CHAPITRE YI

COMPLEMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES DES PROBLEMES RÉSOLUS AU CHAPITRE II.

Etude nouvelle du cas où la suite de Laplace se termine dans un sens. — Calcul direct des invariants pour les différentes équations de la suite. — Expression précise de la solution générale pour chacune de ces .équations. — Relations entre les intégrales générales de deux et de trois équations consécutives de la suite. — Intégrale générale de l'équation adjointe. — Application au cas où la suite de Laplace doit se terminer dans les deux sens; nouvelle solution du problème résolu au Chapitre II. — Relations entre l'équation proposée et son adjointe. — Indication de trois formes différentes sous lesquelles on peut mettre l'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles.

378. Dans le Chapitre précédent, nous avons étudié d'une manière détaillée les relations qui existent entre une équation linéaire et son adjointe, pour le cas d'une seule variable indépendante. Nous avons vu (ju'à tout système fondamental de solutions particulières de l'équation proposée on peut faire correspondre un système analogue de solutions particulières de l'équation adjointe, que nous avons nommé le système adjoint au premier. La notion des systèmes adjoints et les propriétés que nous y avons rattachées vont nous permettre de compléter les solutions que nous avons données au Chapitre II et les propositions que nous avons développées à la fin du Chapitre IV.

Nous traiterons d'abord le cas où la suite de Laplace relative à une équation (E) se termine dans un sens, par exemple à l'équation d'indice positif (E,). Nous avons vu (n" 337) que cette équation peut se ramener à la forme

d^'^ dloi^a d^ dx dy dx dy '