CHAPITRE YII

APPLICATION DES MÉTHODES PRÉCÉDENTES A l'ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS l'eSPACE.

Equations différentielles du mouvement. — Toutes les trajectoires qui correspondent à une même valeur de la constante des forces vives et sont normales à une surface sont, par cela même, normales à une famille de surfaces. — Equation aux dérivées partielles d'Hamilton et de Jacobi. — Usage que l'on peut faire d'une intégrale complète. — Conditions auxquelles doit satisfaire cette intégrale. — Définition de l'action. — Considération de certains systèmes orthogonaux. — Formule relative à la variation de l'action. — Généralisation du théorème de Malus et de Dupin.

dU d^y d\} d^z

dt^

ùx ' dt^ dy ' dt^

~ dz

553. Considérons maintenant les mouvements dans l'espace. Si U désigne la fonction des forces, les équations du mouvement seront

x\y ., z' désignant les composantes de la vitesse.

Parmi tous les mouvements correspondants à une valeur donnée de la constante des forces vives, étudions en particulier ceux dont les trajectoires passent par un point, ou sont normales à une surface, ou, en général, satisfont à toute condition cpii ne laissera subsister que deux constantes arbitraires dans les équations de la trajectoire. Nous aurons alors une congruence de courbes représentées par des équations telles que les suivantes :

f{x,y, z, a, h) = o, ts{x, y,z, a,b) = o.

D'ailleurs les composantes de la vitesse en chaque point devront

dx , d\j ' dz" dx

^^x' dx""

dy' , d\j -■ — 3— z — - — > dz dy

dz' ,

dz' , - dy^

dz' , au

APPLICATION A l'ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS l'eSPACE. 465

satisfaire aux deux équations

l àf , df , df ,

\ dx dv dz '

^^' \ do , dn , do ,

\ dx ày' dz

qui, jointes à l'équation des forces vives, permettront évidemment de les déterminer, puis de les exprimer, par la substitution des valeurs de a et de 6 déduites des équations (3), uniquement en fonction de x, >', :;.

Supposons que 1 on ait obtenu ces expressions. Les équations du mouvement prendront la forme suivante

qui est analogue à celle que l'on rencontre dans l'étude du mouvement permanent des fluides; a:', y' ^ z' devront aussi satisfaire à l'équation des forces vives.

On peut déduire de cette dernière équation les valeurs de -— -,

— ■ > -— • Un a, par exempJe, Oy dz ^ r 7

d\j , dx' , dy' , dz'

dx dx " dx ' " dx

En portant cette valeur de -— dans la première équation (5), on obtient la relation

, dx' , dx' , dx' , dx' , dy' , dz'

dx dy dz dx "^ dx dx

que l'on peut écrire de la manière suivante :

'^ \dy dxj " \dx dz J'

La deuxième et la troisième équation (5) donneront des for- D. — II. 3o

466 LIVRE V. — CM A p. VII.

mules analogues, d'où l'on déduira le système suivant

ày'

dz'

ày'

ày

qui contient toutes les relations indépendantes de la fonction des forces entre x' , y' , z' .

On reconnaît immédiatement que l'on peut satisfaire à ces équations en annulant les numérateurs,, c'est-à-dire en supposant que x', jk', z' soient les dérivées d'une même fonction B. Posons donc

^^ ' dx ^ dy dz

Si l'on porte ces valeurs de x' ^ y\ z' dans les équations (2) et (5), l'équation (2) prendra la forme

et le système (5) se composera des équations que l'on déduit de la précédente en la différentiant par rapport à x^ à y ou à z. Il suffira donc que 9 satisfasse uniquement à V équation aux dérivées partielles ( 8 ) .

Les équations {'j) nous montrent immédiatement quelle est la signification géométrique de la fonction 8. Si l'on considère la famille de surfaces représentée par l'équation 0 = const., 8 étant une intégrale quelconque de l'équation (6), les courbes qui sont les trajectoires orthogonales de cette famille de surfaces sont aussi des trajectoires du mobile, et la vitesse du mobile en chaque

point est égale à la dérivée y- de 9 suivant la normale. En d'autres

termes, il y a un potentiel^ pour les vitesses.

