par la valeur précédente, et sa dérivée par rapporta a. On trouve ainsi^ après un calcul que nous omettons,
(21) -p- = [ 2 /i + jK -T- yjx'^ ^ y'-\ — [ 2 A + J — sjx- -+- J'^ ] ^ .
Telle est l'équation des trajectoires orthogonales de toutes les paraboles passant par un même point.
544. Considérons d'une manière générale les systèmes orthogonaux que nous venons de définir et dont une des familles est composée de trajectoires du mobile. L'élément linéaire du plan prendra la forme
(22) ds^'=\\^d^f--^\\\d^\.
Si l'on se déplace sur une trajectoire 9| = eonst., on a
D'ailleurs l'équation
■^("+*>-v^-y ' wj
LES SIOLVEMENTS DANS LE PLAN. 44g
peut s'écrire
En substituant la valeur de -jz dans la relation (23), nous aurons
vj^ ^ aU -^ 2/i.
rl-
La formule (22) prendra donc la forme
(25) ■i(\]^h)ds'-=d(ii—:!'-dbi.
dont nous allons déduire plusieurs conséquences.
Nous voyons d'abord que, si l'on considère deux des courbes
de paramètre 0
et la portion de lune quelconque des trajectoires du mobile comprise entre ces deux courbes, l'intégrale
f^iiU-^h) ds = fd(i,
prise du commencement à la fin de cet arc, sera constante et égale à la différence ,3 — a des valeurs de 0. PSous donnerons à l'intégrale précédente le nom d' action. Comme la courbe f) = a peut être choisie arbitrairement, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Etant donnée une courbe quelconque (G) et les trajectoires du mobile normales à cette courbe, si l'on porte sur ces trajectoires, à partir de leur point d'incidence, des longueurs pour lesquelles l'action ait une valeur donnée à l'avance mais quelconque, le lieu des extrémités de toutes ces longueurs formera une courbe qui sera encore normale à toutes les trajectoires.
Cette remarquable proposition, qui est due à MM. Thomson et Tait ('), est analogue à celle que nous avons donnée au n° o22
(') Sir William Tiiomsox and Tait, Treatise on natural Philosophy, Vol. I, Part I, p. 353 de la deuxième édition; 1879.
D. — II. ag
45o LIVRE V. — CHAP. VI.
pour les lignes géodésiques. On pourrait, ici encore, la démontrer directement par le calcul des variations et en déduire tous les résultats précédents; on retrouverait ainsi la méthode suivie par Hamilton et par Jacobi.
En particulier, si l'on considère toutes les trajectoires passant par un point A et si l'on détermine sur chacune d'elles un point M, tel que l'action étendue à l'arc AM ait une valeur constante donnée, le lieu des points M sera une courbe normale à toutes les trajectoires.
545. Si l'on rapporte les points du plan au système de coordonnées formé par les trajectoires passant en A et par les courbes qui les coupent à angle droit, l'élément linéaire du plan sera donné parla formule (aS), oii 9 désignera l'action comptée à partir de A. Nous allons déduire de celte remarque une démonstration directe an principe de la moindre action.
Ce principe peut être énoncé comme il suit :
Parmi tous les mouvements qui amènent le mobile d'un point A en un point M, la vitesse sur chaque trajectoire étant réglée par V équation
le mouvement naturelest celui pour lequel V action , c'est-à-dire V intégrale
/ s/'x{\} -H h)cls = / vds,
est un minimum.
La démonstration est identique à celle que nous avons développée dans le cas des lignes géodésiques. Construisons toutes les trajectoires du mobile correspondantes à la valeur donnée de h, passant au point A; elles donnent naissance à un système orthogonal pour lequel on a
2(U 4- A) ds'- = rfô2-4- a2 6?6f.
