LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX

Kappel des propositions déjà signalées relativement aux équations dont les invariants sont égaux. — Emploi des solutions données au Chapitre précédent. — Condition nécessaire et suffisante pour que l'équation proposée ait des invariants égaux et soit intégrable par la méthode de Laplace. — Détermination de toutes les équations à invariants égaux dont l'intégrale peut être obtenue sous forme explicite. — Deuxième solution de ce problème. — Théorème de M. Moutard. — Expression précise de la solution générale. — L'emploi du théorème de M. Moutard permet d'obtenir toutes les équations dont la méthode de Laplace peut donner l'intégrale générale.

387. Nous avons déjà signalé plusieurs propriétés très simples des équations linéaires du second ordre dont les invariants sont égaux. Nous savons (n° 329) qu'on peut les ramener à la forme simple

Nous avons aussi remarqué (n" 365) que, si on les écrit sous la forme précédente, elles sont identiques à leur adjointe, et que, dans tous les cas, on peut passer d'une équation dont les invariants sont égaux à son adjointe en remplaçant z par a;;, a étant une fonction convenablement choisie de x et de y. On peut encore signaler la propriété suivante, qui est une conséquence immédiate des propositions déjà obtenues.

Soit (E) une équation à invariants égaux ^ comme elle est équivalente à son adjointe, la suite de Laplace relative à cette équation se confond, évidemment, avec la suite analogue relative à son adjointe. Si donc la suite se termine dans un sens, à 1 équation (E„,) par exemple, il faudra nécessairement (n** 36o) qu'elle se termine en sens contraire à l'équation (E„4.(). Ainsi, les équations à invariants égaux ne peuvent jamais admettre ces

l38 LIVRE IV. — CIIAP. VII.

intégrales générales dans lesquelles une des deux fonctions arbitraires est nécessairement engagée sous un signe d'intégration. Si la méthode de Laplace peut donner leur intégrale générale, les deux fonctions arbitraires y entreront dégagées de tout signe de quadrature ; et cette intégrale sera du même rang à la fois par rapport à x et par rapport à y. Cette remarque est essentielle, et elle va nous permettre de déterminer toutes les équations à invariants égaux que l'on pourra intégrer par l'application régulière de la méthode de Laplace. Ecrivons, en effet, la suite de Laplace

(E„+0, (E-«+2), ..., (E^i), (E), (El), ..., (E„2), (E„-i),

relative à l'équation (E), et supposons que cette suite se termine aux deux équations (E/i,), (E„+,). On aura ici, en conservant toutes les notations du Chapitre précédent,

i = j ^= /i — 1 , m = in — I

L'invariant A- de (E„,) et l'invariant h de (E„+,) auront respectivement pour valeurs

dx dy ùx dy

La suite de Laplace relative à (E) se confond, nous l'avons déjà remarqué, avec la suite analogue relative à son adjointe. Il résulte de là (n° 365) que l'équation (E^) de la suite précédente aura pour adjointe l'équation (E^) de la même suite; ou, plus exactement, ces deux équations auront leurs invariants égaux, à l'ordre près. Si l'on applique cette remarque aux deux équations qui terminent la suite, on reconnaît immédiatement que l'on devra avoir

c)Mosa __ ()Mojïp dx dy dx dy

ou, en intégrant,

9 et (7 désignant deux fonctions inconnues de x et dejK. On peut les faire disparaître comme il suit.

LES ÉQL'.VTIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l3g

Si l'on divise par ^(j^) le premier membre de l'équation linéaire d'ordre 2/? — i dont :c,, jr-i, • • .. ^2«-i sont les solutions particulières, les nouvelles fonctions adjointes ;, .^'o. ••• sont égales aux anciennes multipliées par h(x); l'équation précédente se réduira donc à la forme

Une opération analogue, appliquée à 1 équation dont les solutions particulières sont j^,, ^'25 •••> ^2/1-15 permettra de même de faire disparaître la fonction ^{y)- Ainsi, par un simple changement d'écriture et sans diminuer en rien la généralité, on peut ramener l'équation (3) à la suivante

d'où les fonctions 0 et a- ont disparu.