La méthode précédente reposant sur la considération de certaines congruences particulières formées avec les trajectoires du mobile, il est naturel de se demander si elle donnera toutes les solutions du problème de Mécanique, c'est-à-dire toutes les trajectoires possibles. Soit (C) une de ces trajectoires passant au point Mo(^0)JKo> ^0) 6t soient ^'q, y'^, ^j, les composantes de la vitesse du mobile en ce point, composantes qui vérifieront néces-

APPLICATION A l'ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS L ESPACE. 467

sairement l'équalion des forces ^•ives

II 3' a évidemment une infinité de solutions 6 de l'équalion (8)

dont les dérivées premières ^, —, — prennent les valeurs x„,

y'^^. z'q au point Mq. Considérons Tune quelconque h' de ces solutions. Les trajectoires orthogonales des surfaces h' = const. seront des trajectoires du mobile. Celle de ces trajectoires qui passe au point Mo coïncidera éNndemraent avec la courbe (C), les conditions initiales du mouvement étant les mêmes sur l'une et sur 1 autre de ces trajectoires.

oo4. On est encore conduit à la considération des congruences particulières pour lesquelles il y a un potentiel des vitesses par le raisonnement suivant, qui mettra de nouveau en évidence le résultat précédent.

Désignons par a la valeur commune des rapports (6). On a

et^ par suite, en faisant usage d'une identité bien connue,

diKT) . d{\y) d(ljs')

dz'

ày

= Ix',

dz' dx

dx' dz

dx'

ày

ày'

(lO)

dx dv dz

Cette relation, qui rappelle \ équation de continuité de THydrodvnamique, vient confirmer l'analogie que nous avons déjà signalée plus haut et sur laquelle, d'ailleurs, nous n'insisterons pas. Si l'on effectue les différentiations, elle prend la forme

d\ , à\ dl , , /dx' dy ^ às'\

dx^ dy dz" " \'JJ" ày ' dz )''

le premier membre, que l'on peut écrire ainsi

d\ dx ^d\ d)^ ^dl dz dx dt dv dt "^ dz dt '

468 LIVRE V. — CIIAP. VII.

a une signification très simple; il exprime la dérivée ~ de \

lorsqu'on se déplace sur une Irajectoire du mobile. Si donc on pose, pour abréger,

dx' dy' àz' Ox dy àz

on aura

d'oi!i l'on déduit

)vo désignant la valeur de \ pour t=to. Donc :

Si'kest nul pour un point quelconque d'une trajectoire, il sera nul pour tous les autres points de la même trajectoire.

D'après cela, considérons, parmi les trajectoires du mobile (qui correspondent toujours à une même valeur de la constante des forces vives), celles qui sont normales à une surface (S), et remarquons que, par suite de la définition de X et de l'équation des forces vives, on a

, / dy' àz' \ , / àz' àx'\ , / àx' ày' \

^ \~àz dy) ^ \àx àz 1'^^ \ày~ ~à~x )

Il résulte de cette expression que \ sera nul pour le point où chaque trajectoire rencontre normalement la surface (S). Pour le reconnaître immédiatement, il suffit de remarquer que, les équations difierentielles des courbes de la congruence étant

dx dy dz

x\ y, z' jouent ici le rôle des quantités X, Y, Z du n° 438.

1, étant nul pour un point de chaque trajectoire, sera nul par cela même sur toutes les trajectoires, qui seront, par suite, d'après le théorème du numéro cité, normales à une famille de surfaces. Nous retrouvons ainsi la proposition de MM. Thomson et Tait, que nous établirons, d'ailleurs, d'une autre manière :

Toutes les trajectoires du mobile, correspondantes à une

APPLICATION A l'ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS l'eSPACE. 469

même valeur de la constante des forces vives, qui sont normales à une seule surface, sont, par cela même, normales à toute une famille de surfaces.

Il résulte des raisonnements précédents que, pour obtenir toutes ces familles de surfaces normales à des trajectoires, il faudra intégrer l'équation aux dérivées partielles (8). Nous allons examiner les différentes solutions de cette équation.

ooo. Nous n'avons qu'à répéter ici ce qui a été dit dans le cas des mouvements plans. Si la solution 8 ne contient aucune constante, il faudra, pour avoir les trajectoires correspondantes, intégrer les trois équations (5) ou les équations (i4)- Mais je vais montrer que, si la solution h contient, en dehors de la constante qu'on peut toujours lui ajouter, deux autres constantes arbitraires a et Z>, on peut obtenir sans aucune intégration la solution complète du problème de Mécanique.

