L.V MÉTHODE DE RIEMAX.N

compose de deux séries de termes, les uns de degrés entiers, les autres d'un degré égal à i — ? — ?' augmenté d'un nombre entier; et, en limitant le développement au premier terme de chacune des deux séries, on aura pour l'intégrale l'expression approchée

Cette formule nous indique la voie qu'il faudra suivre pour vérifier que toute solution de l'équation est donnée par la formule de Poisson. On cherchera à établir d'abord que, dans le voisinage de la ligne de discontinuité, la solution considérée est réductible à la forme

La comparaison de cette forme à la précédente fera connaître les fonctions Zi et <!/ qui doivent figurer dans la formule de Poisson ; et il ne restera qu'à vérifier une équation où ne subsistera plus rien d'inconnu.

Appliquons cette méthode à l'intégrale générale, telle qu'elle est donnée par la formule (23). Le troisième terme se déduisant du second par l'échange de x et de j', on peut se contenter de vérifier que les deux premiers termes du second membre sont donnés, l'un et l'autre, par la formule de Poisson.

Pour plus de netteté, nous supposerons que l'on se place audessus de la ligne de discontinuité, comme il est indiqué dans la ^g. 2^ ; Xi, yi étant les coordonnées de D, Xq, Vq celles de A, on aura

a'i< j'o<:»'o<ji:

j^o, j'o sont ici les variables indépendantes.

Le premier terme de l'intégrale (23) est w( J^i, y\ ; x^, y^) multiplié par la constante -x,,^^,- ^^ous avons donc à vérifier d'abord que l'expression

u{x,y: xo,j'o),

considérée comme fonction des variables Xa,yo, vérifie l'équation proposée et, de plus, est donnée par la formule de Poisson. Conformément à la méthode générale que nous venons d'indiquer, il faudra donc obtenir d'abord son expression approchée lorsque Ko — Xq devient infiniment petit. Si l'on se reporte à l'expression

(22) de u et à la définition de t, on voit que l'on aura

I — (7 est donc du même ordre que y^ — Xç,, et l'on est conduit à développer F(j3, ^', i, a-) suivant les puissances de i — a. Pour

Fi g. 27.

cela, nous emprunterons la formule suivante à la théorie de la série hypergéométrique (^) :

Si l'on porte cette valeur de F([3, [^', i, o-) dans la formule (22), on en déduira immédiatement l'expression approchée de u^ lorsque yo se rapproche de x^. Il suffit de réduire les séries F à l'unité et l'on trouve ainsi, pour les deux premiers termes de u^

' {a-, -xY^'iy - a7)P+P'(j - ^0)-?

La comparaison de cette formule avec l'équation (24), où l'on aurait remplacé x et y par ^0 et jKoj nous donne immédiatement

C) FoiV- le Mémoire de M. Goursat, déjà cité [I, p. 188] {Annales de l'École Normale, 1" séi'ie, t. X; 1881).