Cela posé, il est clair que le minimum de l'intégrale fs/^ÂTÎ^i ds = T/^P+'ï^ ,
LES MOLVEMEXTS DANS LE PLAN. 45l
prise entre les points A et M, correspondra au cas où dH, sera nul, le chemin suivi étant la trajectoire qui unit ces deux points. Je n'insiste pas sur toutes les conditions qui doivent avoir lieu pour que la démonstration soit valable; elles sont identiques à celles qui ont été énumérées dans le cas des lignes géodésiques.
MQ. Le principe dHamilton se rapporte à des hypothèses toutes différentes de celles qui interviennent dans le principe de la moindre action. Il concerne l'intéorrale
2 at- I
Le mouvement de la nature est celui pour lequel cette inté^Tale est maximum ou minimum. Mais ici le moinement est comparé à tous ceux qui ont lieu entre les mêmes points et dans le même temps, et, de plus, aucune loi n'est imposée à la vitesse. Nous aUons montrer qu'il y a réellement minimum.
Si A et M désignent encore les positions extrêmes et si Ton conserve le système orthogonal dont une des familles est composée des trajectoires passant en A, l'intégrale précédente deviendra
Nous allons la comparer à celle qui correspond au mouvement naturel, pour lequel ^, demeure constant.
Soient 80, Uo les valeurs de h et de U dans le mouvement naturel, H, L, 9o, L'o étant supposées correspondre à la même valeur du temps; posons
6 = 00^ tu, Ur-Uo— U,.
On a, nous l'avons vu,
^26) »=2(Lo--A).
L'accroissement de l'intégrale d'Hamilton, quand on passe du mouvement naturel à l'autre, est
JUih^h)dt*- ^'~ HUo-^h)dt^-r'-
452 LIVRE V. — CIIAP'. VI.
Remplaçons 0 par sa valeur 80+ w; puis substituons la valeur
de ^déduite de la formule (26). L'accroissement de l'intégrale dt
d^ dt deviendra
'dÂ^ \}çs-\-hdiM ^, Ui(Uo-»-/î) ,,
0"^4(U + A) U + A dt U-h/i
ou, après quelques réductions,
• , dO\ do^
'^' dt^ ^ dV^ \}\ dLo U, c?w'
4(UH-A) ' U-hA dt V>-\-h dt
dt.
Comme les deux mouvements se font entre les mêmes points et dans le même temps, iù est nul aux deux limites; on peut donc
supprimer le terme -^ et il reste pour l'accroissement de l'intégrale l'expression
d^\ (diM
(^7) J (4(U-hA)^ 4(U4-A)
dt.
Sous cette forme on voit clairement que l'intégrale d'Hamilton a augmenté. Pour que l'intégrale précédente soit nulle, il faut que l'on ait à chaque instant
ou
dt ="'
d^i dto W ~ ""' 'dt
= 2Ui
et ces équations caractérisent le mouvement naturel.
o47. Nous ne nous étendrons pas davantage sur les principes précédents et nous remarquerons, en terminant, que la démonstration du principe de la moindre action peut se rattacher directement à la théorie des lignes géodésiques de la manière suivante.
a; ely étant les coordonnées rectangulaires d'un point du plan, U la fonction des forces et h la constante des forces vives, consi-
dérons la surface dont l'élément linéaire est donné par la formule
ds^-= i(U — k){dx^- — dyi).
Cette surface sera représentée sur le plan avec conseriation des angles; mais de plus la correspondance est telle quVi toute trajectoire dû mobile dans le plan correspond une ligne géodésique de la surface et vice versa.
Cette proposition s'est déjà présentée plusieurs fois dans les raisonnements précédents. Nous aurions pu l'établir, soit en comparant l'équation différentielle (3) des trajectoires à celle (8) des lignes géodésiques (n° ol4), soit en rapprochant l'équation aux dérivées partielles (7) de l'équation (5) (n" o3i) dont dépend la recherche des lignes géodésiques. Nous pouvons maintenant la démontrer immédiatement; car, si l'on rapporte les points du plan à un système de coordonnées dont une des familles est formée de trajectoires du mobile, l'élément linéaire du plan sera donné par la formule (26); celui de la surface correspondante aura donc pour expression
par suite, les lignes 9, = const., c'est-à-dire les trajectoires du mobile dans le plan, correspondront nécessairement à des géodésiques de la surface ; et vice versa.
