LEQCATION ADJOINTE DE LAGRANGE. II

dont les intégrales sont

Nous pouvons donc supposer que le problème proposé est résolu jusqu'à un ordre donné in — i . Soit

A «" = o l'équation la plus générale de cet ordre et soient

Ul. Il* .... Uin-l

ses 2/1 — I solutions particulières, débarrassées de tout signe de quadrature. D'après la proposition du n" 374, l'équation

"" ^sî§/G(7)')l=°'

où y et ô désignent deux fonctions arbitraires, sera la plus générale de l'ordre 2n — i équivalente à son adjointe.

Pour obtenir les différentes solutions particulières de celte équation, nous la remplacerons par la suivante

5AUî)'' = <^'

où C désigne une constante arbitraire. Si l'on fait d'abord C = o, on obtiendra les 2n solutions

T> Y / «1 0 do:. .... Y / lUn-i ^ dx.

Si Ion attribue ensuite à C la valeur i, il faudra déterminer une solution de l'équation

/(Kt)';--

On y parvient en mettant la fonction o sous la forme suivante :

^ désignant une nouvelle fonction arbitraire. On pourra prendre

alors

Ea résumé, nous obtenons les in-\- i solutions

T' lfuif('^)dx, YJ[i/(^3)rfx,

qui forment, on s'en assure aisément, un système fondamental toutes les fois que/(j3) n'est pas nul. Il est vrai que ces solutions nouvelles contiennent des signes de quadrature; mais on les fera disparaître en s'appuvant sur les identités fondamentales (36) et (3^), qui donnent ici

Jutf(^)dx^W(u,;n. y3/(P)f/:r=iT(p,p

On peut donc représenter le système des solutions cherchées par les formules suivantes :

Ui+i = Y^("'' ?)• (i — I, 2, . . ., 2/1 — i),

qui ne contiennent plus aucun signe de quadrature. Le premier membre de l'équation correspondante est alors

et la nouvelle valeur de W(a, ç) relative à cette équation sera

On vérifiera sans difficulté que, si les solutions w/ sont celles que nous avons définies au n" 375 et qui sont caractérisées par les relations

W( u,-, m) — o, ( i -f- /.- ^ 2 ni,

les nouvelles solutions U, définies par les formules (5i) vérifieront

LEQUATION ADJOINTE DK LAGRANGE. I 19

les relations analogues

et la relation quadratique entre les intégrales U aura, ici encore, la forme simple

U,;^., — 2U„U„-i-î — . ..— 2(— i)''U,Ui„-H i = o.

Appliquons la méthode précédente à la formation des solutions particulières de l'équation du cinquième ordre; en prenant comme point de départ les valeurs

données plus haut pour les solutions particulières de léquation du troisième ordre, on obtiendra le résultat suivant :

On vérifiera aisément la relation

U 3 — > U2 Ui -f- 2 Ui U5 = o,

qui a lieu identiquement entre les intégrales et subsiste quand on les remplace par leurs dérivées premières.

377. Dans les Mémoires que nous avons cités. M. Bertrand et Otto Hesse ont montré, d'après Jacobi, que toute équation linéaire d'ordre pair équivalente à son adjointe peut être écrite de la manière suivante :

^. ^« "" -^ ^ ^"-' ""•"*' -^ ■ • ■ - Ao « = o. La forme analogue relative aux équations d'ordre impair est la

I20 LIVRE IV. — ClIAP. V.

Nous nous contenterons de la signaler, en laissant au lecteur le soin de la démontrer. D'autres propositions permettent encore de former des polynômes égaux, au signe près, à leur adjoint. Par exemple, il résulte du mode de ibrmation môme des polynômes adjoints que, si deux polynômes /{u), /((fi) ont respectivement pour adjoints les polynômes g(ii), g\ (u), la combinaison linéaire af-T-bfi, où a et b désignent des constantes, aura pour adjointe ag -+- bgi. Il suit de là, en particulier, que le polynôme a f[u) -h b g[u) a pour adjoint a g[u) 4- b f(u) et que les deux fonctions

sont l'une égale, l'autre égale et de signe contraire à son adjointe. On peut indiquer encore les propositions suivantes : Reprenons l'équation du n" 368

(50) i[çf{u)--ug(v)-\dx=W{u,v),

et soient y, (w), g\{ii) deux nouveaux polynômes linéaires, adjoints l'un à l'autre. Si, dans l'identité précédente, on remplace Il par g^ (u)., elle prend la forme

f\ ^'JXffi ( «)) - ffi ( «■) gi.^) 1 dx = ^ï.^^-, {u), V).

Echangeons dans cette identité / el/i, g et ^,, a et c; ce qui est évidemment permis. Nous aurons

/ ltt/i(s'(y)) — S'(^)éri(i'')\ dx = Wo(g'(v), u

En retranchant membre à membre les deux égalités que nous venons d'établir, nous trouvons

l'équation adjointe de LAGRANGE. 121

D'après la proposition du n° 369, nous pouvons conclure immédiatement que/, {g{u.)) est l'adjoint àef{g^ (m)).

En remplaçant dans l'identité (56) u par '^ ? on verrait de même que les deux polynômes

fi'-^)' -/.(^')

sont adjoints lun à l'autre. Supposons maintenant que /, soit identique à/ et, par suite, g\ ai g\ nous obtiendrons la proposition suivante :

Étant donnés deux polynômes linéaires /{u), g{u) adjoints Viin à l'autre, la fonction

sera identique à son adjointe, et la fonction

sera égale et de signe contraire à son adjointe.

L'application de la formule (42> nous permet d'ailleurs de montrer que toute fonction égale et de signe contraire à son adjointe peut se mettre, et d'une infinité de manières, sous la forme que nous venons d'indiquer; car, si l'on pose

ai dx a* do- 2/t-i dx \%n/

le polynôme "y^u) adjoint à Q(w) sera égal (n" 372) à

et la formule (4^) pourra s'écrire