CHAPITRE YIII

Définition des expressions {m, n). — Transformation que subit une telle expression quand on applique la méthode de Laplace. — Une expression {m, n) est définie, en général, à un facteur près, par la condition de s'annuler quand on y remplace z par m -h n solutions particulières de l'équation proposée. — Discussion des cas exceptionnels dans lesquels cette proposition se trouve en défaut. — Détermination de toutes les expressions {m, n) qui satisfont à une équation linéaire du second ordre. — La méthode de Laplace est comprise comme cas limite dans celles qui résultent de l'emploi des expressions {m, n) les plus générales. — • Recherche de la fonction la plus générale satisfaisant à une équation du second ordre et définie par la quadrature / {P dx -h Q dy) où P et Q sont des fonctions linéaires de z et de ses dérivées. — Application au cas où P et Q contiennent les dérivées jusqu'au premier ordre seulement. Extension au cas de deux variables des propriétés des systèmes adjoints. — L'intégration de l'une 'quelconque des deux équations, ponctuelle ou tangentielle, relatives à un système conjugué tracé sur une surface quelconque se ramène à celle de l'autre.

397. Nous nous proposons, dans ce Chapitre, d'indiquer quelques propositions générales qui permettent de rattacher à toute équation linéaire du second ordre une série d'équations de même forme et de même ordre, que l'on saura intégrer en même temps que celle dont elles dérivent.

Étant donnée une intégrale quelconque z de l'équation aux dérivées partielles

d^z dz dz __

^^' ôx dy dx dy '

cette équation permettra, nous l'avons déjà remarqué, de calculer toutes les dérivées de z prises à la fois par rapport k x cl k y en fonction des dérivées prises par rapport à x ou par rapport à y seulement.

On est ainsi conduit à des relations de la forme suivante :

d'"+"z ,. dz r^ à'^z ^, d'"z ^ dz r\ '^'^ ^

dœ"^dy''~ ' dx 'ôx-i ' '" àx'»- ^' ày ^ ây'^

LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l65

Un calcul facile donne les valeurs de Pm et de Q„. Si l'on suppose m cl n différents de zéro, on trouve

Ox'"

Pm et Qrt ne sont pas nuls, en général, mais ils peuvent le devenir, ainsi que quelques-uns des autres coefficients, dans certains cas particuliers. C'est ainsi que, lorsque a est égal à zéro, les dérivées de z- par rapport à x disparaîtront de la formule, si l'on â n^m, et n'y figureront que jusqu'à l'ordre m — n, si m est supérieur à n.

Si l'on combine linéairement, en les multipliant par des fonctions quelconques de x et de j)", l'intégrale z et ses dérivées successives jusqu'à un ordre déterminé, on pourra toujours, par l'application de la formule précédente, ramener la fonction linéaire de z et de ses dérivées ainsi obtenue à la forme

dans laquelle ne figurent que des dérivées prises par rapport à une seule des variables indépendantes. Nous désignerons, pour abréger, par la notation (m,n) une expression de ce genre ou, plus exactement, pour comprendre le cas où les coefficients P„,, Q« deviendraient nuls, une expression qui contiendra les dérivées de z par rapport k x au plus jusqu'à l'ordre m, et les dérivées de z par rapport à jk an plus jusqu'à l'ordre n. Par exemple, la

dérivée ^ est une expression {m,n). La dérivée par rapport

à X d'une expression (m, n) est une expression (m -h i , n) et la dérivée par rapport à v une expression (^m, n -h i).

On aperçoit aisément les transformations que subit une expression [m, n) quand on applique la méthode de Laplace. Imaginons, par exemple, que l'on emploie la substitution par laquelle on passe de (E) à (E,), celle qui est définie par les formules

(i) -1=3 -az, -bzi = /i^,

dy ôx

iGG LIVRE IV. — CHAP. VIII.

données au n° 330. L'emploi de la première de ces formules permet d'éliminer les dérivées de z par rapport à y et de les remplacer par les dérivées de Zi se rapportant à la même variable, mais prises jusqu'à l'ordre n — i seulement. La seconde formule permet ensuite de remplacer z et ses dérivées par rapport à x par les dérivées analogues de ^,, mais prises jusqu'à l'ordre m + i . Ainsi une expression (m, n) relative à l'équation (E) se transforme en une expression (/» + i , n — i) formée avec la solution correspondante de l'équation (E, ) ; et, inversement, on démontrerait de même que toute expression (m + i, n — i) relative à (E|) se transforme en une expression [m, fi), relative à (E). On peut donc conclure que l'expression (m, n) la plus générale formée avec une solution de (E) admet pour transformée l'expression (m + 1,72 — i) la plus générale relative à (E() et, par suite, l'expression {m~{-i, n — i) la plus générale formée avec la solution correspondante de Téqualion d'indice positif (E,), au moins tant que i sera inférieur ou égal à n. Si l'on suppose î= n, on obtiendra une expression de la forme

qui ne contiendra que les dérivées prises par rapport à la seule variable x. Si l'on continuait à appliquer la méthode de Laplace, on serait conduit à des expressions (m + /? H- A, o); elles seraient de même forme, mais ne seraient pas les plus générales de leur définition. ISous supposerons donc que l'on s'arrête à(E,i).