Réciproquement, si la condition précédente est vérifiée, l'équation (E) aura ses invariants égaux. D'après les résultats du n° 386, cette équation peut, en effet, être ramenée à la forme simple

,^^ d^z ()Io£rH„, dz <)loïK„5 dz dlogH„, d\oi:K^-,

ôxdy dy dx Ox ôy dy ôx

et elle admet pour invariants

dilo?H„, <)Mo?K„î

dx Oji

Or on a ici

ôxOy

a étant égal à ,3, on a nécessairement

et, par suite, l'équation proposée a bien ses deux invariants égaux. Si, dans l'équation (5), on eflfectue la substitution

Z = ^iHn— î,

elle prend la forme simple

^'^ dxdy dxôy "'

l4o MVRE IV. — Cil A P. VII.

et, d'après les résultats du Chapitre précédent, son intégrale peut se mettre sous l'une des trois formes suivantes :

(9) -1 -- A vï^rTi — ^-^

(•0) ^1= .,:;„:^-^.— Dr

Toute la difficulté se ramène, on le voit, à la détermination des fonctions x^, jka pour lesquelles on aura identiquement

c'est-à-dire

(11) XiT^i -I- T^r^^ -+-. . .-h ^r^n-iTt'in-i = çiJKi -^^ Ziji +• • • "^ ;2«-ir2«-l-

Voici comment on peut résoudre cette équation,

388. Prenons les dérivées des deux membres, par rapport à y par exemple, jusqu'à l'ordre 2/1 — 1 inclusivement, et donnons ensuite à 7 une valeur particulière quelconque. On obtient ainsi an — I relations linéaires à coefficients constants entre les fonctions x/,, Ifi'. Ces équations peuvent être résolues par rapport aux inconnues; car leur déterminant

^r(yi, 72, ■■■, rin-i)

ne peut être nul pour toute valeur particulière de j^, les fonctions yi étant, par hypothèse, linéairement indépendantes.

[jCS valeurs ainsi obtenues des fonctions ^^ sont évidemment des combinaisons linéaires des fonctions X/i ; on peut donc énoncer le résultat suivant :

L'équation linéaire d'ordre impair considérée au n" 382, et dont Xi, X2, . . . , Xo/i-i sont les solutions particulières, doit être écjuivalente à son adjointe; et il en est évidemment de même de l'équation linéaire d'ordre impair à laquelle satisfont les fonctions j'/i.

Il faut, nous allons le voir, ajouter quelque chose encore à cette

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l4 1

double condilion. Soit

la forme quadratique à coefficients constants définie au n° 375 et qui permet d'exprimer les solutions adjointes parles formules

j C— i')"-' do Soit, de même,

la forme analogue relative aux solutions j>'>i. On aui'a

àj^h'

et Tégalité à vérifier prendra la forme

d-l d-l do do

On peut encore l'écrire comme il suit

d-l d-l do do

Xi -~- -!-••• -r- J"2„i T '■ — Xy

dvi ' djin-i dj-i - dviii^i

et, sous cette forme, on reconnaît immédiatement que les deux fonctions c5 et 6 doivent être les mêmes. S'il en était autrement, il suffirait d'attribuer à la variable y une valeur particulière quelconque et Ton obtiendrait, contrairement à l'hvpothèse faite au début, une relation linéaire entre les fonctions Xt, x-^- ••••, ^2n-«- On est donc conduit à la proposition suivante qui, rapprochée des résultats obtenus dans les deux derniers Chapitres, donne la solution complète et précise du problème proposé :

On détermine toutes les équations à invariants égaux qui s'intègrent par la méthode de Laplace en prenant, pour les fonctions Xh et yh-, les solutions particulières de deux équations linéaires d'ordre impair équivalentes à leur adjointe et en choisissant ces solutions particulières de telle manière qu'il existe entre les solutions yh et leurs dérivées jusqu'à Vordre fi — o. la même relation quadratique qu'entre les solutions X/, et leurs dérivées jusqu'au même ordre.

389. Appliquons la proposition précédente aux cas les plus simples. Si l'on a

il y a un seul couple (^,, j,) que l'on peut réduire à (i, i). On a

et l'équation correspondante est

d'-z dx ôy

Si n est égal à 2, il y a trois couples {x^,y^), (xo,j>'o), {x-i,y-i). Les fonctions x^, Xo^ X3 devront être reliées par une équation du second degré que nous supposerons ramenée à la forme

a^l — 'îXf X3 ^ o.

Les fonctions j, , jko, y^ devront alors être liées par l'équation

Si l'on prend comme nouvelles variables x^ y les rapports — , ^ et si l'on réduit (n° 341) le couple (x,, jKi) à l'unité, on obtient,

en tenant compte des relations quadratiques, les trois nouveaux couples

(i- I), i--^, y), (—y ^ On a ici

<ii =-- — y Ç2 = — -27, Ç3 = 1

Les premiers membres des équations auxquelles satisfont les solutions Xi et les solutions j^,- sont

/(to) = a>"', o(0) = 0"'.

