CHAPITRE IV

Défînition de l'équation linéaire adjointe à une équation linéaire donnée. — Cas particulier du second ordre; relation entre une intégrale double et une intégrale curviligne. — Méthode de Riemann: détermination d'une solution de l'équation par les conditions aux limites auxquelles elle est assujettie. — Double forme de l'intégrale générale. — La fonction u{x, y; x^, y^) peut être définie, soit comme solution de l'équation adjointe, soit comme solution de l'équation proposée. — Détermination effective de la fonction u relative à l'équation E(^, ^'). — La formule de Poisson, généralisée par M. Appell, donne effectivement l'intégrale générale de la même équation. — Démonstration générale de l'existence de la fonction u sur laquelle repose la méthode de Riemann.

— Relation entre les invariants dune équation linéaire et ceux de son adjointe.

— Les suites de Laplace relatives aux deux équations. — Quand l'une des équations s'intègre par l'application de la méthode de Laplace, il en est de même de l'autre.

3o7. Étant donnée une expression différentielle

(i) oix, r. y. ..., r'^h,

contenant une variable x, une fonction )- de x et ses dérivées jusqu'à l'ordre «, on sait que l'équation

. ^ do d (rH d'- [do .

(^> ^-di[dy)^dx^\dy}-----''

exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction ^ soit la dérivée d'une autre fonction •!/ contenant, en même temps que la variable indépendantes, la fonction >• et ses n — i premières dérivées. De même, si l'on considère une expression

/ ôz àz fPz d'-z <r-z \

contenant deux variables indépendantes, une fonction c de ces variables et ses dérivées partielles jusqu'à un ordre quelconque /?,

ôz

ôx ^àz ] à y

ôx-^ 1

/ ôo -

' ôo ^ ôx-^

dx ÔY , ô'^ z " \ ô ^

Ji LIVRE IV. — CHAI'. IV.

l'équalion

exprime la condition nécessaire et suflîsante pour que es puisse prendre la forme

ÔM c)N ôx oy

M et N étant des fonctions de x^ de j', de z et de ses dérivées partielles jusqu'à un ordre que l'on peut toujours réduire à n ou à n — I .

D'après cela, considérons une équation linéaire quelconque d'ordre n

Ôi+''Z

ôx^ ôy''^

Si l'on multiplie le premier membre par une indéterminée a et si l'on écrit ensuite que la condition (4) est vérifiée, on aura l'équation linéaire

qui définira u. Nous dirons que cette équation est Vadjointe de la proposée, pour rappeler l'analogie qu'elle présente avec l'équalion toute semblable considérée par Lagrange dans le cas d'une seule variable indépendante.

Quelles que soient les fonctions z et m, une suite d'intégrations par parties conduit facilement à l'identité

^ ,,, , ÔM r;N

(6) u,iz)-^zi,iu)=-^^-^,

où M et ]N ont les valeurs suivantes

/ , ôz ô{kiQu) I dz i d{knu) ,

) ôx ôx 'A Ôy % ôy

^'^ K, , , dz ô(Ao->u) I , ôz ^ d(Xuii) ,

N = Aoi zu-{- Ao2 u-, -^ +-Aiia- z 1 >

\ " ôy ôy 2 ôx 2 ôx

LA METHODE DE RIEMANX. ~i

el dépendent de :;:, de u et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre n — i. Il importe toutefois de remarquer que les expressions de M et de N ne sont pas complètement déterminées. Le second membre de l'identité (6) ne change pas, en effet, si Ton remplace M et N respectivement par

Or djc

et l'on pourra prendre pour H une fonction linéaire de :-, de u et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre n — 2, sans changer la forme générale des valeurs de M et de N.

On déduira facilement de l'identité (6) que la relation entre les deux équations en z- et en u est réciproque, c'est-à-dire que chacune de ces équations est r adjointe de l'autre. Mais nous omettrons ici le raisonnement très simple par lequel on est conduit à ce résultat essentiel, parce que nous aurons à le présenter sans modification, au Chapitre suivant, dans l'étude de l'équation adjointe de Lagrange; nous insisterons, au contraire, sur la conséquence suivante, qui joue un rôle essentiel dans la théorie (').

(•) Pour établir liiienlité (6) dans toute sa généralité, on peut emplojer le

calcul élémentaire suivant :

On sait que Tcxpression

fjjc Oj:'

est la dérivée exacte dune fonction de a, de v et de leurs dérivées jusqu'à

l'ordre f — i, dont nous omettrons, pour abréger, lexpression développée. Si

d^ V Ton remplace v par -r-^> on aura donc

P contenant les dérivées de u et de t^ jusqu'à l'ordre i-f-/. — 1. Changeons dancette équation u en v, x en y, i en /■ : nous aurons

r>>* u à^ ^ dQ

ox'Oy* dJc' dy^ Oy

et la combinaison de ces deux équations nous donnera l'identité plus générale

Considérons l'inlégralc double

clenduc à une aire plane (A) que nous supposerons simpiemenl connexe et limitée par un contour (S); cette intégrale double aura la même valeur que l'intégral» simple

fiMdj — Ndx),

étendue à tout le contour (S) parcouru dans le sens direct. On aura donc l'équation

qui est tout à fait équivalente à l'identité (G). On reconnaît ici que l'indétermination signalée plus haut pour les valeurs de M et de N n'a plus aucun effet sur l'équation précédente; car, si l'on

remplace M et N par leurs valeurs les plus générales M4-— ^

N — -;- j le second membre s'accroît de l'intégrale

ôx "

qui est évidemment nulle toutes les fois que 8 est une fonction uniforme et finie à l'intérieur de l'aire (A).

P cl Q contenant les dérivées de u et de v jusqu'à l'ordre i -\- k — i. Or on a

et il suffit de faire usage de l'identité (a), où l'on remplacera u par A^^i/ et v par z, pour reconnaître que le terme général du second membre, et par suite le second membre tout entier, peut se mettre sous la forme

dx dy où M et N contiennent les dérivées de ^ et de m jusqu'à l'ordre n — i.