Comme application, considérons le mouvement d'un point attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance; /• désignant la distance au centre fixe, on aura
La surface dont les lignes géodésiques correspondent aux trajectoires du mobile aura pour élément linéaire
ou, en passant aux coordonnées polaires r, p, (28) ds''-=l^—'^{dri^ridv^).
Les surfaces de révolution admettant cet élément linéaire sont
454 LIVRE V. — eu A P. VI.
définies par les formules
V/]xr{ia — r) / ^ cos — j
/\xr{ia — r) .
j^-xa — /•)
dr
Toutes les fois que ni sera commensurable, à un point du plan correspondront des points de la surface en nombre limité; et, par suite, toutes les lignes géodésiques qui ne Yiendront pas rencontrer la limite de la surface seront fermées, comme les ellipses du plan auxquelles elles correspondent,
548. Cette correspondance, établie entre un plan et une surface de telle manière que les trajectoires du plan correspondent aux lignes géodésiques de la surface, met immédiatement en évidence le principe de la moindre action, qui n'est autre chose que la traduction dans le plan de la propriété de minimum relative aux lignes géodésiques; mais elle conduit sans calcul à un grand nombre d'autres propositions. Nous avons vu, par exemple, que, sur une surface, les courbes lieux des points tels que la somme ou Ja différence de leurs distances géodésiques à deux courbes fixes (C), (C) soit constante forment un système orthogonal. Ce système peut évidemment se déterminer sans intégration toutes les fois que l'on connaît les deux courbes (C), (C) et que l'on a l'expression de la distance géodésique de deux points de la surface. On peut même ajouter que, si l'une des deux courbes (C) est donnée, on peut déterminer l'autre (C) de telle manière que l'une des familles du système orthogonal contienne une courbe (D) donnée à l'avance. En reportant ce résultat dans le plan, nous obtenons la ^proposition suivante :
Toutes les fois que Von aura, dans le plan, la solution complète d'' un problème de Mécanique et la fonction^ relative à ce problème, on pourra déterminer, sans intégration nouvelle, une infinité de systèmes orthogonaux dans le plan, contenant une courbe [T)) donnée à V avance; les équations qui définissent
ces systèmes contiendront une fonction arbitraire d'une variable.
Au reste, cette proposition peut se démontrer directement de la manière la plus simple. Soient en effet 0 et 3- deux solutions quelconques de l'équation aux dérivées partielles (7). On aura
et, par conséquent,
()(6 — j) d(e-^!T) d(b—u) ()(9 — t) ôj: dx dy dy
Cette équation exprime que les courbes
6 — j = const.. 6 — 3 = const.
se coupent à angle droit et forment les deux familles d'un système orthogonal. Si l'on veut qu'une certaine courbe (D) fasse partie de l'une de ces familles, il suffira de déterminer deux solutions 0, 3- de l'équation aux dérivées partielles qui aient la même valeur en chaque point de la courbe (D). On prendra s- arbitrairement, ce qui introduira une fonction arbitraire; ^ sera ensuite déterminée par la condition d'avoir la même valeur que 3- en tous les points de la courbe (D)- Nous savons (n° o42) que h sera une fonction distincte de s-.
