LA MÉTHODE DE RIE MANN

ordre quelconque, soit pour a = 7.0, soit pour a= a,. En adop tant ces différents prolongements, on aura différentes intégrales de l'équation proposée qui auront, toutes, les mêmes valeurs à l'intérieur du triangle DB'C, dont les dérivées seront les mêmes jusqu'à un ordre quelconque pour les points de chacun des côtés DB', DC, mais qui différeront à l'extérieur du triangle. Ainsi, une intégrale de l'équation proposée qui est assujettie à prendre des valeurs données sur les côtés DB', DC du triangle DB'C est bien déterminée pour les points placés à l'intérieur de ce triangle; cela résulte de la formule (aS); mais elle ne l'est en aucune manière à l'extérieur du triangle. Elle pourra prendre à l'extérieur une inanité de svstèmes de valeurs que l'on pourra définir d'une manière très générale, en s'assujettissant même à respecter la continuité de -:; et de ses dérivées jusqu'à un ordre quelconque pour tous les points de DB' et de DC. Ce résultat si intéressant tient à ce que les droites DB' et DC sont des caractéristiques. La formule générale de Riemann nous montre en effet que, si, sur toute autre courbe qu'une droite parallèle à l'un des axes, la fonction est donnée ainsi que ses dérivées premières, elle est déterminée par cela même des deux côtés de la courbe.

364. L'étude approfondie que nous avons faite de la méthode de Riemann, dans le cas particulier de l'équation E(3, ,3'), va nous permettre de revenir sur la théorie générale développée dans les n°* 358 et 3o9, et de faire disparaître une objection que l'on peut adresser à cette théorie. La valeur de z donnée par la formule (i4) vérifie, on peut s'en assurer, l'équation aux dérivées partielles (9); elle satisfait également aux conditions aux limites qui ont été posées a priori; mais on peut objecter que l'existence de la fonction a, sur laquelle reposent tous les raisonnements, et que nous avons déterminée dans le cas particulier de l'équation E(^, P'), n'est nullement établie pour les équations les plus générales. On peut lever cette objection, au moins pour le cas très étendu où les coefficients a, b, c de l'équation linéaire sont des fonctions finies et continues, par conséquent développables en séries.

La fonction u, considérée comme solution de l'équation adjointe, doit se réduire, pour y^=yQ^ à une fonction déterminée de x.

/ bdx r adv

e ••" et, pour x=^Xo, à une fonction déterminée dej', e'^yo Ces deux fonctions sont évidemment développables en série suivant les puissances de x — .r,,, y — y^ toutes les fois qu'il en est de même des fonctions a et b. Il suffira donc, pour mettre hors de doute l'existence de la fonction «, d'établir la proposition générale suivante :

Etant donnée l'équation linéaire

, „ ô^z . dz , dz

û.r oy ax ay

dont les coefjicients a, 6, c sont développables en séries ordonnées suivant les puissances entières et positives de x — Xq^ y ■ — ■ l'oi il existe une solution de l'équation aux dérivées partielles, se réduisant, pour y =. y^, à une fonction déterminée 'f{x) de X, développable suivant les puissances de x — Xq, et, pour X = x^, à une fonction ^{y) de y, développable suivant les puissances de y — Vq.

Pour démontrer cette proposition, nous elTectuerons d'abord la substitution

X 1 370 -i ' y I To -I- - >

p et a- étant deux constantes que l'on choisira de telle manière que les développements des fonctions «, 6, c, C5(x), <i'(jK), qui sont ordonnés, après la substitution, suivant les puissances de a: et de r, soient convergents pour toutes les valeurs de ces variables de module inférieur ou égal à V unité. Cela posé, proposons-nous de déterminer toutes les dérivées de la fonction cherchée ;; pour x = y^o.

Puisque z doit se réduire à cp(^) pour j^=(), cette condition déterminera toutes les dérivées de z par rapport à la seule variable X', de même, puisque z doit se réduire à '|(jK) pour ^ = o, on connaîtra toutes les dérivées par rapport à la seule variable jk; enfin, l'équation aux dérivées partielles fera connaître, en fonction des précédentes, toutes les dérivées prises à la fois par rapport à ^ et ày. On peut, avec toutes ces dérivées, former le développement en série de la solution cherchée suivant les puissances de x

LA MÉTHODE DE RIEMAXN. ijS

el de y, et tout se réduit à établir que ce développement est convergent; car, s'il en est ainsi, il satisfera évidemment, et aux conditions aux limites, et à l'équation proposée.

Or, les séries qui développent les fonctions a, 6, c, es, 'l étant convergentes dans un cercle de rayon i , il est toujours possible de trouver des constantes M, \, P, H positives et telles que les dérivées d'ordre quelconque de a, b, c, es, -i aient des modules respectivement inférieurs aux dérivées correspondantes des fonctions

Si donc on se propose le problème suivant : « Déterminer une fonction satisfaisant à l'équation

d*-z M ôz \ dz P

dx ôy 1 — X — y Ox I — X — y dy (i — x — ^')-~'

se réduisant, pour ^-^ o, à et, pour j" = o, à », on ob-

tiendra, pour définir cette fonction, une série dont tous les coefficients seront certainement supérieurs à ceux de la série relative à l'équation donnée. 11 suffira donc de démontrer que celte nouvelle série est convergente pour les valeurs de x et de y suffisamment voisines de zéro.

Le nouveau problème auquel nous sommes ainsi conduits est virtuellement résolu dans ce Chapitre; car, si l'on remplace, dans l'équation, x par i — x, elle prend la forme même de l'équation (i) considérée au commencement du Chapitre précédent [p. 54] et peut, par suite, se ramener à l'équation E(3, 3), pour laquelle nous avons résolu le problème proposé. Le résultat, que nous nous contenterons d'indiquer, conduit à une fonction qui est réellement développable en série ('). Il est donc possible de

(') Si l'on augmente les constantes M et N en les amenant à vérifier la relation

si Ton remplace ensuite les deux fonctions > par — — .

94 LIVRK IV. — Cil Al'. IV.

déterminer une solution de l'équation aux dérivées partielles proposée par les conditions aux limites que nous avons indiquées, et d'établir le théorème général sur lequel repose l'existence de la fonction a.

365. Les relations que nous venons d'établir entre une équation linéaire et son adjointe ont un caractère très général; il en est d'autres que nous allons signaler et qui se rapportent au cas où l'une des deux équations peut être intégrée par la méthode de Laplace. Considérons, en même temps que l'équation aux dérivées partielles

dz , dz

^a- ho ^ cz

dx Oy

dx dy

son adjointe

d^z dx dy

dy y 'dx

db \

et proposons-nous d'abord de calculer les valeurs des invariants h et k de cette équation. Si l'on désigne ces valeurs par h' et k' , on trouve

Ainsi les invariants de l'équation adjointe sont égaux à ceux de V équation proposée, mais pris dans un ordre différent.

Il suit de là que, si l'on à h = k, on pourra passer de l'équation à son adjointe par la substitution de \z à z, \ étant une fonction déterminée. C'est ce que l'on vérifie aisément; car, si l'on ramène l'équation linéaire à sa forme réduite, qui est, dans ce cas,

dx dy

on reconnaît immédiatement que l'équation est alors identique à son adjointe.

; ) on peut obtenir, pour la fonction auxiliaire, la forme très simple

xy ~\

où a et [î désignent deux constantes réelles, fonctions de M et de P.