Si l'on emploie de iriême la deuxième substitution de Laplace, on reconnaîtra que l'expression (m, n) la plus générale admet pour transformée l'expression [m — y, /z + y) relative à l'équation (E y), qui sera aussi la plus générale tant que j sera inférieur à ni-{-i. En résumé, i étant positif ou négatif, l'expression (m, ii) la plus générale formée avec une solution quelconque de (E) a pour transformée l'expression (m + ?", n— i) la plus générale formée avec la solution correspondante de (E/), tant que l'on attribue à l'entier i les valeurs

— m, — m + i, ..., o, I, .... n. 398. Une expression (m, n) contient jn + n-\-\ coefficients,

M, P/, Qa, qui sont des fonctions arbitraires de x et de y. Elle sera donc déterminée à un facteur près, au moins en général, si on l'assujettit à s'annuler lorsqu'on y remplace z par m -^ n solutions particulières

de l'équation proposée. Si, pour abréger, on pose son expression sous forme de déterminant est alors

dz dx

dZt

dx

dx

dz.,.

dx

dz

dx^

ày

d'^Zi

dx'"

dz.

Ox'"

OV

d"'Zf,

dzp

ax'"

ày

d^ dy"

ày à'fz»

ày"

Il peut cependant arriver qu'une expression (m, n) ne soit pas déterminée par les conditions que nous venons d'énoncer : c'est ce qui aura lieu si les mineurs qui sont, dans lexprcssiou précédente, les coefficients de z et de ses dérivées sont tous égaux à zéro. On peut définir d'une manière précise ces cas exceptionnels dans lesquels l'expression précédente devient illusoire.

Désignons par la notation (m, n)i le résultat de la substitution de Zi à z dans une expression (m, n). Si l'expression doit s'annuler, comme nous le supposons, pour les valeurs déjà indiquées de z, on aura les équations de condition

auxquelles devront satisfaire les coefficients inconnus de la fonction (m, n). La première ne sera pas vérifiée d'elle-même tant que z, sera différent de zéro; la seconde ne sera pas, en général, une conséquence de la première: mais, en poursuivant, on arrivera nécessairement, si le système précédent est indéterminé, à une équation qui sera la conséquence de celles qui la précèdent. Cette équation, dont nous désignerons le rang par h, s'obtiendra néces-

l68 LIVRE IV. — CIIAP, VIII.

sairement par une combinaison linéaire des équations précédentes. On aura donc l'identité

(5) '^i(m, n)i'+-'k2im, 71)2-^-. . .-i-l/,(m, n)/, = o,

applicable à toute fonction (m, n). D'après la manière même dont on l'obtient, il est évident qu'tV n'y aura aucune autre relation linéaire de même forme entre les quantités {m^ n)^^ ..., (m, n)k.

Cela posé, appliquons la transformation de Laplace, en passant de (E) à l'équation (E^). L'identité (5) se transformera dans la suivante

(6) li(m -i- n, 0)1 ~H X2(/?i -f- rt, 0)2-1-. . .-{- A/t(m -l- n, o)/j = o,

qui se rapporte à la nouvelle équation, mais qui ne contient plus que les dérivées de l'intégrale par rapport à la seule variable x. Si l'on substitue successivement à (r7i -\- n, o) les fonctions ^,

dz d"'+"-z 1 , . , . , , .

X~' ■"' j~,7rz:7' en nombre nécessairement supérieur a h, on obtient

un système qui se présente dans la théorie des équations linéaires à une seule variable indépendante; et l'on reconnaît immédiatement que les rapports mutuels des quantités \^^ Xi-, ■■■■,'^h doivent être constants lorsque x varie, c'est-à-dire ne peuvent dépendre que de la variable y. En passant de même de (E) à (E„j) et en répétant le raisonnement précédent, on reconnaîtra de même que les rapports mutuels de );,, Xo, ..., X^ ne peuvent dépendre dey. Ces rapports sont donc constants; et, par suite, les solutions Zf, Z2, ..-, Zh ne sont pas linéairement indépendantes. Ainsi :

Dans le cas où la suite de Laplace relative à V équation proposée (E) s' étend au moins depuis l'écjuation (E m) Jusqu^à réquation (E^), une expression (m, n) est toujours définie à un facteur près par la condition de s'' annuler lorsqu''on y remplace z par m -j- n solutions particulières de V équation, pourvu que ces solutions soient linéairement indépendantes (* ).

