LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX

et, inversement, ^ peut s'exprimer en fonction de a par la relation

analogue

(.6) . = o.J^--^du:-~-^dyj^.

On peut donc énoncer la proposition suivante:

Si l'on connaît une solution particulière lo de l'équation

et que l'on forme V équation nouvelle .

toute solution de Vune des deux équations permettra de déterminer, par une simple quadrature, une solution de Vautre. Si donc on connaît l'intégrale générale de l'une des deux équations, on pourra déterminer l'intégrale générale de l'autre équation.

La relation entre les deux équations est évidemment réciproque ; si, pour abréger, nous disons que l'on passe de la première à la seconde par la solution to, on passera de la seconde à la première par la solution - •

391. On peut rattacher la proposition précédente à la considération de certains systèmes du premier ordre qui se présentent dans différentes questions de Géométrie. Ces systèmes contenant deux fonctions inconnues p ei q sont de la forme suivante

ox dx dy dy

OÙ A est une fonction donnée. Comme les équations précédentes

ne changent pas lorsqu'on échange p el q en remplaçant a par i ,

il est clair que, si on sait les intégrer pour une valeur de a, on saura aussi le faire pour la valeur imerse de'/.. Nous allons voir que cette simple remarque donne la proposition de M. Moutard.

l48 LIVRE IV. — CHAI'. VII.

Éliminons en effet p. Nous aurons l'équation

7)y \ dx ) dx\ ôy / '

qui a ses invariants égaux et se ramène à la forme

si l'on change dans celte équation q en p, \ en .-? on aura

La comparaison de ces résultats établit immédiatement le théorème énoncé plus haut : De chaque solution de V équation

on peut, par une simple quadrature, déduire une solution de V équation

392. Les propositions que nous venons d'établir permettent évidemment de déduire de toute équation

que l'on sait intégrer, une suite illimitée d'équations nouvelles et de même forme dont l'intégrale se déterminera par de simples quadratures. Donnons en effet aux arbitraires, fonctions ou constantes, qui entrent dans l'intégrale générale de l'équation précédente, des valeurs particulières, mais quelconques; et soit w le résultat obtenu. Nous pourrons, par une simple quadrature, obtenir l'intégrale générale de l'équation nouvelle

Donnons de même aux arbitraires qui entrent dans cette seconde intégrale générale des valeurs particulières, et soit to, la valeur

LES ÉQLATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. I-ÎQ

qu'elle prend alors. Nous pourrons de même déterminer par de nouvelles quadratures l'intégrale générale de l'équation

et ainsi de suite. En continuant indéfiniment, on obtiendra toujours des équations de la forme (3o), dans lesquelles A contiendra un nombre de plus en plus grand de constantes ou de fonctions arbitraires.

On peut signaler quelques relations intéressantes entre toutes ces équations. Ecrivons-les sous la forme

et soit tt)A la solution par laquelle on passe de l'équation de rang A" -J- I à l'équation de rang A" -4- *>.. On aura

On en déduit

dxdy

et, si l'on ajoute toutes les équations obtenues, on trouvera

(34) À,= X — a^— — Iog(u)w, ...eu/-,).

Si l'on a obtenu, par exemple, avec deux fonctions arbitraires, l'expression générale de w, tOt contiendra deux fonctions arbitraires nouvelles, et ainsi de suite : l'expression de Aj contiendra donc, en tout, 2f fonctions arbitraires. Si Ton a choisi des solutions particulières, on sera conduit à des équations nouvelles qui ne contiendront pas nécessairement plus d'arbitraires que la première, mais qui seront, en général, dune forme différente.

l50 LIVRE IV. — CIIAP. VII.

iXous choisirons comme exemple l'équation

à-z r jn(m — i) /i(ji — i)

dx ôf

qui comprend comme cas particulier l'équation d'Euler (n" 346). Elle admet la solution particulière

(36) lù-^ {x — j)"'{x -ir y)"-.

