PM

qui comprend comme cas particuMer les formules (12) et (17). On aura de même

. Up

pp+t pp-i-i • • • **«

t-'.ij« t'nj.» • - • Pn

Jn-p-l) ,Jn-p-\) ,,'n-p-l)

371 . L'emploi des propositions précédentes conduit rapidement à l'intégrale générale de l'équation avec second membre

où R désigne une fonction quelconque de la variable indépendante.

Si l'on multiplie, en effet, les deux membres de l'équation précédente par (\, on aura, en intégrant,

c'est-à-dire

(21) yi{u, r/)- f^vidjc.

Il suffit d'attribuer à i toutes les valeurs 1,2. . . . . n et de résoudre les équations obtenues, qui sont du premier degré par rapport à la fonction inconnue 11 et à ses dérivées u' , u" , • • • , «f""". La résolution se fait très simplement de la manière suivante.

Posons

(22) u'* = Al m/ — hi «'/' — .. . ~ h„ u'^'\

hi, /«a, • • • , h„ désignant des inconnues nouvelles que Ion substituera k II et à ses dérivées. La substitution des valeurs de 11, II'. .... données par la formule précédente dans l'équation (21),

Io6 LIVRE IV. ~ CHAP. V.

nous donnera

Al W(ui, Vi) -,- IuW{u^^, p,.) -I-. . .^ h^^ ^l'{un, Vi) ^ I Kvi dx. Si l'on tient compte des relations (i3), il reste hi = I Rçi dx.

Par suite, la solution cherchée et ses n — i premières dérivées sont déterminées par les formules

( ■!■] ) u^-S^ ui Çv^Vi dx, u^i<'^ == >' ;ti/' / R v: dx

fn Vi dx, «(/•■) == V iis/^ ' Tr Vi

Le résultat se présente sous la forme même que l'on doit obtenir lorsqu'on applique la méthode de la variation des constantes

arbitraires due à Lagrange.

372. Pour compléter cette étude des relations entre une équation linéaire et son adjointe, nous indiquerons une forme remarquable que l'on peut donner aux deux fonctions f{u) et g{^')-

Il suit de la théorie même de l'équation adjointe que l'on peut mettre /(?i), et d'une infinité de manières, sous la forme

I dfi(u)

^n+l dx

En appliquant la même transformation à ft (u) et à toutes les fonctions que l'on introduira successivement, on obtiendra pour /"une expression telle que la suivante

,^, f, ^ __ 'i d i d j d II

a,i^i dx ix„ dx oL-i dx a^

chaque différentiation portant sur tout ce qui suit. Multiplions par ç et posons

^ ^^ l yn ; a„,+i dx dn-i dx a2 dx aj '

ai

l'équation adjointe de lagrange. 107

soit de même

li-i-x dx a/i» dx a„ dx ot/n-i

2] dx 1i dx Xn dx 1n~\

D'après ces définitions des fonctions fi{u)^ §k{v), on aura

\ dfi{u) /-./„^ I dfi+i{u)

•^("^ = — -"ïÈr^ •^■«"^ = i:^-: ^ï

Une suite d'intégrations par parties nous donnera les formules j vf{u)dx = j g„ ( v)dfi (a)

-fA{u)dgn{v) =Jg„-^{i>)dMu)

= ^«-i(»')/i(«) — I fsiu)d gn-i(v ), • >

—jMu)dgi{v)=Jug{v)dx.

Si l'on ajoute toutes ces équations, on obtiendra l'identité ,. . ( f[s^f{u)-ug(,^;)\da:

^ = gn(y) fl{u) ~ gn-iKV) fi{u) -^ . . .^ gl{v) fn^^u),

d'où il résulte que g{v) est le polynôme adjoint à f{u) et que Ton a

(28) ^{U,V } = gn{v) fi{u) — gn-x[v) fi{u ^ — . . .^ gl{v) fn{u).

Cela posé, les différentes solutions particulières de l'équation

Io8 LIVRE IV. — CIIAP. V.

proposée peuvent être représentées par les formules

/ Mj = ai,

U2 — aj / a^ d.r,

( '!) ) / 1/3 — ai / a, dx i a^ dx,

1 / OL, dx I ■ ■■ I ccn dx,

chaque signe intégral portant sur tout ce qui suit. De même les solutions de l'équation adjointe, que nous désignerons par (v,, w-i, . . . ^ iv„, seront

1 / a,i dx,

(3o) ' w-i^ a„n / y.adx j a,.j-| dx,

'^n ^ ^n+i j '^,1 dx . . . / a, dx.