(') On peut aussi discuter très simplement le cas où la suite de Laplace se termine entre (E^) et (E„). Supposons d'abord qu'elle se termine d'un seul côté, à l'équation (E,) par exemple, i étant positif et inférieur à n. On reconnaîtra, comme on l'a fait dans le texte, que les rapports mutuels de >>,, )k^, . . .,'^h

399. Après celte discussion, revenons au cas général et supposons que les solutions

aient été choisies de telle manière qu'une expression (m, n) soit définie, à un facteur près, par la condition de s'annuler quand on

ne peuvent dépendre de y et sont, par conséquent, des fonctions de la seule variable x. Si l'on applique maintenant la relation (5) à l'équation (E,), elle prend la forme

(a) \(m-!-i, n — i),-^...— \{m-^i, n — i)^ = o. L'intégrale générale de (E,) a été donnée au n° 333; elle est de la forme

p(x- fxoLdy),

a et ? étant des fonctions déterminées de x et de y. Comme n — i est au moins égal à I, on peut prendre d'abord, pour l'expression (m-r-i, n — i) qui figure dans l'identité précédente, la fonction

On aura alors

(b) \y,^\y,^---~\yh=o^

Xo Xi' ■■■■: Th désignant les valeurs que prend la fonction arbitraire Y pour les solutions particulières -„ iîj, ...,-fc. On peut supposer que les coefficients \, X , ■■•, \ soient linéairement indépendants. S'il en était autrement, on les exprimerait tous en fonction d'un certain nombre d'entre eux; et l'identité (5) se transformerait en une identité analogue où h serait remplacé par un nombre plus petit h' et les solutions z,, z^, ..., z^ par des combinaisons linéaires de ces solutions.

Supposons donc X„ a„ ..■,\ linéairement indépendants; lidentité (b) nous donne alors

(c) r, =r2=--- =rfc = o;

car, s'il en était autrement, il suffirait d'attribuer à y une valeur particulière quelconque pour obtenir une relation linéaire entre X„ ..., a^.

Soient maintenant x,, x,, ..., x^ les valeurs que prend la fonction arbitraire X pour les diverses solutions particulières. En substituant dans légalité (a) les diverses fonctions

(A = o. I, 2. . .., m-H i)> Ox-"

y remplace z par l'une quelconque de ces solutions. Soit

(7) 6 = A^-f-B,— +...-f-B,„-^ -+- Cl ---+-... -f- G„ -r —

dx dx"^ ôy dy"-

le résultat obtenu. Nous allons, en répétant le raisonnement du n° 340, montrer que 8 satisfait à une équation linéaire du second ordre. Si l'on différentie, en effet, la formule précédente successivement par rapport à ^ et par rapport à j/, on obtient des expressions des dérivées premières qui sont de la forme

, dx dx"'+i

^6 ^ d'i+iz

dy c)7«+i ^ ' ^

on obtient des relations de la forme

Si les fonctions x^, x,, ..., x,^ ne sont pas linéairement indépendantes, il en

est de même, évidemment, des solutions z,, z^, z^ de l'équation primitive (E ).

Si les fonctions a;,, ..., :r^ sont linéairement indépendantes, les équations précédentes, qui déterminent, par hypothèse, les rapports mutuels de);,, \, ...,\ donnent, comme on sait, des valeurs constantes pour ces rapports tant que l'on n'a pas

Ainsi, dans le cas où la suite de Laplace se termine entre (E„J et (E„), et d'un seul côté, par exemple à l'équation ( EJ, l'expression {m, n) ne cessera d'être déterminée par les conditions énoncées que si les solutions z^, z^, . . . , z,,, ne sont pas linéairement indépendantes, ou s'il y a plus de m -hi-\-i solutions Zf^ se déduisant de cette partie de la solution générale qui est de la forme

AX-f-A,X' + ...-f- A,.X(0,

par l'attribution de valeurs particulières quelconques à la fonction arbitraire X.

Dans le cas où la suite de Laplace se termine dans les deux sens entre (E„) et (E„), il est inutile de recommencer la discussion. Car alors soient (E), (E^) les équations auxquelles se termine la suite. Si l'on désigne par X et Y les fonctions arbitraires qui entrent dans l'intégrale générale, par {,x^, y^) les couples pour lesquels s'annule cette intégrale et par {x'/,, y'/.) le système des valeurs particulières qu'il faut attribuer à X et à Y pour obtenir la solution z^^ une expression (m, n) contiendra les dérivées de X jusqu'à l'ordre i-f- m, celles de Y jusqu'à l'ordre y -^ n. Les conditions pour lesquelles nous l'avons définie l'assujettissent simplement à s'annuler quand on y remplace le couple (X, Y) par les couples {x^,y^) et {x'/., y'/^), au nombre total de

L'étude détaillée de l'expression obtenue et des cas dans lesquels elle s'annule a été donnée au n°» 341 et 342.

Un calcul facile donne ensuite (')

En combinant ces trois formules, on sera conduit à une expression de la forme

Or, si l'on remplace z par Tune quelconque des solutions ::;/, la fonction 6 s'annule ainsi que toutes ses dérivées. Le second membre de l'équation précédente s'annulera donc quand on y remplacera ^ par i;/ ; et, comme une expression (m, n) est définie à un facteur près, d'après l'hypothèse, par ces conditions, ce second membre sera nécessairement proportionnel à 6. Si l'on désigne par — y le facteur de proportionnalité, on voit que l'on aura

(II

dxOy

/ aio?B^\ do/ aiogc^xae .^^^^^^

h satisfera donc bien, comme nouslavons annoncé, à une équation linéaire du second ordre, dont elle sera évidemment l'intégrale générale.