Si l'on emploie cette solution, on sera conduit à l'équation nouvelle

O^^^ VS\^)'\x-yf ' (x-^yy'

qui ne diffère de la précédente que par le changement de m et n en 771 -h- 1 , /i -h I . Si l'on désigne par A(7n, n) l'équation (35), on voit que l'intégration de A(/?i + i , /i + i) et celle de X{m^n) sont deux problèmes équivalents. On développera aisément les conséquences de cette remarque; il en résulte que l'on peut intégrer l'équation A(m, /i) toutes les fois que m et n sont des nombres entiers (*).

393. Revenons au théorème général. Il serait aisé de montrer que, si l'on connaît la solution de Riemann, définie au Chapitre IV, pour l'équation primitive, on saura déterminer cette solution pour chacune des équations suivantes. Mais nous laisserons de côté cette question pour nous attacher au problème particulier qui a

(') Si l'on pose

{x — yy-=u. {x+yy = v, z = {x —y)"'ix -^ y)" on obtient pour 9 l'équation

ô'(i d'^ ( i\()0 / i\rJO

M — - — tJ -— -!- m -I- - \n-\- -]-' =0,

dont l'intégrale est

du'" dv

lorsque m et n sont entiers positifs. Comme l'équation A (m, n) ne change pas quand on y remplace m par i — m, ou n par i — n, on peut toujours supposer m et n positifs.

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l5l

fait l'objet des recherches de M. Moutard, et montrer comment l'application de la proposition générale fournit un procédé régulier qui permet de former toutes les équations de la forme considérée pour lesquelles l'intégrale sera donnée par la méthode de Laplace.

Nous établirons d'abord la proposition préliminaire suivante, qui nous sera d'ailleurs utile dans dautres recherches.

Etant données les expressions

To = AX A, X' - ... - Aa X^', Vi = BX — B,X' -. . . -^ BaX(*',

où A, B, A, , B, , . . . désignent des fonctions déterminées de x et de y et^ une fonction arbitraire de x, si V expression

To dx -i- T, dy

est une différentielle exacte pour toutes les formes possibles de la fonction arbitraire X, on pourra toujours, par des opérations purement algébriques, mettre l'intégrale

r= HyPodx-^Widy)

sous Vune ou Vautre des formes suivantes:

X,- CiX;-^ CîX-; ^. . .-4- Ca-X'*',

CiXi - C,X'i -. . .- GaX/-"-^ const ,

X, désignant une nouvelle jonction arbitraire qui, dans la seconde forme, peut être prise égale à X.

En effet, on peut toujours, en effectuant des intégrations par parties, ramener To à la forme

>1-o=-^[DX-D,X'-^...-Da-,X^-'']^12X, û ayant la valeur suivante

Ox ôx^ ' Ox'-'

Si donc on considère la différence

; DX - DiX'-. . .- Dx.-iX(*-t' = C,

^^^ LIVRE IV. - CHAP. Vil.

on aura

^'■2 étant ordonné, comme W^, par rapport aux dérivées de la fonction arbitraire. Le second membre étant encore une difféi^entielle exacte, on devra avoir

dx dy

Cette équation ne peut être vérifiée que si ^'2 est identiquement nul : si To contenait, en effet, un seul terme en X ou en X', ..., la

différenliation par rapport à x introduirait dans ~ au moins une

dérivée de X; et le premier membre de Tégalité précédente ne pourrait être égal au second pour toutes les formes possibles de la fonction arbitraire. On a donc nécessairement

Q dépend donc seulement de la variable .«?; si 0 est nulle, on a Ç = DX + Di X'^ ... H- D/,.i X'-^-i) -+- const. ;

c'est la seconde des formes signalées dans l'énoncé. Si ù n'est pas nulle, elle dépendra seulement de ^; on aura

Ç = DX -F- Di X' - . . . H- Dk-i X(^~i) -+- Çq. X dx.