Pour plus de netteté, nous supposerons que toutes les intégrales soient prises entre a:^ et a:", x^ étant une constante. Si l'on se reporte à la définition des fonctions f\,fï-, ...,f,ii on reconnaît que l'intégrale particulière ui annule identiquement les n — i premières et réduit à l'unité la (/i — ï + i)'^™''. Quant aux suivantesyrt j^2, • - • 5 fni elles auront toutes la forme d'une intégrale prise entre les limites ^0 et x. On trouvera, par exemple,

et ainsi de suite. Toutes ces fonctions, qui ne sont pas nulles en général, le deviendront cependant pour x =^ Xq.

De même, la solution (v^, substituée dans les fonctions ^t(('), les annulera toutes, pour x^=Xf^, sauf la fonction g„ff^i qui se réduira à ( — j)*~'.

D'après cela, substituons, dans la formule (27), Ui à la place de II, iv/i à la place de c. La dérivée v f[uj — ■ug(v) du premier

l'équation adjointe de lagbange. 109

membre étant nulle, le second membre doit se réduire à une constante. On peut donc, pour calculer cette constante, donner à x la valeur particulière j:-^. La seule fonction f/^ qui ne soit pas nulle est alors //i-:+i qui se réduit à l'unité. On a donc

Mais la fonction gi(w/t) est nulle tant que l'on n'a pas

et elle est égale à — i)""* si celte relation a lieu entre les indices. On aura donc '

I ^'{Ui, Wk) = V— i/~* pour i—k = n — i\ { T(«,-, Wk) = 0 pour i — k ^ n — i.

Si l'on pose

Vi^ {—ly-'Wn-i+u

ce qui donnera le système suivant

vi^ — 0"-' ^u^\ j :t„dx j . . j T-i dx,

Pi ^ < - l)"^* ^n -\ j ^n dx I . . . j 7.^ dx,

Vi ^ (— i)«-' a,^i j 1,^ dx j . . . a,vi dx,

Pn = 2/1-1-1,

il viendra

(33) T(ui,v.)=^i, ^■{ui,v/^.) = o,

c'est-à-dire que les t/ seront les solutions correspondantes ou adjointes aux Ui, dans le sens que nous avons donné à ce mot au n^ 370.

373. Nous allons maintenant appliquer les propositions précédentes au cas où l'équation adjointe admet les mêmes intégrales que l'équation proposée. On a alors

p étant une indéterminée que l'on obtient par la comparaison des coefficients de u^'^^ dans les deux membres. On trouve ainsi, en se reportant à la valeur (3) de i^((0,

de sorte que l'on a nécessairement

(34) giu)=f{u) si l'équation est d'ordre pair, et

si l'équation est d'ordre impair.

Il y a donc une différence essentielle entre les équations d'ordre pair et celles d'ordre impair. Les premières se rencontrent dans la théorie de la variation seconde des intégrales simples; Jacobi en a donné les principales propriétés (^). Les secondes, que nous rencontrerons dans la suite, ne paraissent pas avoir été étudiées.

Supposons que l'équation linéaire soit d'ordre impair in — i et reprenons l'équation fondamentale (7) où nous remplacerons g{v) par —- f{v)' Nous aurons alors

(36) j'lvf{u)-:^uf{v)\dx~^W{u,v).

Cette relation ayant lieu pour toutes les formes possibles des fonctions u et p, remplaçons-y v par u\ elle deviendra

(37) / u f{u) dx =- -W{u,u).

Ainsi toute équation linéaire d'ordre impair équivalente à son adjointe admet une intégrale du second degré, et son

( ' ) Jacobi, Zur Théorie der Vai-iations-Rechnuiig luid der Differential- Gleichungen {Journal de Crelle, t. XVII, p. 68; i836.) Une traduction de ce Mémoire a paru dans le Journal de Liouville, i" série, t. III, p. 44- On pourra consulter aussi :

Bertrand (J.), Démonstration d'un théorème de M. Jacobi {Journal de l'École Polytechnique, XXVIII' Cahier, p. 276; i84i).

Hesse ( 0. ), Ueber die Criterien des Maximums und Minimums der einfachen Intégrale {Journal de Crelle, t. LIV, p. 827; 1807).

l'équation adjointe de LAGRANGE. III

premier membre devient une dérivée exacte quand on le multiplie par la fonction inconnue (M.

Celle élégante propriété caractérise, il est aisé de le prouver, les équations de degré impair équivalentes à leur adjointe. Si le premier membre d'une équation linéaire devient une dérivée exacte quand on le multiplie par la fonction inconnue, l'équation est nécessairement d'ordre impair et elle est équivalente à son adjointe.