Imaginons, par exemple, que l'on parte de Téquation

On aura alors

dx dy Zi = Xi — Vi, z=\^\',

et le déterminant (4) se réduira au suivant

yw)

a-i — ri

.. arfj""

.. yr

Xp-hyp

fp ■

■ ■ yp"'

(•) Ces formules doivent subir des modiCcations que le lecteur trouvera aisément lorsqu'un des nombres m ou n est égal à zéro.

Par l'addition d'une colonne, on peut le transformer ainsi I X Y X' ... X''«' Y' ... Y<"' I

cvi ji a:\ ... a?'/"' y\

'/> fj

on retrouve, avec une très légère différence de notation, les expressions que nous avons étudiées au Chapitre II et qui sont les intégrales générales des équations pour lesquelles la suite de Laplace se compose d'un nombre limité d'équations; elles dérivent toutes, comme on voit, de l'équation élémentaire

d'^z dx dy "'

par une simple application de la proposition générale que nous venons d'établir relativement à une équation linéaire quelconque.

400. Cette proposition générale définit certains cas dans lesquels une expression [m, n) satisfait à une équation aux dérivées partielles du second ordre; nous allons nous proposer maintenant de déterminer toutes les fonctions (m, n) jouissant de la même propriété.

Soit

B,|fH^...^B,

d"'z dx"^

dy

une expression (m, ti) que nous supposerons d'abord tout à fait quelconqvie. Si l'on calcule les dérivées de 0 jusqu'à un ordre

quelconque /?, on obtiendra en tout ^^ '^^>^P ~^'^' équations. On

peut éliminer, au moyen de l'équation aux dérivées partielles, toutes les dérivées prises à la fois par rapport à ^ et à y; il restera donc seulement, dans les expressions des dérivées de 8, m 4- /î -h 2/? dérivées de ^, soit, en comprenant z^

m -{- n -\- ip -^ i

quantités. Ce nombre finit toujours par être inférieur à celui des

LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. IjS

dérivées de H; l'élirainalion de z et de ses dérivées conduira donc à une ou plusieurs relations entre 9 et ses dérivées, c'est-à-dire à une ou plusieurs équations aux dérivées partielles pour 9, qui seront, en général, d'ordre supérieur au second.

Si l'oD connaît une fonction h satisfaisant à toutes ces équations, on pourra déterminer z et ses dérivées en fonction de h, sans aucune intégration.

Ces conclusions ne s'appliquent évidemment qu'à l'hypothèse la plus générale ; elles sont complètement modifiées, nous allons le voir, si 8 satisfait à une équation aux dérivées partielles du second

ordre. Il faut alors retrancher des -^-— ^-— équations qui

pourraient, lorsque 9 est connu, déterminer z et ses m -{- n -{- ap dérivées, toutes celles que Ton obtient en prenant l'équation du second ordre à laquelle satisfait h et lui adjoignant toutes ses dérivées jusqu'à Tordre/? — a, ce qui donne en tout

(/^ — "/> équations. Il restera donc seulement

relations qui ne peuvent déterminer z et ses ni -r n -{- ip dérivées. Il y aura toujours w -t- /i de ces fonctions qui demeureront arbitraires. Dès que l'on aura écrit les trois équations qui expriment 9, -— j -T-y il sera inutile de continuer les dérivations; elles "^ ox oy '

introduiraient autant de dérivées nouvelles de :? à déterminer que de nouvelles relations.

Les équations qui donnent "? ;p' ;7^ constituent donc ce que

M. Majer a appelé un système complet, c'est-à-dire un système dans lequel toutes les conditions d'intégrabilité sont satisfaites. Si l'on prend comme inconnues auxiliaires les fonctions suivantes

. dz

d-^z '''-- dx^

j dz

174 LIVRE IV. — eu A P. Vin.

que l'on ajoutera à z, ce qui donnera /?i + /i+i foncllons inconnues, l'équation qui donne 0 fournira une relation entre ces inconnues; on aura

àz

dUf

àllm-\

dx

= Um:

dz

= Vn.

Les autres dérivées des fonctions u^ ..., Um-\\ ^, - ■ • -, ^n-t seront définies par l'équation aux dérivées partielles à laquelle

satisiait z. L équation qui donne — et qui contient en gênerai

0'"^+^ z 1 , . dll,n ,, • • 0^ -, , . 1

-, déterminera — — , celle qui exprime -- déterminera de même

dx"'-'^'- dx ^ ^ âj

— ^: enfin les deux autres dérivées de u„i et de ('« s'obtiendront

ây

au moyen de l'équation aux dérivées partielles.