Si l'on pose

ûX = X'i,

X, désignant une nouvelle fonction arbitraire, T prendra la forme

qui est la première indiquée dans l'énoncé.

La proposition énoncée se trouve ainsi entièrement établie 5 elle s'étend évidemment au cas où W^ et W^ seraient des fonctions linéaires d'une fonction arbitraire Y de y et des dérivées de cette fonction, ou même contiendraient simultanément deux fonctions

LES ÉQDATIOXS A INVARIANTS ÉGAUX. l53

arbitraires X, Y de x et de y et leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé.

39i. Soit maintenant

une équation dont on puisse obtenir lintégrale générale sans aucun signe de quadrature. Ecrivons cette intégrale

z - MX- MiX'-. . .- Mt-iX-i" - XY - X, Y' -. . .^XViY(^-»'-

Pour abréger, nous désignerons ^^v f^{u)^ fi{u) les polynômes linéaires suivants :

fi{u\= Mu -f- Ml — -^. . .-^ Ma-1 -^j^p-^ »

Mu) = N« ^ iX, ^ -^. . .-4- N^-i^pr-i i

on aura ainsi

Introduisons les polynômes ^i(//), g-i{u)- adjoints respectivement di/i{u),f-2(u). Ils donneront naissance à des identités de la forme

\ »'/i(«) — «<?i<')= £:Bi(«, ^t,

I v/i(u } — u gi( v) = — Bi( u, V »,

OÙ B, et B. sont les fonctions bilinéaires de u, r et de leurs dérivées qui ont été définies au Chapitre précédent. Ces notations étant admises, donnons, dans la solution générale z, des formes particulières X,. Y, à X et à Y; nous aurons une solution particulière

( 4o ) w = /i ( Xi) ^ /, ( Yi) ;

et nous savons que la fonction c- définie par l'égalité

sera l'intégrale générale de l'équation

Pour calculer a- nous remplacerons successivement z par ses deux parties

US) -'i = /i(X), z., = MY).

Soient 0-,, o-^ les deux parties correspondantes de a; on aura

(44) cr = (Ti-i-cr2

( 45) wa, = tozi —iji^z.'-^dx-^io-^dyy

Dans la première des identités (Sg), substituons X à ;f et -y- à V. elle prendra la forme

et donnera une expression de ^i y- que l'on peut substituer dans l'expression de cr,. On a ainsi

ou, en intégrant partiellement,

La quadrature qui figure dans cette formule est de celles auxquelles s'applique la proposition précédente. Le coefficient de dx et celui de dy y sont ordonnés suivant les dérivées de la fonction arbitraire X-, comme celui de dx ne contient que X, il faut, d'après la remarque même qui constitue le point fondamental de la démonstration du numéro précédent, que l'on ait

w -— i Bi X, -- = o,

dy Oy '\ ' ùxj

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l55

et que£^, ( — ) dépende de la seule variable x. On vérifie aisément

l'égalité précédente. Comme le premier membre y est ordonné suivant les dérivées de la fonction arbitraire X, il suffit de montrer que sa dérivée par rapport à x est nulle. Cette dérivée a pour expression

d^Zy dtii dzi (ft „ /,, dtsi\

fa) -! : — T K 1 ( A. , I

dxÔY f)x Oy ovdx \ Ox J

~ '^ ôxdy'^'dx ~dy ~dy \^^dx ' ^\dxj\~~'^dxOy ^'^OxOy"^' On a donc, en définitive,

(47) co..= co/.(X)-aB,(x,^)-./x^.(g)ete,

et l'on trouverait de même, en échangeant x et y^

(48) fa>7, = - o./;(Y) -- aB, (y, '^^ - ij Y g., (^) dy. L'expression définitive de a- sera donnée par la formule

(a,cr = c«/,(X)-fa,/,(Y)-aB,(x,^)-2B,(Y,^)

et il suffira de remplacer X et Y respectivement par

pour obtenir une expression de 7 débarrassée de tout signe de quadrature. On pourrait objecter que gA — ^OMg^i-^j seront toujours nuls; mais on reconnaîtra aisément, en prenant le coefficient de la plus haute dérivée de X, dans gi\-Â-)-> q^^ cette expression, ainsi que^i ( -^ ) > ne peut être nulle dans le cas général.

f dtsi\

On a évidemment

l56 LIVRE IV. — CIIAP. Vil.