549. Les propositions générales qui précèdent permettent d'établir que l'on pourra déterminer une infinité de svstèmes orthogonaux algébriques dont fera partie une courbe algébrique quelconque, donnée à l'avance. Remarquons d'abord qu'il y a une infinité de problèmes de Mécanique pour lesquels l'action est une fonction algébrique, c'est-à-dire pour lesquels l'équation
admet une intégrale complète algébrique. Sans parler même du cas où la fonction des forces est nulle, prenons, par exemple,
(3i) L =z Xx'" ~ By,
A et B étant des constantes quelconques et m, n deux entiers. On aura la solution complète
: j Y 2 A j:'" -h h -i- adx +J y '2 By" A- h — a dy,
qui est évidemment algébrique. Si l'on applique les méthodes précédentes en employant cette valeur de 9, on voit que toutes les solutions de l'équation (3o) assujetties à prendre une valeur algébrique en tous les points d'une courbe algébrique seront algébriques. On pouri'a donc obtenir une infinité de systèmes orthogonaux algébriques dont fera partie une courbe algébrique donnée. Ces systèmes sont de deux espèces différentes. Les uns, dont l'une des familles sera formée par les trajectoires du mobile qui coupent à angle droit la courbe donnée, sont analogues aux systèmes orthogonaux formés avec une famille de courbes parallèles et leurs normales communes. Les autres seront analogues au système orthogonal formé par les deux familles de courbes lieux des points tels que la somme ou la différence de leurs distances géodésiques à deux courbes fixes (G), (C) soit constante. Ils contiendront dans leur définition une fonction algébrique arbitraire, alors même que l'on aura assujetti une courbe donnée à l'avance à faire partie de l'une des deux familles du système orthogonal.
530. Il est aisé de voir que la méthode précédente s'étend à l'étude du mouvement d'un point sur une surface et, en général, à tous les problèmes de Mécanique dans lesquels il y a une fonction des forces, la position du système mobile dépendant de deux variables seulement. Nous ne développerons pas les calculs, qui seront donnés plus loin lorsque nous traiterons du problème le plus général de la Mécanique; et nous nous contenterons d'indiquer ici d'autres questions de Mécanique dans lesquelles on retrouve les propriétés que nous venons d'étudier.
On doit à différents géomètres (') des propriétés des brachisto-
(') Voir, par exemple, Roger, Thèse sur les brachistochrones {Journal de Liouville, i'" série, t. XIII, p. [^l•, i848).
Andoyer, Sur la réduction du problème des brachistochrones aux équations canoniques {Comptes rendus, t. C, p. 1577; i885).
chrones, analogues à celles que Gauss a fait connaître pour les lignes géodésiques. L'explication de ce fait repose sur la remarque suivante.
Proposons-nous de déterminer les brachistochrones sur une surface (S). La vitesse du mobile étant donnée par l'équation des forces vives
les brachistochrones seront les courbes pour lesquelles l'intégrale
'ds r ds
prise entre deux points quelconques de la courbe, sera minimum. Or, si l'on considère la surface (!) pour laquelle l'élément linéaire d^ est déterminé par la formule
ds*-
(33) ds*- =
elle correspondra à la surface (S) avec conservation des angles; et les brachistochrones de (S) correspondront aux lignes géodésiques de (2'), l'arc de chaque géodésique étant égal au temps dans lequel est parcourue la portion correspondante de la brachistochrone. Cette simple remarque permet d'étendre aux brachistochrones toutes les propriétés des lignes géodésiques. On reconnaît ainsi, en particulier, que les brachistochrones satisfont réellement à leur définition et que le temps dans lequel un arc quelconque de ces courbes est parcouru est réellement un minimum, pourvu toutefois que cet arc ne soit pas trop étendu.
On peut aussi assimiler les brachistochrones aux trajectoires dans un mouvement plan; et cette comparaison oflre l'avantage de s'étendre d'elle-même aux brachistochrones dans l'espace.
Supposons l'élément de la surface (2) ramené à la forme
( 34 ) rf*î = À ( rfx* ^ dy* ).
L'intégrale qui doit être minimum est
')/l^dx*--^dy'-
En vertu du principe de la moindre action, on reconnaît immé-
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diatement que lesbrachistoclirones correspondent aux trajectoires d'un mouvement plan dans lequel la fonction des forces U' aurait pour valeur
la vitesse du mobile étant donnée par la formule
où la constante des forces vices a la valeur particulière zéro. Des remarques analogues peuvent être faites aussi en ce qui concerne les figures d'équilibre d'un fil flexible et inextensible. Mais nous laisserons ce point à l'examen du lecteur.
