L.V MÉTHODE DE KIEMANN

Tel est le résultat fondamental établi par Rieraann. Le grand géomètre a pu déterminer la fonction u pour l'équation qu'il avait à traiter et qui n'est autre que l'équation E(^, ,3). Nous allons voir que la détermination de cette fonction peut aussi être faite pour l'équation plus générale E(^, ^'); mais, auparavant, nous allons, en restant dans la théorie générale, ajouter une remarque essentielle aux: résultats que nous venons d'exposer.

3o9. Supposons que la ligne primitive BG se réduise aux deux

Fig. -26.

parallèles aux axes B'D et DC et soient j:, , j-, les coordonnées du point D. On aura ici

(i5) / i^dj; — Mdjr)= Ndx— Mdy.

D'ailleurs on peut écrire

et, par conséquent, On aura de même

^X " '■ ■ = ' ^i^Kv^"') ''■

Si l'on substitue ces valeurs des deux intégrales dans les équa-

lions (i5) et {\/\), on aura

(iG) .,= («.-)o-^( u (I -r- O.j cU -~f^^ a (^ -. «.) dj.

Cette formule s'applique à toute solution 5 de l'équation proposée. Elle offre la plus grande analogie avec l'équation générale (i4)' mais elle s'en distingue par une propriété essentielle. On reconnaît en effet immédiatement qu'il n'est plus nécessaire maintenant de donner l'une des dérivées de z sur le contour C'DB'. La connaissance seule des valeurs de la solution clicrchce svir les droites CD et DB' permet de calculer les deux intégrales que contient la formule précédente et d'obtenir la valeur de cette solution. Il faut cliercher l'origine de ce résultat si intéressant dans cette circonstance que le contour nouveau est formé avec les caractéristiques de l'équation linéaire proposée.

Supposons maintenant que l'on prenne ])0ur z cette solution parliculière

^{^■, yi^i, ri) ■

de l'équation proposée qui se détermine par des conditions toutes pareilles à celles que nous avons indiquées pour w(.r, j-; ûCo^j'q) considérée comme solution de l'équation adjointe. Comme il faut changer le signe des coefficients a et b quand on passe de l'une des équations à l'autre, on voit que cette solution devra se réfluire

-f bd.r

pour y = yi à e '1

pour X =^ Xi à • e .>'i

et, par suite, à i

pour x = Xi, J = JKi.

On aura donc

—^-1-^^ = 0 en tous les points de CD. ôx

dz I • , r.1

-T i- az — o en tous les points de oU,

àf

z = i pour le point D.

LA MÉTHODE DE RIEXANX. 8l

Par conséquent, la formule (16) se réduira ici à la relation

c'est-à-dire

-si^o, yo] xi, yi) = "(^i,7i;a-o,^o)-

Cette égalité contient la proposition suivante.

La solution ui^jc, j-; Xo, yo) de l'équation adjointe que nous avons définie précédemment peut être considérée comme fonction des paramètres x^^ y»] elle est alors une solution de l'équation primitive (où l'on aurait remplacé a:, y par x^, y^) et possède, par rapport à cette équation et aux variables a*o, yoi les propriétés par lesquelles elle a été définie comme fonction des variables x, y et solution de l'équation adjointe. En d'autres termes, la définition de II ne change pas si l'on échange l'équation linéaire et son adjointe à la condition d'échanger les deux systèmes de variables X, y et Xo, yo-

Il suit de là que la détermination de cette fonction

u(x,y; xo, yo)

permettra d'intégrer aussi l'équation adjointe par une formule analogue à celle qui a été donnée plus haut : Vintégration des deux équations linéaires, la proposée et son adjointe, se ramène donc à un seul et même problème, la détermination de la fonction u{x, y; Xo, y^). Cette fonction peut être pleinement définie, soit comme solution de l'équation proposée, soit comme solution de V équation adjointe, par les conditions aux limites auxquelles elle est assujettie.

360. Appliquons cette proposition générale à l'équation E(^. ^') et proposons-nous de définir la fonction u{x^y; ^o>.Xo) relative à cette équation, en la considérant comme une solution de l'équation adjointe assujettie aux conditions que nous avons indiquées. L'équation adjointe est alors

d^u 3' du 3 dM 3 ^ 3'

ox ôy X ^ y ûx x — y ày (x — y)^

Pour faire disparaître le dernier terme, il suffit de poser

et l'on oblieni l'équation

d^v 8 dv S' ôv

^ "" ax ôy X — y ox x — y oy

dont une solution quelconque se représentera, suivant la notation du n° 345, par Z([5', ^). On aura donc

Parmi les solutions particulières Z, il en est d'assez générales que l'on peut faire dériver de celles qui sont homogènes. Nous avons vu au n° 347 que

est une solution de l'équation E([i, [3'). Si l'on échange ^ et [3', l'expression

sera une solution particulière de l'équation (19); elle ne contient qu'une constante \\ mais la proposition du n° 349 permet d'en introduire deux nouvelles. Nous avons vu, en effet, que l'on peut effectuer sur les variables x ç.\. y\^ substitution linéaire

y — jo

à la condition de multiplier par un facteur, qui sera ici l^x~ x^Y^'{y — Xç,Yl>.

En effectuant cette double opération, on obtient la solution plus

générale

V = ^y^-x)\x - ^o)-P'-M7 - ^oH F(- \ ,3, I- P'- X, a), oiî l'on a posé, pour abréger,

(^ — 7o)(r — ^0) Il suffît de multiplier par {y — .r)P+P' pour obtenir enfin la