Le second terme est ordonné suivant les dérivées de la fonction arbitraire Y, ; le premier membre dépendrait certainement de y si toutes ces dérivées ne disparaissaient pas. Il faut donc que ]'on ait identiquement

'^/2(Yi)'

ffi

et de même

Il serait aisé de vérifier toutes ces identités en s'appuyant sur notre première solution et sur les formules que nous avons données au n° 387. Elles permettent évidemment de simplifier les calculs et nous donnent

dx/ °'\ ÔX J

Si l'on pose, pour abréger,

il faudra, dans l'expression de ojo-, remplacer X et Y respectivement par

çpi(Xi)' Cp2(Yi)'

et l'on obtiendra l'expression définitive

i"" = "'/'(ï-7IS7))-™-^'(ïlfv,),

\ \?i(Xi) dxj V?2(^i; ày I

qui est de rang/i 4- i au plus par rapport à ^ et à y. Remarquons que cette dernière transformation de l'expression t suppose essentiellement les fonctions cp,(X,) et o.^(Y ^) différentes de zéro. Ces fonctions pourront devenir nulles pour certaines valeurs particulières de X, et de Y, ; nous aurons à examiner plus loin cette

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l57

hypothèse ; mais nous allons auparavant indiquer les applications des résultats précédents.

39o. Prenons comme point de départ l'équation

dxdy On aura ici

Bi{u,v) — o, Bi(u,v) — o.

L'application de la formule (49) donnera donc (53) 7=X-Y-.^-^ rxX'i<fo- ^-^ I'yY', ci>.

Remplaçons X par ^r' ^ par;rr^j nous aurons

et 7 satisfera à l'équation

Pour continuer les calculs, supposons que l'on ait choisi comme nouvelles variables x eX. y les fonctions X, et \(. L'expression de z deviendra

Prenons pour valeur de la solution o>

3 désignant une fonction de x et y une fonction de y. On aura ici

/i(«)= " — n' /îC")

■y. Il ,9.11

B,(a, f) = «t\ Bi(a, f) = Mr.

l58 LIVRE IV. — CIIAP. VII.

L'application de la formule (49) donnera donc

X — y X ■ — y M ôx ^ ày

si l'on introduit la fonction

et si l'on remplace X par j,„,i Y par -7^, on retrouvera l'expression

X J jj l ,^ l

de l'intégrale générale

déjà donnée au n" 389. L'application de la formule (34) montre que <7 satisfera à l'équation

dx dy '

tous ces résultats sont en parfait accord avec ceux que nous avons déjà obtenus.

396. L'application de la méthode peut encore se poursuivre. Les deux exemples que nous venons de traiter nous permettent de reconnaître qu'elle conduit aux équations les plus générales pour lesquelles l'intégrale générale est de rang 2 ou 3. Mais donnerat-elle toutes les équations dont la méthode de Laplace peut fournir l'intégrale générale? Ce point n'est nullement évident, et M. Moutard n'y a peut-être pas assez insisté. On peut faire disparaître toute difficulté à l'aide des remarques suivantes, qui nous donneront d'ailleurs des indications utiles sur le passage de chaque équation à la suivante.

