COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES. I

et son intégrale générale sera

(2) b=\- f\oLdr,

X et Y désignant les deux fonctions arbitraires. Si l'on conserve, pour les invariants, les notations du n° 331, on aura ici

()'loga

(3) hi = o, hi-i= —

La formule de récurrence

ip-t-l

— 2.ho — h

dx dy dxdy

permettra ensuite de calculer successivement les invariants des équations (E/,), (^E/2), .... On aura, par exemple,

(5) hi^i^ihi-x

logh

d- t dt dt \

dx dy dxdy'^^X^ dx Oy dx dy )

Mais nous allons voir que l'on peut obtenir directement l'expression de l'un quelconque de ces invariants.

Introduisons, en effet, les quantités Ha définies par les formules suivantes :

' Ho = a,

dx dx

ày

dxdy

dx

dx*-

ày

dPx dyP

dx dy

dxP dP-^^% dxPdy

d-Pi dxP dy

Si l'on convient de désigner par la notation

le déterminant formé avec A" fonctions a, , . . . . aA de f et leurs dé-

rivées par rapport à / jusqu'à l'ordre k — i, on voit que l'on pourra écrire

1 Ti — n / ^^ '^^^ ^^^

\ H/. iJ.(/, -.' ^,' •••' j-^

^'' ^ l à% d'-Oi dPOL\

f — Dy X, ■ , , • • • 1 .

\ -^V ' dx âx'^ dx/'J

Gela posé, nous allons établir que l'on a, pour toutes les valeurs de/?,

dx dy

Cette relation se vérifie pour les deux premiers invariants /i/i et hi 2, dont nous avons déjà donné l'expression. Pour établir qu'elle est générale, il suffira donc de montrer que les valeurs ainsi définies des invariants satisfont à la relation de récurrence (4), c'est-à-dire que l'on a

(q) - T- 1ok(II,,i H„-i-i) — lo<r|H„

^^^ dxdy "^ ' ' '^'^ dxdf ^\ J'

dx ôy dx dy

Or, si l'on considère le déterminant H^^, et si l'on désigne, pour un instant, par ap^p, ap^p^i^ a^^,^^, a^,,^/,^, les éléments qui appartiennent aux deux dernières lignes et aux deux dernières colonnes, une formule très importante, mais bien connue, de la théorie des déterminants nous donne la relation

La dérivée seconde qui entre dans le premier membre est évidemment Hp|. Quant aux quatre dérivées premières qui figurent dans le second membre, on reconnaît aisément qu'elles ont respectivement pour valeurs

dx dy ^' dy dx

On est donc conduit à l'identité , . „ „ „ dHlp dHp àUp

d'où découle la relation (9) que nous voulions vérifier.

comple:uents et solutions nouvelles.

379. Une fois connue l'expression des invariants, on pourra obtenir l'intégrale générale; il suffira d'appliquer la formule (4o) donnée au n" 336 [p. 38]. Mais on parvient à un résultat plus élégant par la méthode synthétique suivante, à laquelle nous avons été conduit par induction.

6 étant la fonction déterminée par la formule ( 2 t, introduisons la quantité suivante :

Dxfe,

dy' ây*-

Dx étant le svmbole déjà défini par la formule ('])', ^p est un déterminant d'ordre p -r-\ . Nous allons voir que les valeurs de Hp correspondantes aux valeurs o, i, 2, ... de/? sont les solutions générales des différentes équations de la suite de Laplace ; hp sera la solution générale de l'équation (E/y,). Pour établir ce résultat, il suffira, évidemment, de montrer que 0^ satisfait, quelles que soient les fonctions arbitraires X et Y qui figurent dans l'expression de ^, à une équation qui admet les invariants de ( E/^ ). Or, si l'on met hp sous forme de déterminant et si l'on désigne par a„,„ l'élément de ce déterminant qui appartient à la ligne m et à la colonne n, une formule déjà rappelée nous donnera les identités

dB,

dH,

afin dfi„

da

d-hp

da

da

àap^p âai^p^i

Pour éviter toute confusion, écrivons le déterminant comme il

suit

âfi àPd I

dx àxP

d% dP% \

dx " ' dxP '

dP-^'TL

dx dy

dP-Ja

dP%

dyP-^ dx dyP-

dxP dr

dip-i % dxP dyP-^

Si l'on remarque que les dérivées peu- rapport à y des éléments de la première ligne sont proportionnelles aux éléments correspondants de la seconde ligne, on calculera sans aucune difficulté les valeurs suivantes des mineurs qui figurent dans les identités précédentes

