NOTIONS GENERALES SUR LES CONGRLENCES

section de la surface représentée par cette équation avec la courbe ( C) de la cong^uence se confondront à l'origine des coordonnées, c'est-à-dire au point M.

Indiquons quelques applications.

Pour une congruence de coniques, il y a six points focaux sur chaque conique.

Si les coniques deviennent des cercles, c'est-à-dire rencontrent deux fois le cercle de l'infini, deux des points focaux sont rejetés à l'intersection de chaque cercle et du cercle de l'infini; il en reste quatre seulement à distance finie.

Si les cercles passent par un point fixe A, il ne reste plus, en dehors de A, que deux points focaux à distance finie sur chaque cercle. C'est ce que l'on reconnaît d'ailleurs immédiatement en effectuant une inversion dont le pôle est en A.

314. Après ces indications sommaires sur le nombre des points focaux, étudions leur distribution dans l'espace. Si l'on élimine a et b entre les équations (i) et (4), on obtient en général une seule équation, qui représente le lieu des points focaux de toutes les courbes de la congruence. Nous donnerons à ce lieu le nom de surface focale de la congruence. Il se compose d'autant de nappes qu'il y a de points focaux sur chaque courbe de la congruence. La surface focale peut se décomposer, se réduire, en totalité ou en partie, à des courbes ou à des points : nous laisserons de côté l'examen de tous ces cas, qui nous entraînerait trop loin, et nous établirons les propriétés générales suivantes.

Ecrivons les équations (i) et (4) sous la forme

(5) /— o, o = G, ^^=ro, ;t— a:-7=o.

"^ ■ da oa db db

OÙ A" désigne une inconnue auxiliaire. Si l'on regarde a et 6 comme donnés, ces équations déterminent les points focaux d'une certaine courbe (C) de la congruence. Le plan tangent en un de ces points à l'une quelconque des surfaces de la congruence qui contiennentla courbe(C) est défini par l'équation (3), qui prend ici la forme

(■) I, I VR !■: IV. — cil A I'. I.

Nous allons inonlrer que ce plan est aussi tangent à la surface focale au point considéré.

On obtient, en effet, l'équation de la surface focale en éliminant a, b, k entre les quatre équations (5); mais, au lieu d'eflectuer cette élimination, on peut conserver toutes ces équations en convenant d'y regarder a, b, h comme des fonctions à déterminer. Par suite, pour avoir le plan tangent à la surface focale au point considéré, il faudra différentier les équations (5) en y regardante, 6, k comme des variables. Or, si l'on différentie seulement les deux premières et que l'on forme la combinaison

df — k d':> -- o,

les coefficients de da, db disparaissent en vertu des deux dernières équations, et l'on retrouve l'équation (6). Cette équation représente donc, comme nous l'avons annoncé, le plan tangent à la surface focale, et nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Les courbes de la congruence sont tangentes en tous leurs points focaux à la surface focale. Les différentes surfaces de la congruence qui contiennent une courbe déterminée de cette congruence sont toutes tangentes à la surface focale en tous les points focaux situés sur cette courbe; et, par conséquent, elles devaient être, comme il a été déjà établi, tangentes les unes aux autres en ces points.

31o. On retrouve encore la surface focale en étudiant le problème suivant :

Assembler des courbes de la congruence de telle manière qu elles aient une enveloppe, c'est-à-dire cju^elles soient toutes tangentes à une certaine courbe.

Prenons pour b une fonction de a : nous obtiendrons une famille de courbes représentées par les équations

qui ne contiennent plus qu'un paramètre a. Pour que ces courbes aient une enveloppe, il faut que, pour toute valeur de a, on puisse