LIVRE IV

OIIAI>. VI.

384. Mais on peut obtenir une solution plus précise en faisant usage des résultats que nous avons donnés plus haut pour le cas où la suite de Laplace se termine dans un sens. Si nous considérons cette suite comme se terminant à l'équation (E,), il faudra prendre pour a la valeur déjà donnée

a = .r 1 T, 1 + . . . ■+• x„i r^ „i , et les invariants de (E) seront

^ ^ ' dx ôy dx dy

Si, au contraire, nous considérons la suite comme se terminant à l'équation (E y), on aura

et, si l'on pose

(28) Ko=?, ..., K,

les invariants de (E) seront de même

ùx dy

dx dy

Nous allons vérifier d'abord que ces expressions différentes (27) et (29) donnent les mêmes valeurs pour les deux invariants.

D'après le théorème de Cauchy et de Binet relatif à la multiplication des systèmes linéaires, la fonction H^ sera le produit des

deux systèmes rectangulaires

Xx Xi

flm

c'est-à-dire qu'elle sera la somme des produits de tous les déterminants formés avec t '+ i colonnes du premier système et avec les colonnes de même rang du second. De même, la fonction Ky, sera le produit des deux systèmes rectangulaires

; ?i ?2 • • • ?/« I 71 yi • • • jka

ïiy-i) t(./-i)

COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES- l33

Or, d'après les formules (19) et (20) du Chapitre précédent, à chacun des produits de la première somme correspond un produit de la seconde qui est au premier dans le rapport de u.'^' A' à ( — i)''+'>.')>{^ A, A et A' étant les déterminants formés respectivement avec les dérivées des fonctions JCi et des fonctions j7 jusqu'à l'ordre m — i . On aura donc

et, par suite,

\i K ^ ' tx'-^i A

d'IogH/ dîlogKy-,

dx dy Ox Oy

On trouvera de même, en changeant i en i — i , y" en y -^ i ,

(ix Oy

Ox Oy '

et ainsi se trouve établie la concordance des deux expressions différentes que nous avons obtenues pour chacun des invariants de (E).

38o. On peut, en faisant usage de l'identité que nous venons d'établir, mettre sous une forme plus simple l'expression déjà donnée

y\ yx

nr' Il v ^

•''in J m. j m

pour l'intégrale générale de (E). Multiplions le déterminant précédent par le suivant

. Vi'^

■si

.. r,iii

en ajant soin de faire la multiplication colonne par colonne. Si l'on tient compte des relations (i4) et (i5) établies au n" 370

l34 LIVRE IV. — CIIAP. VI.

[p. io3] entre les fonctions de deux systèmes adjoints et si l'on pose, pour abréger,

ùx'^ dy'<:

on a le résultat suivant

Boo

Boi

Boy

Bn ..

Biy

By-i.o

By-,,1 . .

Aoo

Aïo

Aoi

An .

. An

Ai,i -1

Aflj

Au' .

(-ly

Ce déterminant se développe sans difficulté et nous donne

(iyci+y)MKy i

(i)U-+i)(y+i)H,-IM

XU-)

Aoo

Aïo

Aoi

Ao,j-i

Aj,f-i

Boo

Bo, ...

Boy

Bio

Bn ...

Biy

By-i,o

By-1,1 . . .

By-i,y

nr :^"'

(- iy(i+^''

\. si l'on

Si l'on attribue à M la valeur ~^ ^-^ et si l'on remplace

ensuite le rapport t— ^ par sa valeur tirée de la formule (3o), on