ôcix^i, âa/i^i^p^i

= ( — i)/'-inp 2,

La substitution de ces différentes valeurs nous donnera les trois relations suivantes :

l '"' dxdy ûjc ùy -"/^''^'-^'

ôx (Jy ôx (Jy ôy

Si l'on élimine 8^ entre les deux dernières, on sera conduit à l'équation aux dérivées partielles

()2 0„^, ()lo-II„.-. aO,

\ ôx Oy Oy Ox

t>^ ôy Oy ôx '' '

dont Oy,,, qui contient les deux fonctions arbitraires X et Y, sera évidemment l'intégrale générale. Les invariants h et k de cette équation ont pour valeurs

ôx ôy Ox ôy

ce sont précisément les invariants de l'équation (Ei y,^i).

COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES. lay

380. Le problème que nous nous étions proposé est ainsi complètement résolu. ?Sous savons, en effet, former toutes les équations qui composent la suite de Laplace : l'équation (E/p) est donnée par la formule

d*-z dlogHp i dz dlogHp d£ ^ (JlogHp dlo^Up-i ^ '~^ ôxdy 0»/ ôx ôx Oy Ox ày " — '

et elle se présente précisément sous la forme réduite que nous avons signalée au n° 328 [p. 26]. Nous connaissons de plus son intégrale générale, qui est

Enfin les identités (12) établissent des relations précises entre les intégrales générales de deux ou de trois équations consécutives.

ri'* A

On peut, en les combinant et en éliminant 6p,. — ^^* ? en déduire r ' ^ ' (Jxdy

la relation nouvelle

— ^Op.,- Hp j- — Hp,«p i.

Si 1 on joint cette équation à la seconde des identités (12), on obtient les relations

8„i H„l = IIp-î On,

Ox "^ '^ OX y - y'

qui représentent ici les deux formules du n° 330 par lesquelles on passe d'une équation de la suite aux deux équations voisines et qui, à elles seules, suffiraient à établir que Hp est bien l'intégrale générale de l'équation (E/^). Remarquons encore que la première des identités < 12) établit une curieuse relation entre les intégrales générales de trois équations consécutives de la suite. On peut la généraliser et l'étendre au cas où la suite de Laplace est illimitée dans les deux sens, mais nous laisserons ce point à l'examen du lecteur.

381. L'étude de la suite de Laplace relative à l'équation (E'), adjointe de (E ), ne présente plus aucune difficulté. Nous savons

l-J.8 LIVRE IV. — ClIAP. VI.

(n" 363) que cette suite se termine à l'équation d'indice négatif

(El,).

L'invariant k de cette équation est égal à l'invariant h de (E/),

c'est-à-dire à

(JMoga dx dy

Il suffira maintenant de répéter, en partant de (El^), les opérations que nous avons laites en prenant comme point de départ l'équation (E,), c'est-à-dire, en définitive, d'échanger partout x et y en conservant la valeur de a; si donc on pose

( i6) a — Y -- / ixlLdx,

a- sera l'intégrale générale de (E^^) et la fonction /

satisfera à l'équation

qui a les mêmes invariants, à l'ordre près, que (E/^) et qui est, par suite, équivalente à l'adjointe de cette équation. Pour avoir exactement l'adjointe de (E/^), il suffira de faire la substitution

z I zWpWp—^^

en sorte que cette adjointe aura pour intégrale générale

382. Examinons maintenant le cas où la suite de Laplace se termine dans les deux sens, par exemple aux équations (E/), (E y). On peut, en s'appuyant sur les résultats précédents, retrouver la solution déjà donnée au Chapitre II. Posons, en effet,

i -r- y = /n — 1 ; les invariants de l'équation (E y) sont, d'après la formule (8),

ùx dy dx dy