On a encore

A = X3 = A'= iJL3 = r, H,,-2 = a= ^^~->^)'.

L'application de la formule (8) nous donne donc

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l43

L'équation dont r, est l'intégrale générale est

^ dx dy Oxdy "^ ix — y)^"*'

Si l'on n'avait pas fait un choix particulier des variables indépendantes, on aurait obtenu l'équation

et l'intégrale générale serait

Passons maintenant au cas où il y a cinq couples. Les expressions des fonctions x/,, y h résultent des formules données au n" 3T6. On aura, si Ton choisit convenablement les variables indépendantes X et y^

Xi =1,

yy = ',

Xi = ?-,

y3 = yC—'i'^

y^ = rC-^^

^ désignant une fonction de x et y une fonction de y. De plus, la formule (4^) du n" 37o nous donnera

On aura donc ^ = -^ijs — J-î^'v — Xj>-j — x^y^ -i- xj j^, = (ï-.3)(Y'-3')-^^'~^'^'-S"ï'^^^'-^(3Y-Y"n(.r-^>-

l44 LIVRE IV. — C HA I>. VII.

L'applicalion de la formule (8) nous donne, tout calcul fait,

L'écriture de cette formule se simplifie si l'on introduit la fonction suivante

On a alors

et s,

satisfait

à l'équation

dx ôy

dx dy "" ' '

Le calcul détaillé, que nous omettons, révèle un fait intéressant et qu'il serait possible d'établir d'une manière générale. Le déterminant 11,1-2 est toujours un carré parfait; ou, plutôt, il est de la forme

et le facteur K figure à la première puissance seulement dans les dénominateurs des différents termes de Z\.

Si l'on employait les expressions générales sous forme d'intégrales, indiquées au n'' 376, des fonctions Xh^ Jh-, on pourrait écrire la valeur générale de z^ sous une forme où tout serait connu; nous nous contenterons ici des exemples que nous venons de traiter.

390. Dans la troisième Partie du Mémoire que nous avons cité au n" 343, M. Moutard s'était occupé spécialement des équations de la forme

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX- l45

et il a publié une nouvelle rédaction de celte Partie de ses recherches dans le XLV« Cahier du Journal de l'École Polytechnique (•). La méthode de M. Moutard repose sur un beau théorème que nous n'avons pas eu à employer dans la solution précédente; nous allons la faire connaître ici d'une manière détaillée.

Désignons, pour plus de netteté, par g(;) l'expression

O^ ' z dxdy'

et supposons que Ton connaisse une solution quelconque oj de l'équation

Cette équation étant identique à son adjointe, le produit

pourra se mettre sous la forme

ôx ~^ dy^ et, en effet, on a

\àxdy j dxdy dxd^

ày

= 1. A ( ^^± ^^\ l ±( dz dtti\

idx\ dy "àyj ' 1 dyy'ô2;~^Ui)

Ecrivons donc l'équation

dx\ dy ^4r/^^r^^~^^;="'

{■) Moutard, Sur la construction des équations de la /orme

z dxdy -^^^'•^)'

qui admettent une intégrale générale explicite {Journal de l École Polv technique, XLV Cahier, p. i; 1878). -^

l46 LIVRE IV. — CIIAP. VII.

qui est identique à la proposée {■21). Elle exprime évidemment que

est une différentielle exacte. On peut donc, à chaque solution z, associer «ne fonction 8, telle que l'on ait

di) dz dto ()0 dz dtxj

dx Ox âx oy dy Oy

Il est aisé d'éliminer z et de trouver une équation linéaire du second ordre définissant la fonction 8. Les formules précédentes, écrites comme il suit

M- dx ~ dx ^ oj2 dy dy

montrent, en effet, que l'on aura

()j \ w2 dx ) ' dx\(xt'''dyj OU, en développant,

^ '■ ' dx dy dy dx dx dy

Or, si Ton pose

l'équation en cr prend la forme

Pour déterminer [jl, il suffit de remarquer que l'équation en 0 admet la solution particulière 0= i; l'équation en cr doit donc

admettre la solution - et l'on a

<T peut s'exprimer en fonction de z par la formule

dl^\

to2 — V-^ dx — iM- — V^- dy , dx dy ^ \