CHAPITRE VIII
LE PROBLÈME GÉNÉXlAL DE LA DYNAMIQUE.
Equations de Lagrange. — Transformation d'Hamilton. — Définition d'ane famille de solutions. — Equations aux dérivées partielles qui définissent la famille. — Familles orthogonales. — Équation aux dérivées partielles de Jacobi. — Usage que l'on peut faire de ses différentes solutions. — Expression de la force vive due à M. Lipschitz. — Principe de la moindre action. — Formule de M. Liouville. — Définition de Vaciion. — Expression de l'action élémentaire au moyen d'une intégrale complète de l'équation de Jacobi et de ses dérivées par rapport aux constantes. — Autre méthode d'exposition des résultats précédents; élimination du temps à l'aide du principe des forces vives. — Définition des angles par rapport à une forme quadratique, travaux de M. Beltrami. — Définition et propriétés d'invariance des paramètres difi'ércntiels AO, A(0, 6J. — Transformations remarquables de la forme quadratique. — Lignes géodésiques de la forme, extension des théorèmes de Gauss. — Application au problème général de la Dynamique.
562, Les méthodes que nous avons appliquées dans les deux Chapitres qui précèdent s'étendent d'elles-mêmes à l'étude du problème général de la Mécanique. Il ne sera pas inutile de développer ici ce nouveau mode d'exposition des résultats fondamentaux qui sont dus à Hamilton et à Jacobi; car nous serons ainsi conduits à certaines propriétés générales des formes quadratiques qui éclaireront les résultats précédents et nous seront utiles dans la suite.
Envisageons un problème de Mécanique dans lequel il existe une fonction des forces, que nous supposerons indépendante du temps. Soient ^j, ^25 •••, Çn les variables indépendantes dont dépend la position du système mobile, q\, . . ., q'^ leurs dérivées par rapport au temps et 2T la force vive, définie par la formule
(1) 2T = aiiq\^ -i- 2ai2q'iq'.2-^. . .=2^2^ai/,q'ig',.,
OÙ les coefficients rt//f sont des fonctions données de ^j, q-^, ..., q,i.
Le mouvement sera défîni par les équations de Lagrange d dT dT d\j
dt dq'i dqi dqt HamîltOD a montré que, si l'on introduit les variables auxiliaires
Pi
dq
i=2^aikqk, (t = 1,2, ...,«),
on peut transformer ces équations de la manière suivante. Posons
Il == T — U.
On peut exprimer H en fonction des variables /?/, qif\ il suffit, pour cela, de déduire des équations (3) les valeurs de ^',, q\, ..., q'^ et de les porter dans l'expression précédente. Si l'on pose
«Il «II «irt
«711 «/Jî «/in
ou, en adoptant la notation de M. Kronecker,
et si l'on désigne par A,* le coefficient de aïk dans le déterminant précédent, les formules (3) nous donnent
1i = -ÎT /'l -
-Pn-
D ^' ■ ■ D Comme on a, d'après le théorème des fonctions homogènes,
(7) lT =pxq\-^...^pnq'n,
on obtiendra sans difficulté la valeur suivante de T
"^^ = k^^AikPiPk,
que l'on peut encore écrire comme il suit
I «11 •- • «i/t Pi
ann Pn Pn O
482 LIVRE V. — CIIAP. VIII.
et de là on déduit
Une fois connue cette valeur de H, les équations du mouvement se présentent sous la forme canonique
. , dqi d\\ dpi ()H
et l'équation des forces vives
s'écrit ainsi
Tel est le premier résultat établi par Hamilton.
563. Considérons maintenant toutes les solutions du problème pour lesquelles la constante des forces vives a une valeur donnée Il et soient
(14) gi=fiiCi.C2,...,C.2n-i,h,t — to), (l = I, 2, . .., n)
les équations qui font connaître les valeurs des variables Çi en fonction du temps.
Les valeurs des variables /?/ définies par les formules (3) seront
àfi dfi dfn
(i5) pi^atx-^^ -\-aii^-\-...-\-aia-^^ (i = i, 2, . . . , n).