Nous prenons comme point de départ la valeur générale de z donnée par la formule (38), et nous supposerons que cette expression soit effectivement^ de rang /:, soit par rapport à x, soit par rapport ky. Il résulte, en effet, des développements donnés au n" 387 que l'intégrale générale d'une équation à invariants égaux est nécessairement du même rang par rapport aux deux variables indépen-

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGALX. iSg

dantes. L'expression de z sera formée avec 2 A — ^i couples i^iyyt)^ (^2,^2)» •••? (j72A-«,r2A-i); c'est-à-dire qu'elle s'annulera quand on y remplacera X par Xh et Y par y/,, h prenant les valeurs 1,2. .. ., 2 A — i. Par suite, si l'on remplace dans l'expression de (o les fonctions X, et \| par Xh et j)'a, w s'annulera identiquement, ainsi que toutes ses dérivées. On aura donc nécessairement

On voit que l'équation linéaire

dont les coefficients sont fonctions de x (n° 394), admet les solutions particulières x,, x-i, . . ., x^k-t (')•

On peut énoncer évidemment la même propriété pour le polynôme Ç2(m)î qui s'annule quand on y remplace u par^',, ïo, . . . ,

Admettons d'abord que les deux fonctions X, et \ ,, qui entrent dans l'expression de to, ne vérifient aucune des équations

ç,(Xi) = o, =;î(Yi) = o.

Alors la formule (52) présentera s- sous la forme d'une expression de rang au plus égal à A" -i- 1 , soit par rapport à x, soit par rapport à y. Nous allons montrer que a- est effectivement de rang égal à A -t- 1 .

La valeur de z s'annule, par hypothèse, lorsqu'on y remplace X par Xh, Y par r^. Si l'on tient compte du changement de notation par lequel on passe de la formule (49) à la formule (02), on pourra conclure que la valeur de (ot donnée par cette dernière

(') D'aprèà une des propositions énoncées à la fin du Chapitre V, on reconnaît immédiatement que le poljnôme =,(t/), défini par cette égalité

df,(uy

Ox ,

est égal et de signe contraire à son adjoint. Ce résultat, que nous retrouverons plus loin sous une autre forme, confirme ceux que nous a fournis notre première solution.

l60 LIVRE IV. — CIIAP. VII.

formule s'annule quand on y remplace X et Y respectivement par

I a:/iOi(Xi)dx, / JK/, o.f Yj ) r/j,

pourvu que l'on détermine convenablement Vune des deux constantes que Von peut toujours ajouter à ces intégrales.

Les dérivées de wo- s'annulent encore lorsqu'on remplace dans la formule (49) X. par X| et Y par Y,, ce qui donne z = w, ou lorsqu'on remplace dans la formule (oa) X et Y par

a- s'annulera donc encore si l'on choisit des déterminations convenables de ces deux intégrales.

On reconnaît enfin, à la simple inspection de la formule (02), (jue a- s'annule aussi lorsqu'on y remplace X et Y par i .

Nous obtenons ainsi aA^ + i couples pour lesquels s'annule la valeur de 0-5 et, dans ces couples, les fonctions de chaque groupe sont linéairement indépendantes; car, s'il y avait une relation linéaire entre les fonctions

1, XiOi{Xi)dx, I XiOi{^i)dx, ..., I x-ik-i'^i(J^i)dx,

par exemple, il y en aurait une aussi entre leurs dérivées; ce qui est impossible tant que X) ne satisfait pas à l'équation

«fi(Xi) = o,

et n'est pas, par conséquent, une combinaison linéaire des fonctions X\^ X-2-) ' . ' , ^2/f-C

L'expression de wcr, admettant aA" + i couples pour lesquels les fonctions de chaque groupe sont linéairement indépendantes, est donc nécessairement (n"'^ 340 à 343) d'un rang égal à /: + i .

Il est ainsi établi que l'application de la méthode conduit généralement d'une solution jz à une solution <7 de rang immédiatement supérieur. Mais là n'est pas le point essentiel de la démonstration : il faut établir, au contraire, que l'on peut aussi, en choisissant convenablement la solution lo, passer de la solution z à une solution de rang inférieur. Nous allons montrer qu'il suffira, pour ob-

LES EQUATIONS A INVARIANTS EGAUX. l6l

tenir ce résultat, de prendre, pour les fonctions X, et Y, qui entrent dans l'expression de to, des solutions convenablement choisies des équations

?i(^i)=o, çj(Y,) = o.

