LA MÉTHODE DE RIEMANN

les deux fonctions qui doivent Cgurer dans la formule de Poisson. On trouve ainsi

^^^^ iH<^)= A(a — x)-?'(7-ar)^P'(^ — a)-?,

A désignant la constante

r(i— 3 — 3')r(^-^3') sin3-sin^'Tr

^- r(P)r(i-?)r(^')r(i-^\) ~ 7:sin(p + p')7r*

Si l'on porte ces valeurs de 'f(3t), •}(a) dans la formule de Poisson, on trouve le résultat suivant

u=A{y- a:)pH-?'(j^„- Xo)»-P-?'

et il n'y a plus qu'à vérifier la concordance de cette expression avec celle qui est donnée par la formule (22). La vérification est aisée, si l'on opère de la manière suivante.

Égalons les deux expressions de u : l'équation à vérifier prendra la forme

I (tl — x)-?'(y — ay^iyo— %)?-^ix — Xo)^'-^ dx - k(y - xy-^?-^'{y^-x)^\y - Xo)?

et l'on reconnaît presque immédiatement que les deux termes du second membre ne changent pas de forme si l'on effectue sur a, x, y^ Xq^Yq une même substitution linéaire. Choisissons les coefficients de cette substitution de telle manière que x, jTo, y^ se réduisent respectivement à oc, o, i . Alors y se réduira à —— ^ ' 7 étant le rapport anharmonique déjà défini par la formule (20). Le

oo LIVRE IV. — CHAP. IV.

second membre de l'égalité à vérifier deviendra

A f [i — a(i-a)]-|i(i — a)?-ia?'-i^a

— A(i J)i-P-P' f [,a(i — a)]P'-Mi — a)-p'a-^t/a.

D'après une formule bien connue d'Euler, les deux intégrales précédentes s'expriment au moyen de séries hypergéomélriques et l'on retrouve les deux termes du second membre de l'identité (20). L'égalité que nous avions en vue est donc vérifiée.