Nous avons bien, on le voit, un système complet, de la nature de ceux que M. Mayer a étudiés ('). Les fonctions inconnues sont au nombre de ni-hn-t-i] mais, comme elles sont liées par l'équation qui donne 9, l'intégrale générale contiendra seulement m + n constantes arbitraires. Par suite de la forme linéaire des équations, la valeur générale de z sera de la forme

( i4 ) ;3 = z -h «j Si -T- ajÂîa -f- . . . -T- a„i-irn^in+ni

a\, . . . , ci„ij^,i désignant des constantes arbitraires que Von devra pouvoir déterminer de telle manière que z et ses m -\- n premières dérivées prennent les valeurs les plus générales satisfaisant à V équation qui donne 9. Si l'on porte la valeur précédente de z dans l'expression (12) de 9, le coefficient de ai devra être nul; et, par suite, 9 s'annulera lorsqu'on y remplacera z par Zt. Comme on a m-\- n quantités 5/, 9 sera déterminée à un facteur près par cette condition ; 9 rentre donc dans la catégorie des fonctions que nous venons d'étudier.

On pourrait objecter que les solutions zt peuvent rendre illusoire la forme (4) de 9; mais on verra aisément que ce fait excep-

(') Mayer (A.), Ueber unbeschrânkl integrable Système von linearen totalen Differentialgleichungen und die simultané Intégration linearer partieller Differentialgleichungen {Mathematische Annalen, t. V, p. 448; 1872).

LA RESOLCTIOX DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 173

tionnel ne se présente pas ici; car les déterminants qui sont, dans

cette formule (4), les coefficients de -j-lT^' -T—;^ ne sont jamais

nuls. Ce sont ceux que l'on obtient lorsqu'on veut déterminer les constantes «,, de telle manière que z et ses dérivées, moins la dernière prise par rapport à a: ou par rapport à r, prennent des valeurs données à l'avance; et nous avons indiqué que, d'après les propriétés de la solution générale, ces déterminants ne peuvent être nuls. Mais on peut adresser au raisonnement précédent une autre objection plus sérieuse que nous allons examiner.

Nous avons admis que les deux équations par lesquelles on

.- ae (?6 , . , ,

exprime j -.— peuvent être résolues respectivement par rapport

a -T ,■> -■ L-ela a touiours lieu, en eitet, si les nombres m et

n sont supérieurs à zéro; mais, dans le cas exceptionnel où l'un de ces entiers se réduit à zéro, la proposition peut être en défaut. Supposons, par exemple, que 9 ne contienne pas les dérivées de z par rapport à x; et donnons-lui, pour la commodité du raisonnement, la forme suivante

j ^ d (dz \ d"-^ (dz \

l ày \dy J dy'-^ \dy J

qui est tout aussi générale que si on l'avait ordonnée simplement par rapport aux dérivées de z. Si l'on forme la dérivée de 9 par rapport à x, on aura, en général,

et, par suite, l'expression de — sera de la forme à^ .àz dz dnz

A avant la même valeur que précédemment. Si A n'est pas nul, celte équation donnera -r^j et l'on pourra appliquer sans modification le raisonnement général. Il reste donc seulement à examiner

lyQ LIVRE IV. — CHAP. VIII.

le cas où l'on a

mais alors substituons à l'équation proposée (E) sa transformée (E,) par la méthode de Laplace ; c'est-à-dire posons

dz

- -+- az = z .

ôy

L'expression de 9 prendra la forme nouvelle

dz' d'^~^ z'

qui contient une dérivée de moins. En recommençant sur cette nouvelle expression de Q les raisonnements précédents, on reconnaîtra que cette fonction doit s'annuler lorsqu'on y remplacera z' par n — i intégrales particulières de (E,); ou bien on sera encore conduit à appliquer la transformation de Laplace et à passer à l'équation (Eo). On peut donc énoncer la proposition suivante :

*S/ la fonction

satisfait à une équation du second ordre, elle s' annulera lorsqu'on y remplacera z par n intégrales particulières de l'équation linéaire proposée, et elle sera définie à un facteur près par ces conditions ; ou bien elle pourra être ramenée, par l'application successive des substitutions de Laplace^ à une expression de la forme

A T. Ari—ir"

ôy dy"--'^

définie par les mêmes propriétés relativement à l' équation (E;).

Si l'on suppose i^ n, on retrouve la substitution de Laplace.

En résumé, le théorème du n" 399, combiné, dans certains cas exceptionnels où l'un des nombres m et n doit être nul, avec l'application de la méthode de Laplace, donne toutes les fonctions (m, n) satisfaisant à une équation linéaire du second ordre.

Supposons, par exemple, que l'on prenne OU, plus simplement,

en vertu de la proposition précédente, 9 ne pourra satisfaire à une équation du second ordre que si Ton a

ce qui donne la première substitution de Laplace, ou si Ton a

-1 ày

z-, désignant une intégrale particulière de l'équation proposée. Ce résultat avait été déjà obtenu et étudié par M. Lucien Lévy ( » ) dans un intéressant Mémoire sur lequel nous aurons loccasion de revenir.