Supposons d'abord que l'on ait seulement

?i(Y,) = o, c'est-à-dire

).i, .... A2A i désignant des constantes. On pourra, en remarquant que co ne change pas si l'on y remplace X,. Y, respectivement par

X, — /,j-, — . . .— Àj^t-i^îA-i,

réduire 1. , à zéro. Supposons donc

X, demeurant encore tout à fait arbitraire. Si l'on fait, dans la

formule (49^>

c'est-à-dire z ^= hi, la fonction w- devra se réduire à une constante. On aura donc

«"/iC^i) — -^BhXi, ^ j — i jXi Si(Xj)cLf=: const.

ou encore

A- df,(X,)\ A. .,. . .

const.

[A(\,)r-lB,(x,/-I^^^-^j\:,,iX,)dx

Cette équation, où X, désigne une fonction arbitraire de x, suffirait seule à établir que la fonction ç;,(X,) est égale et de signe contraire à son adjointe : elle exprime en eflet que cette fonction devient une dérivée exacte quand on la multiplie par Xi . L'expression

est l'intégrale du second degré considérée au n° 373.

Choisissons maintenant pour X, une solution particulière de D. -II. ,1

lô-î LIVRE IV. — CHAP. VII.

l'équation

oi(Xi) = o,

qui annule en même temps l'intégrale du second degré. Nous avons vu au n** 374 que les solutions de ce genre peuvent être réelles. Alors la partie a-, de o- qui dépend exclusivement de X se réduira, d'après la formule (47), à (')

et, comme elle s'annule pour X = X,, on pourra y remplacer X par

Xi A^^,

sans introduire aucun signe de quadrature. Après cette substitution, elle ne contiendra plus les dérivées de X que jusqu'à l'ordre k — 2. L'intégrale u sera donc de rang k — i au plus par rapport à x^ ou par rapport à j', puisque son rang est nécessairement le même par rapport aux deux variables. Elle ne saurait être de rang inférieur, puisque, dans l'opération inverse par laquelle on passe de a- à 5, le rang ne peut s'élever, nous l'avons vu, de plus d'une unité.

En résumé, l'application de la méthode conduit généralement d'une solution d'un certain rang à une solution de rang immédia-

(') En toute rigueur, il faudrait ajouter à cette expression —■, C désignant la

constante arbitraire introduite par l'intégration. Mais, si une équation linéaire,

intégrable par la méthode de Laplace, admet la solution générale

^ = AX -+- A,X' + . . .+ A,„X('") +. . .4- B„YW + 9,

6 étant une fonction déterminée quelconque, on peut toujours supprimer 9 sans diminuer la généralité de la solution. En elfet, si l'on fait X = o, Y = o, on a z = 9, et, par suite, 0 est une solution particulière. Soient alors X, et Y, les valeurs de X et de Y qui donnent pour z la solution particulière 28. En remplaçant X par X — X , Y'^ par Y — Y,, on fera disparaître le terme en 9 ; et il restera sinjplement

2 = AX +. . .-+- A„,X('") + BY + B, Y' -h. . .-h B„Y("). Cette expression a le même degré de généralité que la précédente.

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l63

tement supérieur^ mais elle peut conduire aussi à une solution de rang inférieur ( ' ).

Puisqu'il est toujours possible d'abaisser le rang d'une unité, on pourra, après A— i opérations, passer de toute équation admettant une solution générale de rang k à l'équation

dx dy

qui est la seule dont la solution générale soit de rang i . Les opérations inverses permettront de passer de cette équation à toutes celles dont l'intégration peut être obtenue par la méthode de Laplace.

(') On reconaait aisément que l'on peut aussi choisir la solution u de telle manière que le rang demeure le même dans le passage de l'équation à celle qui lui succède.

l64 LIVRE IV. — CHAP. VIII.