531. Dans les développements précédents, nous avons associé seulement celles des trajectoires pour lesquelles la constante des forces vives a la même valeur. Cette restriction est bien d'accord avec l'esprit de la Mécanique moderne, qui attache moins d'importance aux forces qu'à Vénergie et qui permet de regarder comme distincts deux problèmes dans lesquels, la fonction des forces étant la même, l'énergie totale est différente. Quoi qu'il en soit, en groupant les trajectoires pour lesquelles la constante des forces vives prend des valeurs différentes, on obtient les résultats suivants que nous allons rapidement signaler.
Considérons des trajectoires quelconques, formant une famille analogue à celles que nous avons définies au n°538; x' ely' seront encore des fonctions de x et àe y, mais la constante A, variant quand on passe d'une trajectoire à l'autre, devra être considérée ici comme une fonction de a: et àey. On aura encore les équations
Mais la différentiation de l'équation des forces vives donnera des résultats différents; il ne faudra plus y regarder h comme une constante indépendante de x et de y. La différentiation donnera
donc les équations
I , dx' j dy' dh d\j \ ^ dx ~^^ dx ~ dx dx' ^^-"^ j ,dx' ,dy dh ^d\^
\ dy dy ~ dy dy
Si l'on élimine^, t- entre ces équations et les précédentes,
dx dy ^
on trouvera
/dy' dx'\ dh
^\ài ~ d^J " di'
Jdy ^'\ ^.
^\dx~'ày)~ dy'
Posons maintenant
dv' àx'
(38) ii--d^="
joo aura d'abord
, \ dh , I dh
(39) y = ld-x' ^=-XÔy'
la substitution de ces valeurs de a/, y dans l'équation des forces vives donnera la relation
A/j = 2Àî(/j — U).
où A/t désigne le paramètre différentiel de Lamé
et qui fera connaître a. On obtient ainsi
V/2(A^U) dh , v/2(A-^U) dh
^''^ ^' = /ÂÂ àx' ^- 7^~et»-'
En portant ces valeurs dans la formule (38), qui sert de définition à A, on trouve l'équation aux dérivées partielles du second ordre
d f^irTh dh\ ± (^Xl^ni àh\^l vg ^^^^ ^Vy/IÂ àx)^dy\^ dy) 2^U-a'
qui définit la fonction h. Lorsqu'on aura une solution quelconque
46o LIVRE V. — CHAP. VI.
de cette équation, les courbes
h = const.
seront les trajectoires de la famille correspondante, et les équations (4i) feront connaître en chacun de leurs points les composantes de la vitesse du mobile. Inversement, si l'on sait déterminer les trajectoires, on saura aussi intégrer l'équation aux dérivées partielles (42). Lorsqu'on aura obtenu, avec deux constantes arbitraires a et h, l'équation générale des trajectoires
il suffira d'y remplacer a et b par des fonctions quelconques de h pour obtenir l'intégrale générale de l'équation (42).
Supposons, par exemple, que la fonction des forces soit nulle : les trajectoires seront des lignes droites représentées par l'équation
y = ax -^ b. I
L'intégrale de l'équation aux dérivées partielles correspondante sera donnée par la formule
y = ^ cp(A) -f- i];(A),
ce qu'il est aisé de vérifier.
Une circonstance particulière donne quelque intérêt aux remarques précédentes. L'équation aux dérivées partielles (42) intervient dans l'étude d'une question de minimum relative à l'intégrale double
qui est d'une forme analogue à celle que Riemann a considérée dans le principe de Dirichlet.
Imaginons que la fonction h soit donnée pour tous les points d'un contour fermé limitant une aire plane A. Si l'on exprime que l'intégrale double précédente étendue à tous les points de cette aire est minimum, on sera conduit, en égalant à zéro la variation première, à une équation aux dérivées partielles qui sera précisément l'équation (42).