Substituons, en effet, 9 dans l'équation (8) et prenons la dérivée par rapport à a ; nous aurons

dx da âx dy da dy dz dadz

Si 1 on remplace t- ' 3- ' j- respectivement par x , j' , :; , 1 équation précédente prend la forme

dt \da) ~~ **■ Donc j- est constant sur chaque trajectoire du mobile. En appliquant le même raisonnement à b, on voit que les équations

oîi a', b' désignent deux constantes nouvelles, définissent une trajectoire du mobile. On vérifierait du reste immédiatement que les deux surfaces représentées par chacune des équations précédentes coupent à angle droit toutes les surfaces 9 = const.

En différentiant de même par rapport à h l'équation (8), on

470 LIVRE V. — Cil A P. VII.

trouvera

d /rjO

dt \dh ' '' et l'on aura, par suite, en intégrant,

T désignant une nouvelle eonstante.

Les équations (i5) et (16), contenant six constantes arbitraires «, h^ ]i, a' y b\ -, définissent bien la solution la plus générale du problème posé. En essayant de le démontrer d'une manière plus rigoureuse, on reconnaîtra à quelles conditions doit satisfaire la solution 0 qui contient les constantes a, b. Si l'on veut, en effet, déterminer la trajectoire du mobile qui passe au point M(.r,j^, ^), le mobile admettant les vitesses x' , y ^ z', liées nécessairement par l'équation des forces vives, on aura les trois équations

dx "^ dy Oz

qui se réduisent à deux, en vertu des équations (2), (8), et qui devront pouvoir déterminer a et b en fonction des six quantités données x,jk, z, x' , y ^ z' .

Prenons, par exemple, les deux premières. Pour qu'on puisse en déduire généralement des valeurs de a et de ^, il faut et il

suffît que —5 -p soient des fonctions indépendantes l'une de

l'autre des variables a et b. Il faudra donc que le déterminant

\dx ây ) d{a,b)

soit différent de zéro. En raisonnant de même avec -— ' t-j on est

dy ôz

conduit à la conclusion suivante :

La solulion 0 doit être telle que les deux équations

da àx da dy da dz

àb àx db dy àb dz

APPLICATION A l' ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS L ESPACE. 471

qui se réduisent d'ailleurs à une seule, ne soient pas identiquement vérifiées.

On peut encore énoncer cette condition sous Tune ou l'autre des formes suivantes :

Il ne faut pas que ^, considérée corome fonction de a et de b, satisfasse à une équation du premier ordre

indépendante de x, >', z.

On peut dire encore que 9, considérée comme fonction de x, )', z, ne doit pas satisfaire à une équation du premier ordre

distincte de l'équation (8) et ne dépendant ni de a ni de b.

Supposons, par exemple, que la fonction des forces soit nulle. L'équation (8) sera

et elle admettra la solution

Cette solution ne conviendra pas, bien qu'elle contienne deux constantes. On le reconnaît immédiatement en appliquant un quelconque des trois critériums que nous venons de signaler.

oo6. Nous vovons ici se présenter un fait nouveau. Dans le plan, toutes les familles possibles de trajectoires du mobile font partie d'un svstème orthogonal, auquel correspond une certaine solution 9 de l'équation aux dérivées partielles de Jacobi. Il n'en est plus de même dans l'espace : on peut certainement associer les trajectoires du mobile en congruences qui admettent des surfaces-les coupant à angle droit, nous venons de le démontrer; mais il existe aussi des familles de trajectoires ne possédant pas cette importante propriété.

Ce résultat pouvait être prévu. Considérons, en effet, le cas où

47^ LIVRE V. — CIIAP. VII.

il n'y a pas de force. Les trajectoires correspondantes à une même valeur de Ji sont les droites de l'espace, parcourues toutes avec la même vitesse. Or on sait bien qu'un système de rayons rectilignes n'est pas toujours formé des normales à une surface. Mais on sait aussi que, si des droites sont normales à une surface, elles le sont encore à une infinité d'autres surfaces. Cette propriété n'est, on le voit, qu'un cas particulier de celle cjui appartient aux trajectoires d'un mobile et que nous avons démontrée au n° 5o4.