Au lieu de conserveries solutions les plus générales, imaginons que l'on établisse, entre les in — i constantes ci et A, n — i relations, d'ailleurs quelconques. Par exemple, on annulera n — i constantes, ou bien l'on considérera l'ensemble des solutions qui correspondent à une même position initiale donnée du système, etc. On obtiendra ainsi des formules contenant seulement n — i constantes
(16) ^,- = cpj(ci, C2, ..., c„i, A, f — io)> (t = 1, 2, . , ., rt),
qui définiront ce que nous appellerons une famille de solutions. On peut éliminer t — t^ et les constantes ci entre les équations
précédentes et leurs dérivées
On sera ainsi conduit à un système d'équations différentielles ('7) q'i= -^j = ^i{quqî,----,qn,h), (t = i,2..... «),
dont l'intégration permettrait de retrouver les équations (i6)et qui peut être considéré comme définissant la famille de solutions au même titre que le système (i6). Si Ton porte les valeurs précédentes dans les formules (3), on en déduira des expressions de Pi, » • 'T Pn^^ fonction de g, , . . . ^ q„
(l8) pc = Wi{qi,qi,...,q,„h),
qui pourront tenir lieu du système (17)- Nous allons maintenant donner les équations qui déterminent les fonctions T/. Considérons d'abord les n équations suivantes
dpi __àVi^ dt dqi
du système (i i); les pi étant exprimées en fonction des variables qiy elles prennent la forme
dpi , dpi , dpi , dH
et, si l'on remplace q\ par sa valeur j- > on trouve
àqk àpk dqi
D'autre part, si l'on porte les expressions de />|, .. .^ pn dans léquation des forces vives
(ao) \i = h,
on doit obtenir une identité. Il faut donc que la dérivée du premier membre par rapport à qi devienne nulle, ce qui donne la relation
àqt ^ J^dpk dqi ~
484 LIVRE V. — en A P. vm.
En la retranchant de l'équation (19), on trouve
Ainsiles variables/?/, considérées comme fonctions de ^, , ..., ^,,, doivent satisfaire aux équations (20) et (ai).
Considérons maintenant le second groupe des équations différentielles (1 1)
dqi d\\
Lorsqu'on 3^ aura remplacé les/?/ parleurs valeurs, on aura formé un système de n équations différentielles du premier ordre, l'équivalent du système (17), dont l'intégration fera connaître les valeurs àe q^^ q^i ...^ q,i en fonction du temps et de n — i constantes arbitraires qui viendront s'ajouter à la constante des forces vives. Toute la difficulté est donc ramenée, on le voit, à déterminer d'abord les expressions de /»i, p^, • • -, p,i satisfaisant aux équations (20) et (21).
564. Le problème étant ainsi transformé, on n'aperçoit nullement que l'on ait fait un pas vers la solution : l'intégration des équations (20) et (21) constitue, en apparence, une question beaucoup plus difficile que celle qu'il s'agissait de résoudre.
Seulement ce problème a des solutions particulières qui sont mises en évidence. On reconnaît, en effet, immédiatement que les équations (21) seront vérifiées si l'on prend .pour/»,, . . . , /;« les dérivées d'une même fonction quelconque 8
Quant à l'équation (20), si l'on y porte les valeurs précédentes des variables pi, elle se transformera en une équation aux dérivées partielles qui définira la fonction 9. Si l'on pose, pour abréger,
on trouve ainsi
et l'on peut énoncer le théorème suivant :
A chaque intégrale de l'équation aux dérivées partielles (23) correspond une famille de solutions du problème proposé pour lesquelles h est la constante des forces vives et que l'on déterminera complètement en effectuant l'intégration du système d'équations différentielles.
(î6) P'=2é!^''^liJ = ^,' (r=I,2,....«).
D'après les raisonnements que nous venons d'exposer, il est clair que le théorème précédent fournit seulement des famillles particulières de solutions; mais nous verrons, et l'on peut démontrer dès à présent, que ces familles particulières comprendront toutes les solutions possibles du problème proposé. Soit en effet (y) une telle solution; elle est entièrement définie par les valeurs initiales />", q\ des variables /?/, qk-, valeurs qui doivent d'ailleurs satisfaire à l'équation des forces vives
Or il existe une infinité de solutions 0 de l'équation aux dérivées partielles (20) telles que l'on ait
— =/>? pour qi=q\. ...• qa = q%.
Dans chacune des familles correspondantes, la solution (•/) définie par les valeurs initiales q^ des variables qi coïncidera avec la solution ("•'); car, pour les deux solutions, les valeurs initiales ^°, q\ de toutes les variables/?,, q^ seront les mêmes.
