LA MÉTHODE DE KIEMAXX

Si l'on porte ces valeurs des deux, intégrales dans l'équation précédente (12), on aura

{uz)x = / {^Idy — 1\ dx)

Étudions les diflférents termes du second membre.

Imaginons que l'on se propose, avec Riemann, de déterminer la solution z de l'équation aux dérivées partielles proposée, qui prend des valeurs données, ainsi que l'une de ses deux dérivées, pour tous les points de la courbe B'C. L'équation

dz = -^ dx ^ -^ dr,

àx oy "

appliquée à un déplacement suivant cette courbe, détermine évidemment celle des deux dérivées premières qui n'est pas donnée a priori; nous pouvons donc considérer les deux dérivées de z comme connues en chaque point de la courbe B'C. Il suit de là que, si l'on a choisi la solution u de l'équation adjointe, les trois termes

{uz)b, {uz)c- f (Mdy — 'Sdx),

qui entrent dans le second membre de l'équation (i3), sont parfaitement connus et dépendent seulement des conditions aux limites données pour ^. Si donc on pouvait calculer les deux dernières intégrales qui figurent dans ce second membre, on connaîtrait Zxi c'est-à-dire la valeur de z en un point quelconque du plan. Or ces deux intégrales dépendent en général des valeurs, tout à fait inconnues, que prend la solution cherchée z sur les segments rectilignes AB et AC. Pour que ces valeurs n'interviennent pas, il est nécessaire que la solution u ait été choisie de telle manière que l'on ait

-7 bu = o, en tous les points de AB,

ox

ait I • I . >^

-7 au = o, en tous les points de AL..

djr

Si ces deux conditions peuvent être remplies, l'équation londamentale (i3) se réduira à la suivante

(14) (-)a ^ (Jl^--±ll^ f\^cl.-M cly),

qui déterminera la valeur de z pour un point quelconque A du plan, en fonction seulement des conditions aux limites.

Ainsi, pour obtenir V intégrale générale de V équation sous sa forme la plus appropriée aux problèmes de la PJiysique mathématique, il suffit de déterminer une solution u de l'équation adjointe satisfaisant aux deux conditions que nous venons d'énoncer.

Ces conditions peuvent être transformées de la manière suivante.

On doit avoir

du ,

ax

en tous les points de AB; x variant seule sur ce segment, on peut intégrer l'équation précédente, ce qui donne

/ h il.v

pour tous les points M compris entre A et B. De même, la seconde condition peut être remplacée par la suivante

j a fly

U., =z ii^e

pour tous les points M situés sur le segment AC.

On peut toujours réduire la constante «^ à l'unité, de sorte (jue, si l'on désigne par a^o, y a les coordonnées de A, par x, y celles d'un point quelconque, la question est ramenée à déterminer une solution

u{x,y; .ro,7o)

de l'équation adjointe, dépendante de deux paramètres Xq., jKo? se réduisant à l'unité pour x-z=Xq, y=y^.^ prenant la valeur

I hdx I "(ly

e' '■" pour y =yo-, et la valeur e -'" pour x = Xf^.