401. Au milieu de toutes les transformations précédentes, celle de Laplace apparaît donc, on serait tenté de le penser, comme une sorte de transformation singulière échappant à la loi générale qui donne toutes les autres. Nous allons montrer qu'une telle vue serait inexacte : la transformation de Laplace est comprise, comme cas limite, dans celles que nous venons de définir.

Pour donner plus de précision au raisonnement, bornons-nous aux expressions de la forme (16). Il faudra, semble-t-il, pour que la substitution de Laplace soit comprise dans les transformations générales, que l'on puisse obtenir une solution particulière de l'équation aux dérivées partielles satisfaisant à la relation

/ \ I dz dz'

Or il suffît de substituer dans l'équation aux dérivées partielles

(') Lévy (Lucien), 5m/- quelques équations linéaires aua: dérivées partielles {Journal de l'École Polytechnique, LVI' Cahier, p. 63; 1886). D. — II.

lyH LIVRE IV. — CIIAP. VIII.

dz' la valeur précédente de -" : on trouvera

Comme z' ne peut être nul, il faudra que l'invariant A le soit; c'est là un cas exceptionnel que nous pouvons écarter.

Il n'v a donc pas, en général, de solution particulière de l'équation proposée pour laquelle on ait

I dz' z dy

mais nous allons montrer qu'«7 existe une infinité de solutions pour lesquelles le premier membre est aussi voisin qu'on le veut de — a.

Posons, en effet,

i dz

L'inconnue pi, que nous substituons ainsi à r, satisfait à une équation non linéaire du second ordre. Si l'on porte, en effet,

dz dans l'équation à laquelle satisfait z^ la valeur de — déduite de

l'équation précédente, on a

—(«-{- u)s-f-a-r \-(c — ab — b[x)z = o,

dx dx

ou, en développant,

dlog-s d\o^]x h

dx dx [J.

On aura donc

(21) dlo^z^—i '^^^ -i^ b-^ -j dx-~{a'~ix)dy,

et il suffira d'écrire la condition d'intégrabilité pour obtenir l'équation à laquelle doit satisfaire tx. On trouve ainsi

d'^ u. dix dix , . , , , dh d'x , dix

(11) u -r — 1- ( a: — A ) [Ji.^ -H -— u — h~ [x- -^ = o ;

^ ' ^dxdy dx dy ^ ^' dy^ dy ^ dx

à chaque solution, différente de zéro, de celte équation corres-

pondra une valeur de z définie, à un facteur constant près, par la formule (21).

L'équation ( 22 ) admet évidemment la solution a ^ o, « laquelle ne correspond aucune valeur de ^; mais cette solution n'est pas isolée ;ily a des valeurs infiniment petites de a qui sont exprimées d'une manière approchée par la formule

\L = hX,

X désignant une fonction arbitraire, mais infiniment petite, de x. Il y aura donc des intégrales de l'équation aux dérivées partielles

proposée pour lesquelles - v- sera infiniment voisin de — a.

z oy

On pourrait encore le reconnaître en étudiant les différentes équations particulières dont nous avons donné Fintégrale générale. Nous avons vu, par exemple, au n" 3oi2, que l'équation E(o, ,3') admet pour intégrale générale

Z{o,'6-) = Y— fx{x—y)-?'dx.

Faisons S'= — i et remplaçons X par X", nous aurons

Z(o, — 1) = Y -^ X'(:f — r) — -^• La valeur de a sera •

Il n y a aucune solution pour laquelle u. soit nul; mais, si l'on annule la fonction Y, il reste

il suffira de choisir la fonction arbitraire X de telle manière que ^^ soit très grand, et l'on aura des valeurs de [jl très voisines de zéro.

•402. La proposition générale que nous avons étudiée depuis le commencement de ce Chapitre nous a permis de rattacher à toute équation linéaire une série d'équations semblables dont l'intégrale se forme avec l'intégrale générale de la proposée et avec ses

l8o LIVRE IV. — CIIAP. VIII.

dérivées prises jusqu'à un ordre déterminé. Nous allons indiquer maintenant une autre proposition qui conduit au même résultat, mais par des moyens tout à fait différents, puisqu'elle repose essentiellement sur l'emploi de certaines quadratures. Désignons par P et Q deux fonctions linéaires de z et de ses dérivées prises jusqu'à un ordre quelconque, et proposons-nous de déterminer P et Q de telle manière que

V dx -^^Idy

soit une différentielle exacte <i9, et que son intégrale 0 satisfasse à une équation linéaire du second ordre.