Ainsi, à tout problème de Mécanique dans le plan (et plus
LES MOUVEMENTS DVXS LE PLAX. 46*
généralement à deux variables indépendantes), on peut rattacher une propriété de minimum relative à une intégrale double.
Quelques considérations de Géométrie auxquelles le lecteur suppléera facilement permettent d'ailleurs de déduire cette propriété de minimum du principe de la moindre action.
5o2. Dans les deux Chapitres suivants, nous associerons seulement des trajectoires pour lesquelles la constante des forces vives aura la même valeur; nous allons donc indiquer ici sans démonstration l'extension que Ion peut donner aux propriétés précédentes. Pour plus de netteté, nous nous contenterons, dans l'énoncé des propriétés généralisées, de considérer les mouvements dans l'espace.
Si Von cherche à déterminer les fonctions a et ;j. de x et de y de manière à rendre minimum l'intégrale triple
J J J y \dy dz ~ dz à}) ' \dz dx dx dz ) ' \dx dy dx dy] X o{x, y,z,l,'JL)dxdjdz,
étendue à un volume fermé, les fonctions a et u. étant assujetties à prendre des valeurs données en tous les points de la surface ou des surfaces qui limitent ce volume, il suffira d'intégrer les équations du mouvement relatives à un problème de Mécanique oii la fonction des forces serait ç;(ar, >-, z, a, u), la constante des forces vives étant nulle et \ et jx étant traitées comme des constantes, puis de remplacer dans les équations générales de la trajectoire les constantes arbitraires par des fonctions quelconques de A et de ^] on obtiendra ainsi deux équations qui feront connaître "k et ia.
Si l'on cherche la fonction X qui assure le minimum de l'intégrale triple
étendue à un volume fermé, A étant assujettie à prendre des valeurs données en tous les points de la surface qui limite ce volume, les surfaces
const.
devront être celles pour lesquelles r intégrale double suivante, où. d'y désigne Vaire d'un élément de surface,
j h{^^y,^A)drr,
étendue à la portion de la sur/ace comprise dans un contour donné quelconque , sera un minimum.
En considérant, par exemple, l'intégrale
^'^^ ffW^"^^ ^^^'^ "^^^^ ^^"^^"^^
qui correspond à riiypothcse o = i , on reconnaîtra que les surfaces ). = const. devront être des surfaces minima. On est ainsi conduit au résultat suivant :
Si l'équation
X = const.
représente une famille de su/faces minima, \ devra satisfcnre à l'écjuation aux dérivées partielles
oii W est le paramètre dif/'érentiel du premier ordre
Ce résultat est dû à Riemann ('), qui a même montré, comme on le vérifie aisément par un calcul direct, que, si l'on a une seule surface représentée par l'équation
il suffira, pour que la surface soit minima, que l'équation aux dérivées partielles précédentes, au lieu d'être vérifiée identiquement, le soit seulement en vertu de l'équation de la surface.
(') Riemann's Gesammelte Werke, p. 3ii.
La forme précéden le (47) de Téquatlon aux dérivées partielles des surfaces mininia se rattache directement à celle de Lagrange (I, n" 175), que l'on retrouve d'ailleurs immédiatement en supposant l'équation de la surface mise sous la forme
les remarques par lesquelles nous l'avons obtenue montrent que l'on pourra écrire immédiatement, en coordonnées curvilignes quelconques, l'équation aux dérivées partielles des surfaces niinima; car, si l'élément linéaire de l'espace est donné par la formule
(49) dsi=H'-dp^-^Hldpi-i-nldpl,
l'intégrale (4^) prend la forme
yyy/ixHHi H, rf? rf?, rf?î,
et la propriété de minimum, que nous avons signalée sans calcul, conduit à l'équation
HH, r)o, \
qui remplace l'équation (4~). On pourrait suivre la même méthode si l'on eraplovaitdes coordonnées curvilignes obliques.
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