APPLICATION A L ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS LESPACE
idx dx dy dy dz dz
et, par suite, l'élément linéaire de l'espace sera donné par une équation de la forme '
ds'- = H* dh- -~ M d(ii -^ -2 N rfO, rfOj -f- P rfO*. On trouvera, comme précédemment (n** 544), la valeur de H
Hî
et, par suite, la valeur de cis- pourra s'écrire
.28) ( 2 U ^ 2 ^ ; ds'- = f/fJî -^niddl-i-in dOi rfO, — /> rf6|,
les quantités m, />, mp — n- étant essentiellement positives. On peut déduire de cette formule le principe de la moindre action et celui d'Hamilton par des raisonnements analogues à ceux que nous avons développés dans le cas de deux variables. Au lieu d'insister sur ce sujet, qui sera repris d'une manière générale dans le Chapitre suivant, nous indiquerons en terminant une formule importante relative à V action.
oo9. Reprenons la relation (29) 0]| — 6m- = / ^-xli -7- 1 h ds
i qui donne l'action M'M étendue à Tare M'M d'une trajectoire. Soit
une solution complète de l'équation de Jacobi et soient
les équations mêmes de la trajectoire considérée. Désignons par jc,j-, z les coordonnées de M et par Xo, J'o, ^0 celles de M'. On
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aura, en vertu des équations (3o), (3i) \
Ces deux équations feront connaître a el b en fonction de x,
y, z, ^05 J)'o5 ^0 et permettront, par suite, d'exprimer l'action M' M par une formule
(32) M'M = 0(a',7, ^; ^0, Jo, ^o),
ne contenant que les coordonnées des points M, M'. 11 est important de calculer les dérivées de cette fonction. Or on a
M'M =f{x, jK, z, a,b)—f{xo, jo, Zo, a, b ) et, par suite, en différentiant totalement, •
oa
da db
Comme les coefficients de ort, ob sont nuls en vertu des équations (3i), il reste simplement
ou, en remplaçant les dérivées de fetfo par les vitesses,
( 33 ) 0 M' M = x' ùx -h y oy -i- ^' 8z — x'ç, oxq — j'q oyo — z'^ ozq.
Cette relation, d'où la fonction y a complètement disparu, et que l'on peut établir aussi par le calcul des variations, est analogue à celles que nous avons démontrées aux n°'* 52o et o40. Elle donne la variation de l'action étendue à un segment de trajectoire M'M (Jig- 36) lorsqu'on passe à un segment de trajectoire infiniment voisin PP'. On peut lui donner une forme entièrement géométrique. Si M'MP, MM'P' désignent les angles que fait en M, M' la trajectoire avec les déplacements infiniment petits MP,
APPLICATION A L ETUDE DES MOUVEMENTS DVXS l" ESPACE.
M'P', on a évidemment
ds
— MP — cosM'iMP,
dt '
ar'o oxo -f- y'^ o^-o -^ ^'o S^o = ^^^ \Tt) ^^^ ^^ ^^ ^' '
ds / ds ^ En remplaçant les vitesses ^' ( ^ ) parleurs valeurs déduites
de l'équation des forces vives, on aura
0 M' M = — AIP /a Lu -H 2 A ces M' M P
M' P' v/2U„.+ 2/i cos M xM' P'
Fiiï. 36.
Cette formule comprend, comme cas particulier, celle qui est relative à la différentielle d'un segment de droite, et elle donne naissance à des conséquences analogues. Nous signalerons seulement la suivante, que le lecteur établira en étendant la méthode donnée au n° 430 pour la démonstration du théorème de Malus.
560. Etant donnée une trajectoire quelconque et une surface (D), on peut imaginer que la trajectoire, à son point de rencontre avec la surface (D), se réfléchisse, ou se réfracte d'après la loi du sinus, de la même manière qu'un rayon lumineux. La loi de la réflexion ou de la réfraction détermine la tangente à la trajectoire réfléchie ou réfractée; et, comme une trajectoire correspondante à une valeur donnée de la constante des forces vives est pleinement définie lorsqu'on connaît un de ses points et la tangente en ce point, on voit que Ion pourra toujours déterminer par une construction géométrique ce que nous appelons la trajectoire réfléchie ou réfractée. Celte définition étant admise, les raison-
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nements du n" 450 et l'emploi de la formule (34) nous conduisent au théorème suivant :
Considérons toutes les trajectoires du mobile qui sont normales à une surface (S), et supposons cju elles se réfléchissent ou se réfractent sur une surface (D), les trajectoires réfléchies ou réfractées seront aussi normales à une surface (S,) que Von construira de la manière suivante : Si M est le point oit' la trajectoire est normale à (S), P celui oii elle rencontre (D), on prendra sur la trajectoire réfractée un arc PM' tel que l'action, étendue à Varc PM', soit égale au produit de V action
étendue à l'arc MP par la constante — ? n étant l'indice de réfraction.
561. On peut imaginer des conditions djmamiques qui obligent les trajectoires à se réfléchir ou à se réfracter d'après les lois que nous venons d'indiquer. Supposons, en effet, que, dans le voisinage de la surface (D), la fonction des forces varie brusquement de telle manière qu'elle soit remplacée par
n étant l'indice de réfraction. Après le passage à travers la surface (D), la loi des trajectoires redeviendra la même; les équations du mouvement (i) et (2) changent, il est vrai; mais il suffît, pour
ramener la forme primitive, d'y remplacer dt par — On aura
donc les mêmes trajectoires, mais parcourues avec des vitesses qui seront augmentées dans le rapport de l'indice /i à l'unité. Pour savoir comment les trajectoires se substituent les unes aux autres dans le voisinage de (D), il suffit d'appliquer le théorème de MM. Thomson et Tait. Si les trajectoires incidentes sont normales à une surface (S), elles demeureront normales à toutes les surfaces que l'on obtiendra en prenant à partir de leur point d'incidence sur (S) un arc tel que l'action étendue à cet arc ait une valeur donnée. Soient M le point d'incidence pour une des trajec^ toires, P le point où elle rencontre D, M' un point de la trajectoire
APPLICATION A l'ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS l'eSPACE. 479
réfractée. On aura
MP = / s/i{j — ilids,
I ^îl} — ilids.
Si donc on détermine le point M' par l'équation
/ \/i[j -r- 2.hds^ n j v^2U — ihds = const., Jn «^P
on devra obtenir une surface normale aux trajectoires réfractées. Cette condition, combinée avec la formule (34), détermine, on le reconnaîtra aisément, la loi de la réfraction, et l'on retrouve ainsi précisément la loi de Descartes que nous avions admise a priori, dans le numéro précédent.
48o LIVRE V. — CHAP. VIII.
