COMPLEMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES

aura enfin l'expression suivante de l'intégrale généra

Aoo

Ao,i-i

Aie

fxL A'

Boo

By-1,0

Y' Boi

Boy

By-ij

qui est parfaitement symétrique par rapport aux indices i et y et ne contient plus que des déterminants d'ordre t-i- i et y + i , tandis que l'expression primitive exigeait le calcul d'un déterminant d'ordre i — j' L'expression précédente peut encore s'écrire

dJ-' 3 \

Comparons cette formule à celle que nous aurions obtenue en appliquant la formule générale (ii). L'expression de 6 a déjà été donnée par l'équation (21), et l'on peut écrire

(3^ bis) 0 = X — -/(Y, a).

En la substituant dans la formule (i4) où l'on fera ensuite p=i, on aura la valeur de ^/. Cette valeur est nécessairement proportionnelle à Z, et la comparaison des parties des deux expressions qui dépendent de la seule fonction arbitraire X nous permet de conclure

A>4 A>4 'V ày Oy^-^J

A cette nouvelle expression de l'intégrale, on ajoutera la suivante qui se démontre de la même manière

3- étant la fonction analogue à h, définie par les formules (24) et (25).

386. Ces difl'érentes expressions permettent de former sans nouveau calcul l'équation aux dérivées partielles dont Z est l'inté-

l36 LIVRE IV. — CIIAP. VI. — COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES.

grale générale. Comme on a

il suffira de substituer cette valeur dans Téquation à laquelle satisfait 9/. Si l'on fait /> = i dans l'équation (E/^)[p, 127], on trouve

ôx ây ây <Jx Ox ôy Ox <)y

En effectuant la substitution indiquée, on obtiendra pour Z l'équation suivante

, d^'Z r)logH,-i (^Z ()losK/, (JZ d\o^Yii..y r)]osK/i

qui est également sous forme réduite et parfaitement symétrique par rapport à / et à j .

On passera de la proposée à son adjointe en échangeant i et y, a et [3. Si l'on pose

\ â;„a V ^>y àyJ-'I

1 (■— iV'-/+i /

l'adjointe à l'équation (35) aura pour intégrale générale

Zn

Hj i Ky i

Ce résultat s'établit par la méthode que nous avons employée au n° 381. On peut, d'ailleurs, ajouter à la formule (36) deux autres expressions équivalentes, toutes semblables à celles que nous avons données pour Z.