Soit, en effet,

u f{u) dx = U{u)

l'équation qui exprime la propriété précédente. Remplaçons u par u -î- KVj A désignant une constante, et égalons les coefficients de ). dans les deux membres. iSous aurons une ésralité de la forme

D'après la proposition générale du n° 369, celte relation exprime que l'adjointe de la fonction linéaire f(u) est — f{u)- L'équation linéaire considérée sera donc équivalente à son adjointe et, en vertu de la remarque faite plus haut, elle sera nécessairement d'ordre impair.

374. Si Ion substitue une solution de l'équation proposée dans l'intégrale du second degré IT(m), celle-ci se réduit à une constante. Cette constante pourra-t-elle devenir nulle lorsque la solution substituée sera quelconque, mais réelle? Afin de décider ce point, qui est essentiel pour la suite, nous allons indiquer une forme remarquable du polynôme quadratique II (m).

Si l'on sépare dans n(w) les termes qui contiennent la plus haute dérivée de u, on pourra lui donner la forme

II( M I = IIii fi -r- u^^"~^'(aiu'^n-^- — a2a»'»-3; — . . .~aî„-iU\

(•) Tontes les équations linéaires admettent des intégrales du second degré, en nombre illimité; mais, dans le cas général, le premier membre de Téquation ne devient une dérivée exacte que si on le multiplie par une fonction linéaire de u et de ses dérivées jusqu'à l'ordre n — i qui contient nécessairement a("-«).

Uf(u) contenant les dérivées de ii jusqu'à l'ordre a/i — 3 seulement. En prenant la dérivée de IT, on aura l'expression suivante

des termes qui contiennent la plus haute dérivée de u. Comme -T- est égale à u/(u) et doit contenir u en facteur, on aura nécessairement

et !!(«) sera, par suite, de la forme

U{u) — Çp(:p)MM'2rt-2) ^ IIi(m),

\l^ étant le polynôme déjà défini. Cela posé, mettons à la place de u une solution de l'équation proposée s'annulant, ainsi que ses lin — 3 premières dérivées, pour une valeur particulière quelconque Xq donnée à x. La fonction \\(^u) sera nulle, pour x = Xq : cela résulte de la formule précédente; et, comme elle doit se réduire à une constante, elle sera nulle pour toutes les valeurs de X.

Il est donc établi que, si l'équation proposée a ses coefficients réels, il y a une infinité de solutions réelles annulant l'intégrale homogène du second degré n(i/). Soit v une telle solution, pour laquelle on a

Si on la porte dans la formule (36), on obtiendra, pour toute fonction u^

ou, en remplaçant u par vu,

(39) jvf{uv)dx:^W{uv,v).

D'après l'équation (38), le coefficient de u dans le second membre est nul. On aura donc

(40) j vf{uv)dx ^fi{u'),

l'équation adjointe de lagrange. ii3

/t(f>)) désignant une fonction linéaire de co et de ses dérivées jusqu'à l'ordre 2// — 3. Nous allons montrer que cette fonction nouvelle est, elle aussi, égale et de signe contraire à son adjointe.

Considérons, en effet, l'intégrale

/ ^fi(*^ ) dx.

Si l'on y remplace, pour un instant, tu parla dérivée u' d'une autre fonction, elle devient, en vertu des équations (Sg) et (4o)

/ u'fi{u')dx = I u'Wi^uv, v}dx = j du j v/{uv)dx.

En intégrant par parties, ou a

I du I vf{uv) dx = u I p/t uv) dx— I uv/( uv) dx

ou, en tenant compte des formules ( Sg) et (3^),

t>i/i{tii)dx — uW{uv, V) ï*(up, UV).

Tous les termes qui contiennent u disparaissent dans le second membre; on le reconnaît immédiatement si l'on remarque que les termes en u dans W(uv., uv ) ont pour expression

2uV(ttr, V) — a*T(^•, V).

Si donc on substitue to à u' dans le second membre, la relation précédente prend la forme

bi/i{bi ) dx = II( W, w' CO -'»-*'),

qui, nous l'avons vu, caractérise les fonctions/, (tu ) égales et de signe contraire à leur adjointe. La proposition que nous avions énoncée est donc démontrée. On en déduit aisément la conséquence suivante, qui n'est autre qu'une transformation de l'équation <^4o ' '.

Toute fonction d'ordre impair 'j.n — 1 égale et de si<*ne D. — II. 8

\i\ L1VUI-: IV. — cil .s. p. V.

contraire à son adjointe peut se mettre sous la forme

y, ((<)) désignant une fonction d'ordre in — 3 qui est aussi égale et de signe contraire à son adj ointe u^ant à la fonction (^, on peut toujours lui attribuer d'une infinité de manières une forme réelle quand le polynôme linéaire j\u) a ses coefficients réels.