Ecrivons d'abord la condition d'intégrabilité. Si, pour abréger, on désigne par ^(-s) le premier membre de l'équation à laquelle satisfait 5, il faudra évidemment que l'on ait une identité de la forme

dx dy dx dy dx^ ' ' ' '

A, B, C, D, ... étant des fonctions quelconques de x et àey. On peut, au moyen des intégrations par parties, donner au second membre la forme suivante :

Par suite, si l'on écrit

Q + B-jf+Bi — +...,

au lieu de P et de Q, ce qui change seulement la forme de P et de Q sans changer leur valeur^ on aura l'identité plus simple

^ ' dx f^y

Si [t. était nul, il faudrait évidemment que l'on eût

P= — , Q = -, dx' ày'

LA RESOLUTION DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. lol

V étant une fonction linéaire de z et de ses dérivées. On aurait

et l'on retrouverait les expressions que nous avons étudiées au commencement de ce Chapitre. Si u. n'est pas nul, il résulte des propositions rappelées au n° 3o7 que tx sera nécessairement une solution particulière de l'équation adjointe. On aura alors

et l'identité à vérifier se ramènera à la suivante :

âjc\^ 'or ' " / djr\ " Ox ' ^^ j'

Si donc V désigne une fonction linéaire de z et de ses dérivées jusqu'à un ordre quelconque, on aura nécessairement

dv

et, si l'on pose

(.5) a=y[s(^-6Jx)rfa:-^fx(^-^a.)rf^],

on pourra écrire

(26) a = f(P dx -r- Q dy) = ^ -^ V.

11 faut maintenant déterminer |x et ç' de telle manière que h soit lïntégrale d'une équation du second ordre.

Nous allons montrer d'abord que a- satisfait, pour chaque valeur de |x, à une telle équation. On a, en effet

En tirant de la première équation la valeur de z et la portant

dans la seconde, on trouve

/ ^ I dj a di d I dx

u. dy d-x , ôx ày \ d'x .

l82 LIVRE IV. — CIIAP. VIII.

et cette relation constitue bien une équation linéaire du second ordre à laquelle satisfait la valeur générale de cr.

Revenons maintenant à l'expression de 8. Comme les équations (27) permettent d'exprimer z et ses dérivées en fonction linéaire des dérivées de u, on voit que Q pourra être exprimée en fonction linéaire des dérivées de (t. 11 suffira donc d'appliquer les propositions des n"^ 399 et 400 pour obtenir toutes les fonctions 9 satisfaisant à une équation linéaire du second ordre.

Les deux propositions que nous venons d'étudier permettent, on le voit, de rattacher à toute équation linéaire (E) deux séries différentes d'équations qui s'intégreront en même temps qu'elle. Si l'équation primitive (E) s'intègre par la méthode de Laplace, c'est-à-dire si elle admet des solutions de la forme

AX-i-AiX'+...+ AiX<'',

la même propriété subsistera pour toutes les équations qui en dérivent. Ce résultat est évident pour celles que nous avons obtenues au n" 399; et, pour celles que nous venons de définir, il est une simple conséquence de la proposition démontrée au n° 393. Ainsi, lorsque l'équation primitive (E) est intégrable par la méthode de Laplace, il en est de même de toutes les équations qui en dérivent par l'application des deux propositions précédentes.

Comme application, proposons-nous de déterminer toutes les fonctions 9 pour lesquelles P et Q contiennent les dérivées de z jusqu'au premier ordre seulement. Il faudra évidemment que v soit égal à p^, p étant une fonction quelconque de x et àey\ et, par conséquent, on aura

(29) 6 = (T + pZ = (T-+- 5- -— .

Pour que cette fonction soit l'intégrale d'une équation du second ordre, il faudra, ou bien que la valeur de 9 soit celle que l'on déduit de a par l'application de la deuxième substitution de Laplace à l'équation (28) et, dans ce cas, il faudra prendre p ==: — ]x\ ou bien que le second membre s'annule pour une solution particulière a-' de l'équation en <7.

LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. .l83

Dans le premier cas, on a (3o) ^=-j\('^^b.jda:-z(/^-a.)dy,

el la valeur de 6 est, au signe près, celle que l'on déduirait de t par réchange des variables x et >-.

Dans le second cas, on de\Ta avoir

do:

ou, si l'on désigne par :;' la valeur de ^ correspondante à 3^,

On a ainsi

en réduisant, on trouve

La valeur de H est d'ailleurs

dJT

Nous indiquerons plus loin, au Chapitre X, l'interprétation géométrique de ces résultats.

403. Nous pouvons maintenant traiter d'une manière simple une question que nous avons laissée de côté dans les développements qui précèdent. Etant donnée l'expression

6 =r (ni. n )

qui satisfait à une équation linéaire du second ordre, proposonsnous de déterminer les valeurs de z qui correspondent à une solution donnée 9. Nous allons voir que l'on peut résoudre cette question par de simples quadratures lorsqu'on connaît les valeurs

l84 LIVRE IV. — CIIAP. VIII.

particulières de z qui annulent l'expression de 9. Mais, au lieu de traiter la question directement, nous allons employer la méthode suivante, qui mettra mieux en évidence ce qu'il y a de réellement intéressant dans la solution.