060. Nous donnerons le nom de familles orthogonales à toutes celles qui sont définies par l'équation (aS) et le système (26). Lorsqu'on connaîtra la solution 0, la détermination complète de la famille correspondante exigera l'intégration du système (26).
Cette dernière intégration sera facilitée, et pourra même être rendue inutile, si la solution Q contient un certain nombre de con-
stantes arbitraires. C'est ea cela que consiste le théorème fondamental de Jacobi, que nous allons d'abord démontrer. Soit
une solution de l'équation (aS) contenant les constantes arbitraires Cl, ..., c\. En différentiant les deux membres de cette équation par rapport à l'une quelconque Cp des constantes précédentes et remarquant que U + A ne contient pas c^,, on trouve
^^TT (kfi dqk dCp ~ ^'
D'après la formule (6), l'ensemble des coefficients de - — - — est
Oq /c OC p
précisément q',^. On aura donc
ou, plus simplement, et, en intégrant,
Âmidqicàcp k
dt \ de,
-r— = const.
oc„
On démontrerait de la même manière l'équation
Ainsi :
Si la fonction 9 contient dans son expression les constantes arbitraires c,, Co, . . . , cx, les équations
sont autant d'intégrales du système (26); de plus, si Von n'a pas attribué à la constante des forces vives une valeur numérique, l'équation
fera connaître le temps.
Si l'intégrale 0 est complète, c'est-à-dire si elle contient
n — I constantes arbitraires Cpj les équations
donneront V intégration complète du système (26).
La proposition de Jacobi se trouve ainsi établie.
Ici encore, par des raisonnements analogues à ceux du n° 000, on reconnaîtra à quelles conditions doit satisfaire l'intégrale complète. Il faut que, si on la considère comme fonction des constantes Cp, elle ne satisfasse à aucune équation de la forme
'' Oci dc„-i I
Cette condition est d'ailleurs équivalente à la suivante : 9, considérée comme fonction de ^i, . .., ^«5 ne doit vérifier aucune équation aux dérivées partielles indépendante des constantes Cp et distincte de l'équation (24).
066. Les équations (29), auxquelles il faut joindre les suivantes
qui feront connaître les vitesses, définissent la solution la plus générale du problème proposé. Considérons, parmi toutes les solutions, celles qui correspondent à une même position initiale du système mobile. Soient q\^ . . ., y° les valeurs des variables qi qui définissent cette position et soit
^ =/(5'>; ••■^9n, ci....,c,i,,A) la solution qui figure dans les formules (3o). Nous poserons
/'o=fiqï, ■■■,g%,ci , c„-i, h);
les équations (29) devant être vérifiées quand on y fait ^/ = <^", on aura
et, par suite, ces équations prendront la forme
488 LIVRE V. — Cil A P. VIII.
En attribuant aux constantes ci toutes les valeurs possibles dans ces équations, on obtient ainsi ce que nous avons appelé une famille de solutions. Cette famille est orthogonale; on peut le montrer de la manière suivante.
D'après la définition même des familles orthogonales, tout revient à établir que l'expression
(32) ^P'^l'^^dqi^^'
est une différentielle exacte après qu'on y a remplacé les constantes Ci par leurs expressions en fonction de q^^ ..., q,i déduites des équations (3i). Or, si l'on considère la fonction
OÙ l'on a remplacé les constantes ci par leurs valeurs déduites des équations (3i), et si on la différentie totalement, on trouve
"^'-liÂ"^^'
dqi ^ AU dcj
de,
Les coefficients des différentielles dcp étant nuls en vertu des équations (3i), ofa devient égal à l'expression (32). La proposition que nous avions en vue est donc établie. Nous la retrouverons plus loin par une voie toute différente.
La solution particulière t que nous venons d'obtenir, solution que l'on peut exprimer en fonction de ^,, . . . , ^,j, ^^, . . . , q^, joue, comme on sait, un rôle fondamental dans la théorie d'Hamilton.
Les raisonnements précédents subsisteraient sans modification si l'on substituait à/o une fonction quelconque
cp(ci, Ci, ...,c„i, h); de sorte que les équations
de
définissent toujours une famille orthogonale. Cette famille correspond à cette solution 9 de l'équation aux dérivées partielles que l'on obtient, d'après la règle de Lagrange, en éliminant c, , Co, • • • , Cn-\
entre réquation
et ses dérivées par rapport aux constantes arbitraires.