L'application répétée de cette proposition permettra évidemment de former toutes les fonctions égales et de signe contraire à leur adjointe. On sera conduit à une expression def{u) qui s'écrira comme il suit :

\^ ) J\ '' "~ (Xi dx oi-i dx 'j.,i i dx %,i dx a,f dx 'J.n-\ dx

C'est la forme générale donnée au n° 372, mais avec cette restriction que, dans la suite

les fonctions à égale distance des extrêmes sont égales. Pour la démontrer dans toute sa généralité, il suffira de prouver, ce qui n'offre aucune difficulté lorsqu'on emploie la formule (4')' ^"^' si elle est vraie pour les équations d'ordre in — 3, elle s'étend d'elle-même à celles d'ordre m — i .

375. La forme précédente de /(«) une fois établie, reprenons les deux systèmes de solutions d'une équation linéaire et de son adjointe définis au n° 371

"lî '*2) • ■ 1 ^271— 1>

Vy, t'2, •••, Vin-\-

11 faudra remplacer, dans les formules (29) et (32), n par m — I et supposer aussi

On trouvera ainsi que l'on a, pour toutes les valeurs de i,

(43) Vi = {-\Y-^U^n-i.

L EQUATION ADJOINTE DE LAGRANGE. Il5

Si Ion porte ces expressions des Vi dans les formules (i3 ), on trouvera

, , M K^'i «'■' «a) = o, ( i — k^in ),

et, si l'on effectue ensuite la même substitution dans les formule.^ (i4 ) et (i5), on obtiendra, en particulier, les relations suivantes :

/ 2u,tt2„i— .4;/, «,„, — . . . — {—\y--^u% =0, (45) ! ^ ""^ "'^"-» ~ ^ "2" "*«-' --- • -^ < - 0"-* ("îiO- =0, (t < n - I ), iiC^-'^Ui^^l -^...^ (— !)''-•( a(«-i))2=. <"-0"~',

Il existe donc, dans tous les cas, au moins une relation homogène du second degré entre les intégrales d'un système fondamental quelconque; et cette relation ne cesse pas d'être vérifiée lorsqu'on remplace les intégrales par leurs dérivées du premier, du second ordre, et ainsi de suite jusqu'à l'ordre n — 2. On s'assurera aisément que les formules (45) conduisent par des différentiations répétées à toutes celles que l'on pourrait déduire des systèmes (i4) et (i5) et contiennent, par conséquent, toutes les relations réellement distinctes entre les intégrales du svstème fondamental considéré et leurs dérivées.

De ce système particulier on peut évidemment passer au svstème le plus général par une substitution linéaire quelconque effectuée sur les intégrales ui. Alors les relations précédentes revêtent une forme élégante et se résument dans l'énoncé suivant :

Etant données les intési'ciles

formant un système fondamental absolument quelconque, elles vérifient nécessairement n équations de la forme

o(a,, Ui, ..., Uia-i) = o, o(a'i, tt'j, ..., ai„i)=ro.

o^M^"""2) ,,ln-z) »/'«-S'>

Vjf^ OF THE

fTJÏÏIVBESITY]

IlG LIVRE IV. - CHAP. V.

OÙ cp désigne une forme quadratique à coefficients constants que l'on peut toujours réduire à une somme de n carrés positifs et de n — i carrés négatifs.

De plus, les intégrales

du système adjoint au précédent sont définies par les formules

( — !)'»-> dto (^7^ ''=- ^^~ ou,'

Cette dernière relation a lieu, en effet, quand la fonction '^ se réduit à la forme simple

te — uJi— -iUn-.iUn+l-^- 2 M„2 M„-t-2 -+- . . . -h ( — l)"--^ lUi Uin-l,

et, par sa nature même, elle doit subsister lorsqvi'on effectue sur les fonctions ui une substitution linéaire; car les fonctions t'/ sont alors transformées, en vertu des relations (i ^\ parla substitution inverse.

376. Si, dans les formules (29), on remplace n par 2/1 — 1 en faisant a/ = c(..2/t-.i+\i on aura une expression très simple des intégrales particulières avec lesquelles on peut composer la solution complète de l'équation linéaire la plus générale d'ordre an — i équivalente à son adjointe. Pour les applications que nous aurons à traiter, on peut désirer des expressions équivalentes, mais débarrassées de tout signe de quadrature. Voici comment on les obtiendra.

Le problème se résout immédiatement pour l'équation du troisième ordre équivalente à son adjointe. Cette équation est en effet de la forme

i d I d i d u ai dx 0L2 dx a^ dx aj '

et elle se ramène, par un choix convenable de la variable indépendante, à la forme réduite

d^ lu