COMPLÉMEXTS ET SOLUTIONS NOUVELLES

Pour que la suite se termine à cette équation, il faudra donc que l'on ait

dx dy

Si l'on tient compte de l'identité déjà démontrée (lo)

III— l

dx djr

on voit que l'on devra avoir

\ dy dy'" ' '

sans qu'aucune des quantités antérieures H^,, H„,2, ... soit nulle.

L'équation précédente s'intègre immédiatement : elle exprime qu'il y a entre les fonction a, j^, ... une relation linéaire

Oy Oyn

dont les coefficients sont indépendants de x et sont, par suite, de simples fonctions dey. Cette relation peut être considérée comme une équation linéaire à laquelle doit satisfaire a et dont l'intégrale générale est, évidemment,

^•1. "^,2, • • -, r,„t désignant ni solutions particulières, linéairement indépendantes et fonctions de v seulement; et x,, . . . , x« des fonctions quelconques de x. Ces fonctions devront être aussi linéairement indépendantes; sans cela un des déterminants R„p antérieurs à H,„ serait nul.

Reprenons maintenant la valeur déjà donnée de 6

f\'zdy;

nous allons montrer qu'on peut la débarrasser de tout signe de quadrature. Soit, en effet.

( -20 ) r ( ^ ' = .^/« ^ •'" -^ ;^.7.-i 6"-'-" -^ ...-+- jjiO = o

l3o LIVRE IV. — CHAP. VI.

l'équalion linéaire dont les coefficients sont fonctions dey et qui est adjointe à l'équation (19). Si, dans l'expression de 9, on remplace Y par — '-2 (Y), on a

Or, les r, étant les solutions de l'adjointe à l'équation (20), toutes les quadratures qui. figurent dans cette formule peuvent être effectuées; et, si l'on pose

y étant la fonction bilinéaire définie au n" 368, on aura

h =: ni

Introduisons maintenant le système

lu J'2, •••> ym

de solutions de l'équation (20) qui admet pour adjoint le système

''llj ''Î2) • • • ) '''lin-

On aura, nous l'avons vu au n° 370,

7.( j/o -n/i ; = 1 , 7.(jka, -/i/i') = o. Si l'on fait Y =jkaj l'expression de Q deviendra donc

0 = X — xn;

et 0 s'annulera pour X = Xk, Y =jka ; c'est le résultat qui nous a servi de point de départ et qui permettra de retrouver la solution donnée au n" 3iO.

Supposons maintenant qu'au lieu de considérer la suite de Laplace comme commençant à (E,), on adopte comme point de départ l'équation (E y) : on obtiendra évidemment des résultats analogues, que l'on déduira des précédents par l'échange de x et de j-, de i et dey. A. l'équation (20) correspondra la suivante :

(22) /(w) = À,„w''») -h X,„iw'>'«-i^ -+-... -h ).w = o,

COMPLEMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES. i3i

à laquelle satisferont les fonctions xi. Soient

-Il ?ij . - . , Ç/;j

les solutions adjointes à x, , Xo, . . . . j";;, . A a correspondra la fonction et l'invariant h j de (E y) aura la valeur suivante

, rJîloïS

■' Oxôy

toute semblable à l'expression (3) déjà donnée pour /i/,. A la fonction f|, il faudra substituer la suivante

et, si l'on pose '~'

(*^) fufy^)dx = w(\,U),

on reconnaîtra que a- s'annule, comme 9, pour X = ^•^, Y = j y^.

383. Ces remarques étant admises, formons la suite de Laplace relative à l'équation adjointe (E'). ]Nous savons (n» 36o) qu'elle se terminera aux équations (E}), (El,); et l'invariant Â- de (E}) sera égal à l'invariant h de (E y), c'est-à-dire à

d»log3 dxdy

Si donc on compare à la première suite, on voit que l'on obtiendra tout ce qui se rapporte à l'équation adjointe en échangeant i elj, a et ^, c'est-à-dire en remplaçant les fonctions Xp^ Yp par leurs adjointes Ç^, r,^. Ainsi :

Pour passer de V équation proposée (E) à son adjointe (E'), il faudra échanger i et j et remplacer les couples {xp.yp) pâlies couples adjoints (ç^, r,^).

L'intégrale de l'équation (E') sera donc de la forme ! X X' . . X ■'^ Y Y' Y<'^

N étant un facteur que l'on saura déterminer.