LA MÉTHODE DE RIEMANX

valeur suivante de it

, i "^Cro — ^)'-(^o— ar)-P'-^

I x(^-:r)?+?'(r-:ro)-?F(-X,?, ,3'-X,cr),

qui va nous conduire au résultat cherché.

Nous nous proposons, en effet, de déterminer une solution particulière u de l'équation adjointe, se réduisant pour x = Xq k

J ""^^ • • • / r — X ^ ?' l'intégrale e r» qui a ici pour valeur ( • ~ ) , et se rédui-

sant de même à ( '^" ^ ) pour y = j-q. Or si, dans l'expression

précédente de w, on fait x = Xq, y s'annule: la série F se réduit à l'unité, mais il reste le facteur (x^ — x)~^~?' qui annule la fonction u ou la rend infinie, à moins que l'on n'ait

Adoptons cette valeur de X, u prendra la valeur

(sa) u = (y^—xr?{y — x)^?'iy-Xo)-?F(% ?', i, cr);

si l'on fait x = Xo, ou aura

HyF^''-

si l'on fait de même j^ := ^-q, on aura

ff = o, U=[ ;

par conséquent, la valeur (22) de u sera la solution cherchée. Ainsi, appliquée à l'équation E(|3, ^'), la méthode de Riemann réussit pleinement et permet de déterminer les intégrales de l'équation parles conditions aux limites les plus générales. Il suffira de porter la valeur précédente de u dans l'une ou l'autre des équations (i4) ou (16) pour obtenir l'intégrale générale de l'équation. Si l'on emploie, par exemple, la formule (16), la valeur de z se présentera sous la forme suivante

y et cp désignent les deux fonctions arbitraires qui dépendent des valeurs aux limites pour z et la notation Oa,p indique, d'une manière générale, le résultat de la substitution de a, [3 à la place de X et de jK dans la fonction $(x, y).

361. 11 nous reste maintenant à établir un point que nous avons regardé comme essentiel et à montrer que la formule (28) [p. 68] de Poisson et de M. Appell donne effectivement toutes les intégrales de l'équation proposée. Nous présenterons d'abord les remarques suivantes sur cette intégrale.

L'équation E( [3, ^')

d^-z p^ ôz ^ dz

dx dy X — y ùx x — y ôy

a ses coefficients finis et continus tant que x est différent de j^. Si l'on trace {fig- 27) la bissectrice de l'angle yox^ on peut dire que cette droite est une ligne de discontinuité pour l'équation précédente, de sorte que les coefficients de l'équation demeurent toujours finis et continus tant qu'on reste d'un même côté par rapport à cette droite. Examinons ce que devient l'intégrale de Poisson lorsque jK se rapproche de x.

Si l'on se reporte à la forme (29) [p. 68] de cette intégrale, le premier terme du second membre a pour partie principale

Cette valeur approchée peut être regardée comme le premier terme du développement suivant les puissances de {y — x)^ les termes non écrits ayant des degrés supérieurs d'w/i nombre entier à celui du terme conservé.

De même l'expression approchée de la seconde intégrale de la formule (29) [p. 68] sera

H^)j\'^'-\^-t)^-' dt=^^^^p^^x).

Il résulte de là que, pour toute solution donnée par la formule de Poisson, le développement suivant les puissances àe y — x se