Passons maintenant au second terme

.Ta

de l'intégrale de Riemann. Nous avons donné l'expression approchée de w^ yj lorsque ^0 — j^q se rapproche de zéro. Si on la porte dans l'intégrale précédente, on aura de même l'expression approchée de cette intégrale

La comparaison avec la formule (24) donne encore les deux fonctions qui doivent figurer dans la formule de Poisson. On trouve ainsi

cp(a)--A f '(a-a7)M(ji-^)(7i-a)P'-i/-(^)rf^, (|/(a) = A/ {% — x)~'^'{yi — x)^+^'{yi — y.)-'^f{x)dx,

A étant la constante déjà définie. Il suffit maintenant de vérifier que, en introduisant ces valeurs de «p et de <]> dans l'intégrale de Poisson, on retrouvera le terme

f{x) dx.

L\ MÉTHODE DE RIEMWX. 89

La substitution des valeurs de o(a), ^{^) donne deux termes qui sont, l'un et l'autre, de la forme

On a ici

^i<^o< «<J'o<ri-

Quant à la variable d'intégration x, qui est comprise entre a et j:<, elle peut être, soit plus petite, soit plus grande que Xo- On peut donc décomposer ainsi 1 intégrale précédente

f dx P d.r — / doL V dx.

Pour le premier terme, l'ordre de grandeur des variables sera défini par les inégalités

On pourra donc intervertir l'ordre des intégrations, ce qui donnera

- Ç dx Ç \ d%.

Pour la deuxième, on aura

xi<ix < j-o < 3t < jo < Ji; et, par suite, on pourra la remplacer par la suivante :

' dx I Vd%.

Appliquons ces transformations aux deux termes qui composent l'intégrale de Poisson; nous aurons le résultat suivant :

— A r /(x)(yi-x)dx f *0'o-a)-?'(«-^o) ?(»--P)?^'< ri -=')?'-' ^^

— A ^ /{x){yi—x)dx j (ro- ar?'(2 — ^o> f*(ï -^)?-*(ri — a)?'-* dvi

+ \ f ^ f{x){yo- a:oy-?-?'0-i~ X)?-?' dx T'O-^- 0L)?-i{x - xo)?'-*

x(a — x)-?'(yi~ %)-? di

-A f 'f(x)iyo-Xoy->-rO't - x)P^?' dx f "( Vo- a)?-i (a - xo)?'-'

x(a ~ xy-?'(yi— ■z)-^ dz.

go LIVRE IV. — CHAP. IV.

Le premier et le troisième terme représentent précisément l'expression

^''Jc,y,f{x)dx,

qu'il s'agissait de retrouver. Il suffît, pour le reconnaître, de se reporter à l'expression (27) àe u; quant au deuxième et au quatrième terme, leur somme est nulle, en vertu de l'équation

(ri- ^)^-^-P' / (Jo- arP'(a - :ro)-P(a - ^)?-i(ri - a)?'-i d%

que l'on vérifiera comme il suit. On effectuera sur la variable de la première intégrale la substitution linéaire par laquelle j)^o> ^0, jK,, ^ se changent respectivement en x, j^<, x^^ jKo et l'on retrouvera la seconde intégrale.

363. L'intégrale de Poisson une fois établie d'une manière rigoureuse, on peut, en l'étudiant, obtenir différents résultats qui ont un réel intérêt pour la théorie des équations aux dérivées partielles. Nous signalerons seulement le suivant, que l'on déduit aussi de la formule (28).

La formule de Poisson contient deux fonctions arbitraires C3(a) et 4'(^)- Supposons que l'on connaisse ces fonctions seulement pour les valeurs de a comprises entre les deux constantes a^ et a,; l'intégrale générale ne pourra être déterminée que pour les valeurs de ;r et de y comprises entre ao et a,. Admettons, pour fixer les idées, que l'on ait prisjK supérieur à x. Si l'on construit {Jlg. 2-^) la bissectrice OC'B' de l'angle des axes et les points G', B', d'abscisses ao et a,, la valeur de l'intégrale sera connue pour tous les points du plan compris à l'intérieur et sur les côtés DB', DC du triangle DB'C; mais il sera impossible de la déterminer en dehors de ce triangle.

Nous avons supposé les fonctions cp et 'h déterminées seulement pour l'intervalle (ao, a,). Il est clair qu'on peut les prolonger au dehors de cet intervalle d'une infinité de manières, en s'assujettissant même à conserver la continuité des dérivées jusqu'à un