Si on laissait de côté les résultats établis dans ce numéro, on pourrait encore démontrer, comme il suit, le théorème de MM. Thomson et Tait.

Étant donnée une surface (S), on sait toujours déterminer une solution Q de l'équation de Jacobi qui soit nulle pour tous les points de cette surface. Alors les trajectoires du mobile, qui sont normales à toutes les surfaces 0 = const., seront, en particulier, normales à (S). Gomme leur ensemble est déterminé par cette dernière condition, la proposition est démontrée.

En particulier, si la surface (S) devient infiniment petite et se réduit à un point, on aura toutes les trajectoires passant par ce point. On voit donc que :

Toutes les trajectoires du mobile qui passent en un point quelconque sont normales à une famille de surfaces.

Ici encore, on peut introduire une intégrale analogue à celle que nous avons définie au n" 544. On a

Lorsqu'on se déplace sur une trajectoire, l'équation précédente prend la forme

(19) c?0 = 2( U + A) dt = v/a U -1- 2 h cls.

Il suit de là que la différence des valeurs Qj,, Qj,. de 0 relatives à deux points M, M' d'une même trajectoire est exprimée par la

APPLICVTIOX A LÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS LESPACE. 473

formule

L'intégrale qui ligure dans le second membre sera appelée, ici encore, Vaction étendue de M' à M. Les développements donnés par MM. Thomson et Tait montrent toute l'importance de cet élément, qui doit être considéré, au même titre que le travail, dans l'étude des problèmes de Mécanique. La formule précédente donne, en particulier, les théorèmes suivants, analogues à ceux du n** o44 :

Si, sur les trajectoires passant par un point Mo ou normales à une surface quelconque, on considère les arcs, comptés à partir du point d'incidence, pour lesquels l'action a une valeur donnée, le lieu des extrémités de tous ces arcs sera normcd à toutes les trajectoires.

557. Nous allons indiquer maintenant comment on pourra employer une intégrale complète

de l'équation aux dérivées partielles de Jacobi pour résoudre les deux problèmes que nous venons de rencontrer.

D'après la règle de Lagrange, la solution la plus générale de l'équation aux dérivées partielles est fournie par les relations

18 = f{x, y,z,a,b)-{-o{a,b), ^ da da'

i df do

entre lesquelles il faudra éliminer a et b.

Si l'on veut que la solution 9 soit nulle ou, plus généralement, ait une valeur donnée jJL(ar,j^), en chaque point d'une surface (S), donnée par son équation

on remplacera 8 par u et :; par a dans les équations précédentes.

ce qui donnera le système

l ix = f{x, y,l,a,b)-\-^{a,b),

^ da da ' ùb ùb

En différen liant la première relation par rapport k x et à r successivement et tenant compte des deux autres, on aura

/ df df d\ dix àx àX ùx dx

dy d\ ày dy

L'élimination de ^ et dey entre ces deux équations et la première des équations (24) fera connaître cp en fonction de a et de b et déterminera, par suite, la solution cliercliée.

Si l'on veut avoir la solution Q correspondante à toutes les trajectoires passant par un point [xq, y^., ^o), il faudra prendre *

(26) o=^—f(xo,yo,^o,a,b);

je me contente d'indiquer ces propositions, qui appartiennent à la théorie des équations aux dérivées partielles et sont analogues à celles qui ont été données plus haut (n"** 541 et 542).

558. Nous sommes conduits par les résultats précédents à envisager les systèmes de coordonnées curvilignes dans lesquels on définirait un point de l'espace par la valeur des trois quantités

^' ^'^Ta' "^'--Tb

Un point est alors déterminé par l'intersection de trois surfaces appartenant à des familles différentes; les surfaces des familles

Oi = const., O2 = const.

sont engendrées par des trajectoires du mobile normales aux surfaces

0 = const.

On aura donc, en considérant x^ y, z comme des fonctions