LA METHODE DE RIEMANX

358. L'équation adjointe à une équation linéaire donnée s'est présentée pour la première fois dans un Mémoire de Riemann relatif à la propagation du Son (*). M. P. du Bois-Reymond, qui déjà dans un Ouvrage (-) sur les équations aux dérivées partielles, avait, à juste titre, appelé l'attention des géomètres sur le Mémoire de Riemann. est depuis revenu sur ce sujet dans un court article publié à Tubingue (^), Dans ce qui va suivre, nous traiterons seulement de l'équation

d^z dz ,dz

^ ^ dx dy dx dj

déjà étudiée dans les Chapitres précédents; nous donnerons les résultats de Riemann et nous indiquerons les conséquences que l'on peut en déduire. On a alors

(lO)

'<^> = êi-

dz , dz

— a b- cz,

dx dy

du , du [ -""Tx-^dy^K'

da

~ dx

M = auz-

1 / dz du\

db\

N = buz

I / dz du

■2 \ dx " dx /

Voici l'usage que Riemann fait de l'équation (8).

Supposons que l'on ait pris pour z et pour u respectivement des intégrales quelconques de Téqualion proposée et de son adjointe. On aura

et le premier membre de l'équation (8) sera toujours nul. Celte

(') RiEMAXx, Ueber die Forlpjlanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite {Abhandlungen der K. Gesellscliaft der Wissenschaften zu Gottingen, t. VIII, i86o, et Gesammelte Werke, p. i45)-

(') P. DU Bois-Reymoxd, Beitràge zur Interprétation der partiellen Differentialgleichungen mit drei Variabeln, p. aôo. Leipzig, 1864.

(*) P. Df Bois-Reymoxd. Ueber ein in der Théorie der linearen partiellen Differentialgleichungen auftretendes wolstàndiges Differential. {Mathematisch-natunvissenschaftliche Mitteilungen herausgegeben von D' O. Boklen. Tubingue, t. I, p. 34; i883.)

équation nous donnera donc

(II

Soit A un point quelconque du plan {Jlg. 25) et B'C une courbe tracée arbitrairement dans ce plan. Menons par A des droites AB et AC parallèles aux axes jusqu'à la rencontre de la courbe, et supposons que les intégrales ^, a, aussi bien que les

Fis. 25

coefficients de l'équation proposée et leurs dérivées, soient finies et continues à l'intérieur de l'aire ABC. On pourra appliquer l'équation (ii) au contour AGBÂ, ce qui donnera

(12) / Mdy-^ (Mdy — Ndx)— N dx = o.

Si l'on se reporte aux valeurs de M et de N, on peut écrire

J"n d:c -- y" [A ^1£-) dx -^(^- bu^ dcc\ .

Si donc on désigne, d'une manière générale, par C2p la valeur d'une fonction 'o au point P, on aura

J M dy

{uz)c — (uz)x

r\fôu

au \ dy,

f\ rf^^ (-").■-("--).- r%(g,„)rf^.