CHAPITRE IX

Les équations harmoniques. Applications analytiques des propositions

développées dans les deux Chapitres précédents 193

Définition des équations et des solutions harmoniques. — Groupes de quatre solutions liées par une équation quadratique. — Application du théorème de M. Moutard au cas où l'on emploie une solution particulière harmonique. — Théorème relatif aux équations linéaires de la forme

— D'une telle équation, lorsqu'on sait l'intégrer pour toutes les valeurs de h, on peut déduire une infinité d'autres équations de même forme que l'on saura intégrer pour toutes les valeurs de h. — Caractère distinctif de toutes les équations linéaires qui dérivent ainsi d'une même équation. — Étude d'une transformation particulière qui permet de passer d'une équation harmonique à d'autres équations harmoniques. — Formule générale permettant de rattacher à toute solution non harmonique d'une équation harmonique une infinité de solutions particulières nouvelles. — Reconnaître si une équation à invariants égaux est une équation harmonique. — Ce problème est équivalent au suivant : Reconnaître si l'élément linéaire d'une surface est réductible à la forme

ds''= [ 9 ( M ) — ']' ( t' ) ] ( du^ -\- dV ) .

— Application à l'équation d'Euler. — Étude d'une équation aux dérivées partielles plus générale. — Indication de quelques sujets de recherche auxquels conduisent les pi'opositions développées dans ce Chapitre.