Désignons par

des solutions particulières de l'équation

d'^z dz dz

dx dy dx dy

,^^. d^z dz , dz

(oo) -r — ^ i-«:s 1- o -T \~cz = o\

soit encore

et déterminons des quantités )mi Ao, . • • , \p par les équations

Z\ki -¥- -S2 A2 -f- . . . H- ZpAp = O,

dzi - dz,, ^

d"^-izi > ^ d'^-izp^

(38) ( ()a:'»-i * ' "" àx"^-^ P ~ ^'

dzi. dzp .

Si l'on conserve les notations du n" 397, les équations précédentes peuvent être écrites d'une manière abrégée comme il suit :

(39) {m — i, n — 1)1X1 -t- .. .-I- (m — I, n — i)/jXp = o,

cette unique équation devant être vérifiée pour toute expression [m — I, n — i) et {m — i, ji — i)i désignant encore le résultat de la substitution de z-t à z dans cette expression. Les équations (38) ou l'équation (Sg) déterminent, en général, les rapports mutuels de !(, "k^i ■••' "^p- Nous laisserons de côté le cas

LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l85

exceptionnel où ces équations formeraient un système indéterminé (').

Nous allons montrer que toutes les quantités A/ ainsi déterminées satisfont, elles aussi, à une équation aux dérivées partielles du second ordre. Pour plus de netteté, nous supposerons m et n au moins égaux à i; s'il en était autrement, il suffirait de passer à l'une des équations voisines, dans la suite de Laplace relative à l'équation proposée.

Une expression (m — 2, n — i) étant un cas particulier d'une expression (m — \ . n — i). on déduit de la formule (Sg) que l'on

aura

(m — 2, n — i)iÀi -t-. . .-H (m — 2, n — i)pÀp = o.

pour toute expression (//z — 2, Ji — 1 i. Différentions cette équation par rapport à x, nous aurons

Gomme la dérivée par rapportât; d'une expression (m — 2, n — 1) est une expression (/w — i, n — i), le premier terme de la somme précédente sera nul, et il restera

On aurait de même

En traitant delà même manière l'équation

.^M dx

qui est un cas particulier de la formule (4o), et en la différentiant

(•) Ce cas ne peut se présenter, si les solutions z. sont linéairement indépendantes, tant que la suite de Laplace s'étendra entre les équations (E^^, ), (E^,). On s'en assure aisément en répétant les raisonnements du n" 397.

l8G . LIVRE IV. — CHAI>. VIII.

par rapport àjK, on trouvera de même

Il résulte des formules (4o) à (43) q"e, si l'on pose

on aura

(45) ^{/n — -i,n — o.)iÇ{li)=rzo,

pour toute expression (m — 2, n — 2). Cette équation tiendra donc lieu de m + /i — 3 équations distinctes que l'on obtiendrait en y remplaçant successivement (m — 2, n — 2) par

d.z d"'-^z dz d"-^z

Il y a /> ou m H- n quantités (j'(Xi); mais on peut disposer des fonctions a, ^, y de manière à annuler trois quelconques d'entre elles. Les autres, au nombre de /? — 3, seront liées par un nombre égal de relations homogènes; elles seront donc aussi égales à zéro ('). Ainsi, les fonctions Xi dont les rapports sont définis par les équations (38) satisfont toutes à une équation aux dérivées partielles, entièrement semblable à celle dont les fonctions zi sont des solutions particulières.

Nous avons déjà étudié [I, p. 119] un cas particulier de cette proposition générale. Nous avons vu que, si les coordonnées homogènes X, JK, -S, t d'un point variable d'une surface donnée satisfont à une équation de la forme

(46) -— ^ ha — -i-6- HcO=o,

dp opi ap dpi

il en est de même des coordonnées tangentielles u^ v, w^ p. Or

( ') Pour que cette conclusion cessât d'être établie, il faudrait que les déterminants des différents systèmes que l'on obtient en annulant trois quelconques des quantités ()'(\) choisies arbitrairement fussent tous nuls. S'il en était ainsi, les équations (38) ne détermineraient plus, contrairement à l'hypothèse, les rapports mutuels des quantités \-^.

ces coordonnées sont liées aux premières par les relations

iix ^- vy -^ w z -^ pt = o,

dx dv dz ôt

(47) '. àp dp dp '^ dp

I dx dy dz dt

dpx dpi Opi dp y

C'est, aux notations près, pour le cas particulier où m et n sont égaux à 2, le système (38) que nous venons d'étudier.

Signalons également l'analogie de ce système (38) ayec celui que nous avons considéré au n" 370 et qui établit, dans le cas d'une variable indépendante, les relations entre deux groupes de fonctions adjointes. Cette analogie peut encore se poursuivre; et l'on établira aisément des équations analogues au système (i j) de la page io3. On peut les écrire ainsi, sous forme abrégée,

(m — I — h, n — 1 — A") se rapportant à l'équation qui admet les solutions particulières Zi et le symbole (/i, k) à l'équation à laquelle satisfont les A,-. Mais nous laisserons de côté toutes ces relations pour nous attacher surtout au point essentiel et montrer que l'intégration de chacune des équations en z ou en \

peut se ramener à celle de Vautre, ou, plus exactement, à celle de l'adjointe à l'autre équation.